Chapitre 4 - CALCUL MATRICIEL 4.1 Généralités sur les matrices

Chapitre 4 - CALCUL MATRICIEL
4.1 Généralités sur les matrices
Définition 1
Une matrice de taille m x n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes.
Une telle matrice s'écrit sous la forme :
Les nombres , avec et , sont appelés les coefficients de la matrice.
est le coefficient placé à la ième ligne et la jème colonne.
Exemple
est une matrice de taille 2 x 3.
Application 1 : une situation à une matrice
La presse en France se décompose en la presse quotidienne nationale (PQN), la presse
quotidienne régionale (PQR) et la presse quotidienne urbaine et gratuite (PQG). En 2005-
2006, le nombre de lecteurs en milieux, était 8 032 pour la PQN, 17 998 pour la PQR, 3 125
pour la PQG. Le nombre de lecteurs réguliers, en milliers, était pour la PQN, 17 928 pour la
PQR et 2 929 pour la PQG.
Représenter la situation par une matrice et préciser sa forme.
Application 2 : interpréter les coefficients d’une matrice
La matrice ci-contre représente les longueurs des sauts, en
mètres, de 4 concurrents nommés A, B, C et D s’affrontant au
triple saut lors de leurs trois essais dans une compétition.
1. Quelle est la longueur du saut réalisé au 2e essai par C ?
2. Quel est le concurrent ayant réalisé le meilleur saut ? A quel essai.
3. Quelle information donne le plus grand coefficient figurant dans une colonne ? dans une
ligne ?
Application 3 : utiliser l’écriture générale d’une matrice
La matrice est telle que , pour et .
Préciser la taille de cette matrice puis l’écrire avec tous ses coefficients.
Définition 2
Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée d’ordre n.
1

Exemple
est une matrice carrée de taille 2.
Définition 3
Dans une matrice carrée d’ordre n, les coefficients forment la diagonale
principale de la matrice.
Définition 4
La matrice unité d’ordre n, notée , est la matrice carrée d’ordre n contenant
uniquement des 1 sur sa diagonale principale et 0 ailleurs
Exemple
est une matrice identité d’ordre 2.
Définition 5
La matrice nulle d’ordre n, notée , est la matrice carrée d’ordre n dont tous les
coefficients sont nuls.
Exemple
est une matrice nulle d’ordre 2.
Définition 6
Une matrice de taille n x 1 est appelée une matrice colonne.
Une matrice de taille 1 x n est appelée une matrice ligne.
Exemple
Les coordonnées d'un vecteur du plan est une matrice colonne de dimension 2 x 1.
Propriété 1
Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles sont la même taille et ont les coefficients
égaux placés aux mêmes positions.
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4.2 Opérations sur les matrices
4.2.1) Somme de matrices
Définition 7
Soit A et B deux matrices de même taille.
La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en
additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B.
Exemple
et alors
Remarque :
Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même taille.
Propriété 2
Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille.
a) Commutativité : A + B = B + A
b) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C)
4.2.2) Produit d'une matrice par un réel
Définition 8
Soit A une matrice et k un nombre réel.
La produit de A par le réel k est la matrice, notée kA, dont les coefficients sont obtenus en
multipliant tous les coefficients de A par k.
Exemple
alors
Propriété 3
Soit A et B deux matrices carrées de même taille et deux réels k et k'.
a) (k + k')A = kA + k'A
b) k(A + B) = kA + kB
c) (kk')A = k(k'A)
d) (kA)B = A(kB) = k(A x B)
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Application 4 : ajouter des matrices et multiplier des matrices par un réel
On considère les matrices et .
Calculer 5A + 3B à la main. Vérifier en effectuant le calcul avec une calculatrice.
4.2.3) Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne
Définition 9
Soit A une matrice ligne et B une matrice colonne telles que :
et
Le produit de la matrice ligne A par la matrice colonne B est la matrice, notée A x B et
égale à :
Exemple
et alors
Donc
4.2.4) Produit de deux matrices
Le produit AB de deux matrices n’existe que si le nombre de colonne de A est égal au nombre
de ligne de B.
Définition 10
Si A une matrice de taille et B une matrice de taille , le produit ou AB
est la matrice de taille dont le coefficient situé à la ligne i et la colonne j est « le
produit de la i et la colonne j de B (au sens de la définition précédente) », pour
et .
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Exemple
et alors :
et
ATTENTION : Certaines propriétés très usuelles de la multiplication des nombres (réels ou
complexes) ne s’étendent pas à la multiplication des matrices.
La multiplication de matrices n'est pas commutative : en général
Si AB = AC on ne peut pas « simplifier » et en déduire que B = C
Application 5 : disposition pratique pour calculer le produit de deux matrices
Soit et .
1. Peut-on calculer le produit AB ? Si oui, si oui calculer ce produit.
2. Peut-on calculer le produit BA ? Si oui, si oui calculer ce produit.
Propriété 4
Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille et un réel k.
a) Associativité : (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C
b) Distributivité : A x (B + C) = A x B + A x C et (A + B) x C = A x C + B x C
c) (kA)B = A(kB) = k(A x B)
d) Soit In la matrice unité d’ordre n, alors
Application 6 : utiliser les propriétés de calcul sur les matrices
Soit M la matrice .
Montrer que M = P + I où I est la matrice unité d’ordre 3, et P est une matrice carrée d’ordre 3
telle P2 = O (matrice nulle d’ordre 3). En déduire M2.
Application 7 : calculer avec des matrices
On considère les matrices :
et .
a. Déterminer deux réels a et b tels que :
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