Topologie, Analyse Fonctionnelle

Topologie, Analyse Fonctionnelle
notes de cours

Table des mati`eres
1 Vocabulaire 4
1.1 Distancesetnormes.................................... 4
1.2 Convergence;continuit´e ................................. 7
1.2.1 Suitesconvergentes................................ 7
1.2.2 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Vocabulairetopologique ................................. 9
1.3.1 Ouverts et ferm´es d’un espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Adh´erence,int´erieur ............................... 13
1.3.3 Fronti`ere ; connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Distances´equivalentes .................................. 16
1.4.1 ´ Equivalence des normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Sous-espaces,produits .................................. 19
1.5.1 Sous-espaces d’un espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Produits finis d’espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Parties denses d’un espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 S´eparabilit´e ........................................ 22
2 Espaces complets 25
2.1 D´efinitionetexemples .................................. 25
2.2 Th´eor`emedupointfixe.................................. 29
2.2.1 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Th´eor`eme des ferm´es emboˆıt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Projection sur un convexe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Th´eor`emedeBaire .................................... 34
2.4.1 Fonctions continues nulle-part d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Limites simples de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Espaces m´etriques compacts 38
3.1 D´efinitionetexemples .................................. 38
3.2 Th´eor`eme des compacts emboˆıt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Image continue d’un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 Optimisation ................................... 43
3.3.3 Continuit´euniforme ............................... 44

3.4 Produitsdecompacts................................... 46
3.4.1 Produitsfinis ................................... 46
3.4.2 Produits d´enombrables ; proc´ed´e diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Propri´et´e de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Id´eaux maximaux de C(K)............................ 50
3.6 Pr´ecompacit´e ....................................... 51
3.6.1 Enveloppe convexe d’un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2 R´egularit´e des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Th´eor`emedeRiesz .................................... 55
4 Applications lin´eaires continues 57
4.1 Crit`eredecontinuit´e ................................... 57
4.1.1 L’espace norm´e L(E, F ) ............................. 58
4.2 Exemples ......................................... 60
4.2.1 Normes d’op´erateurs en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 Op´erateurs`anoyau................................ 62
4.3 Prolongementpardensit´e ................................ 66
4.4 Familles born´ees d’applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1 Convergence“forc´ee”............................... 69
4.4.2 Th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Th´eor`emes de l’image ouverte et du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5.1 Th´eor`eme de l’image ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5.2 Caract´erisations de la surjectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.3 Th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 Dualit´e 81
5.1 Le dual d’un espace vectoriel norm´e ; exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1 Dual d’un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.2 dual de Lp..................................... 82
5.1.3 dual de C(K) ................................... 84
5.2 Th´eor`emedeHahn-Banach................................ 85
5.2.1 Fonctionnelles sous-lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.2 ´ Enonc´eduth´eor`eme ............................... 86
5.2.3 Preuveduth´eor`eme ............................... 87
5.3 Cons´equences du th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.1 Le dual s´epare les points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.2 Crit`erededensit´e................................. 91
5.3.3 S´eparation des ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Adjointd’unop´erateur.................................. 96
5.4.1 Casg´en´eral .................................... 96
5.4.2 Cashilbertien................................... 98
5.4.3 Norme d’un op´erateur auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5 Convergencefaible .................................... 100
2

6 Espaces de fonctions continues 103
6.1 Th´eor`eme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Th´eor`emed’Ascoli .................................... 107
6.2.1 ´ Equicontinuit´e................................... 107
6.2.2 Laversiondebase ................................ 109
6.2.3 Raffinements ................................... 110
6.2.4 Uneapplication.................................. 111
6.3 Fonctions continues sur un ouvert de Rd........................ 113
6.3.1 Topologie de la convergence uniforme sur tout compact . . . . . . . . . . . . 113
6.3.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Op´erateurs compacts 117
7.1 G´en´eralit´es ........................................ 117
7.2 Op´erateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.1 G´en´eralit´es .................................... 120
7.2.2 Exemplefondamental............................... 122
7.3 Diagonalisation des op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.1 Pr´eliminaires sur les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.2 Casauto-adjoint ................................. 125
7.3.3 Casnormal .................................... 126
7.4 Applications du th´eor`eme de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.4.1 D´ecomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.4.2 Noyaux et sommes de s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4.3 Syst`emes de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3

Chapitre 1
Vocabulaire
1.1 Distances et normes
D´efinition 1.1.1 Une distance sur un ensemble Eest une application d:E×E→R+v´erifiant
les propri´et´es suivantes :
(1) d(a, b) = d(b, a)pour tous a, b ∈E;
(2) d(a, b)=0si et seulement si a=b;
(3) d(a, c)≤d(a, b) + d(b, c)pour tous a, b, c ∈E.
Un espace m´etrique (E, d)est un ensemble Emuni d’une distance d.
Si on interpr`ete la distance comme un “temps de parcours”, la propri´et´e de sym´etrie (1) signifie que
le parcours en question est enti`erement r´eversible : il est “aussi rapide” d’aller de avers bque de
revenir en a`a partir de b. La propri´et´e (2) signifie que la distance dest suffisamment “fine” pour
distinguer les points de E. L’in´egalit´e (3) porte le nom d’in´egalit´e triangulaire. Elle signifie qu’il
est toujours plus rapide d’aller directement d’un point a`a un point cque de passer par un point
interm´ediaire b.
Si a, x, y sont 3 points de E, alors, d’apr`es l’in´egalit´e triangulaire, on a d(x, a)−d(y, a)≤d(x, y).
Par sym´etrie, on en d´eduit l’in´egalit´e triangulaire inverse :
|d(x, a)−d(y, a)| ≤ d(x, y).
Exemples
(1) Sur R, la distance usuelle est d´efinie par d(x, y) = |x−y|.
(2) Si Pest un plan euclidien muni d’un rep`ere orthonorm´e, on d´efinit une distance sur Pen
notant d(A, B) la longueur du segment [A;B]. En identifiant P`a R2de mani`ere ´evidente, on a
d(A, B) = p(xB−xA)2+ (yB−yA)2. De mani`ere ´equivalente, si on identifie P`a C, alors dest
donn´ee par d(a, b) = |b−a|, o`u on a not´e |z|le module d’un nombre complexe z. On dit que dest
la distance euclidienne sur R2, ou encore la distance usuelle sur C.
(3) Si Eest un ensemble quelconque, on d´efinit une distance sur Een posant d(a, a) = 0 et
d(a, b) = 1 si a6=b. On dit que dest la distance discr`ete sur X.
(4) Soit El’ensemble de toutes les stations du m´etro parisien. On d´efinit une distance sur Een
notant d(a, b) la longueur du plus court trajet entre aet b, exprim´ee en nombre de stations.
4