Cours

Université Paris-Dauphine
DUMI2E
UFR Mathématiques de la décision
Notes de cours
Analyse 2
Filippo SANTAMBROGIO
Année 2008

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Table des matières
1 Optimisation de fonctions continues et dérivables 5
1.1 Continuité........................................ 5
1.2 Dérivabilité ....................................... 9
2 De la dérivation aux développements limités 12
2.1 Propriétés des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Formule de Taylor et dévéloppements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Exemplesetapplications................................ 21
2.4.1 Calculs de DL et de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Minima, maxima et DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Fonctionsconvexes................................... 26
2.5.1 Fonction convexes et concaves et leurs applications . . . . . . . . . . . . . 32
3 Intégrales 34
3.1 FonctionsIntégrables.................................. 34
3.2 Des classes de fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Fonctionsmonotones.............................. 39
3.2.2 L’intégrabilité des fonctions continues et l’uniforme continuité . . . . . . . 40
3.2.3 Fonctions a variation bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Le théorème fondamental du calcul et l’intégration par parties . . . . . . . . . . . 46
3.4 Méthodes de calcul de primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.1 Intégrales sur des intervalles spéciaux (symétrie, périodicité) . . . . . . . 49
3.4.2 Intégration par partie : récurrence et ruses spéciales . . . . . . . . . . . . 50
3.4.3 Descassimples................................. 52
3.4.4 Changement de variable d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.5 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.6 Fonctions rationnelles de fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Applications des intégrales aux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Equations différentielles 61
4.1 Equations linéaires a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3

4.1.1 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.2 Equations non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Equations linéaires d’ordre un, coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Equations non linéaires d’ordre un à variable séparables . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Astuces diverses : changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
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Chapitre 1
Optimisation de fonctions continues
et dérivables
1.1 Continuité
On rappelle plusieurs définitions de fonction continue.
Définition 1.1.1. Soit Aun sous-ensemble de R. Une fonction f:A→Rest dite continue au
point x0∈Asi pour tout ε > 0il existe un δ > 0tel que tout x∈Aavec |x0−x|< δ satisfait
aussi |f(x0)−f(x)|< ε.
De façon équivalente, on peut dire que fest continue au point x0si la limite limx→x0, x∈Af(x)
existe et est égale à la valeur f(x0)(cela vient de la définition de limite)
Dernièrement, on peut dire aussi que fest continue au point x0si pour toute suite (xn)n⊂A
qui converge vers x0la limite de la suite (f(xn))nexiste et limn→∞ f(xn) = f(x0)(ceci est une
conséquence de la caractérisation séquentielle des limites).
Une fonction est dite continue si elle est continue en tout point de son domain de définition A.
Il vaut mieux remarquer que d’après cette définition toute fonction fest continue en tout point
isolé de son ensemble de définition. Si par exemple A= [0,1] ∪ {2}la fonction fest sûrement
continue au point 2car pour tout ε > 0il suffit de choisir δ= 1/2: de cette façon le seul point
x∈Aavec |x−2|< δ = 1/2sera le point 2lui-même et la condition |f(x)−f(2)|< ε sera
verifiée car f(x) = f(2) (une conséquence de x= 2) ! De façon équivalente on peut considérer
des suites : toute suite (xn)nconvergente vers 2et composéee de points appartenant à Aréalise
forcement l’égalité xn= 2 à partir d’un certain rang. Par conséquent la suite (f(xn))nsatisfait
f(xn) = f(2) à partir du même rang, ce qui est largement suffisant pour donner la limite
limn→∞ f(xn) = f(2).
Dans ce chapitre on va voir comment la notion de continuité peut s’appliquer à la recherche des
maxima et minima des fonctions. Ce qu’on peut donner est un important résultat d’existence.
C’est-à-dire : sous certaines hypothèses on peut assurer l’existence d’un point de minimum (ou de
maximum). Pour le trouver vraiment, il faut utiliser des conditions nécessaires qui nous aident à
restreindre l’ensemble des possibles candidats minimiseurs. Pour cela il faut utiliser les dérivées.
Si la notion de continuité est celle importante concernant les fonctions à minimiser, les notions
importantes concernant les ensembles seront celles d’ensemble fermé et d’ensemble borné.
Définition 1.1.2. Soit Aun sous-ensemble de R. On dit que Aest ouvert si pour tout x∈A
il existe un rayon r > 0tel que {y∈R:|x−y|< r} ⊂ A(autrement dit, Ainclut un segment
bilatéral autour de tout point qu’il contient). Cette définition généralise celle d’intervalle ouvert
à des ensembles qui ne sont pas des intervalles.
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