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Fonction exponentielle
On a établi en activités deux implications réciproques entre deux propriétés (P) et (Q) pour une
fonction f, non nulle définie et dérivable sur R. On se reportera pour les démonstrations du chapitre
à celles effectuées en activités.
(P) : f vérifie : f ‘= kf et f(0)= 1 (Q) : pour tous réels x et y : f(x + y) = f(x) f(y)
On a en outre établi que le réel k en question n’est autre que : f’(0)
L’existence de fonctions f vérifiant ces propriétés est admise.
On s’intéresse au cas où k = 1 pour lequel l’utilisation de la méthode d’Euler nous persuade qu’une
telle fonction existe.
I LA FONCTION EXPONENTIELLE (DE BASE e)
1° THEOREME 1
Il existe une unique fonction f non nulle, définie et dérivable sur R telle que : f ‘= f et f(0)= 1.
Cette fonction est la fonction exponentielle notée : exp
On a donc : exp’ = exp et exp(0) = 1
Remarques :
 La fonction exp est une fonction non algébrique comme sin et cos.
 exp(0)= 1 donc exp’(0) = 1.
La tangente à (Cf) au point (0 ; 1) a pour équation réduite : y = x + 1
2° PROPRIETES 1
Pour tout réel x et y :
exp(x + y) =
exp( ).exp( )xy
(1) exp (-x) =
1
exp( )x
(2) exp (x - y) =
exp( )
exp( )
x
y
(3)
exp (nx) =
exp( ) n x
pour n N (4)
Idée de démonstration de : on pose f = exp
(1) et (2) : On considère la fonction g :
exp( ).exp( )x x y x
On montre que : g’(x) = 0 (en utilisant f’ = kf ) donc que g est constante égale à exp(y)
Pour y = 0 on obtient (2) puis (1) pour y quelconque en utilisant (2).
(3) conséquence de (1) et (2)
(4) par récurrence
Remarque : si p Z\N : p<0 et p =-n où n N :

exp (px) = exp (-nx) =
1
exp( ) n x
=
1
exp( ) n x
=
exp( ) n x
=
exp( ) p x
ainsi (4) s’étend au cas où n Z.
3° AUTRE NOTATION (introduite par Euler)
Ecrivons (4) pour x = 1 : exp (n) = [exp(1)]n
On note e le nombre exp (1) . Alors : exp (n) = en
On étend cette notation à tout réel x. Ainsi : exp (x) = ex
En particulier : e0 = 1 et e1 = e
On réécrit avec cette notation les propriétés du 2° :
ex+y= ex.ey (1’) e-x=
1x
e
(2’) ex-y=
x
y
e
e
(3’)
()
nx x n
ee
pour tout n Z
On a établi aussi que : exp (
2
x
) =
exp( )x
soit
2
xx
ee
Remarque :
La tangente en zéro est la représentation graphique de l’approximation affine de exp en zéro.
donc pour x proche de zéro :
exp x 1 + x soit avec la notation : ex 1 + x
Par exemple pour x =
1
n
lorsque n est un « peu grand » :
11
1
n
en
Les deux membres sont positifs et la fonction
n
tt
est croissante sur R+ , donc :
11
1
nn
n
en
soit : e
1
1n
n
Pour n = 10000 on obtient e 2,718 Ex 12 à 17 page 107
II Etude de la fonction exponentielle
 exp est définie et dérivable sur R
 exp est strictement positive sur R
(en effet f ne s’annule pas sur R et f est continue sur R donc f est de signe constant. Or f(0) = 1)
Ainsi : ex > 0 pour tout réel x.
Conséquence : exp x < exp y équivaut à : x < y (M1) soit ex < ey équivaut à : x < y
 exp ‘ = exp donc la dérivée étant strictement positive, exp est strictement croissante sur R.

Limites
En + : On travaille par comparaison (pas d’autre possibilité).
Montrons que : exp(x) x + 1 pour tout réel x. Considérons la fonction g définie et dérivable sur R
telle que : g(x) = exp(x)-(x + 1)
On a : g’(x) = exp’(x)-1= exp(x)-1
Or exp(0)=1 et exp est strictement croissante sur R donc : exp(x)>1 équivaut à x > 0.
Ainsi : g’ > 0 sur ]0 ; + [ et g’ < 0 sur ]- ; 0 [.
Donc g est strictement décroissante sur ]- ; 0 ] et strictement croissante sur [0 ; + [ .
Alors g(0) est le minimum de g sur R. Or g(0) = 0 donc g est positive sur R. (Donc la courbe
représentative de exp est au-dessus de sa tangente en zéro sur R avec un point de contact bien sûr)
Alors : exp(x) x + 1 sur [0 ; + [. Or :
lim 1
xx
+ donc par comparaison :
exp( )lim
xx
=+ .
Ex : Mq : ex 1+ x +
²
2
x
En - : Posons X = -x.
x tend vers - équivaut à X tend vers + et exp(x) = exp(-X)
1
exp( ) exp( ) 0
exp( )
lim lim lim
x X X
xX
X
(sachant que :
exp( )lim
XX
0 )
Donc :
lim 0
x
xe
D’où le tableau de variation de la fonction exp.
x
-
+
exp’
+
exp
+
0
Remarque : exp est continue sur R=]- ; + [ (car dérivable sur R) et strictement croissante sur R.
De plus :
lim 0
x
xe
et
lim x
xe
Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires relatif aux fonctions continues et
strictement monotones, pour tout nombre k de ] 0 ; + [, l’équation :
x
e
= k admet une unique
solution sur k.
On dit que la fonction exp réalise une bijection de R sur ] 0 ; + [. Ainsi : exp x = exp y équivaut à :
x = y (M2)

Exemples :
a) Résoudre dans IR l'équation
:E
032 36  xx ee
E
éq à
032 3
2
3 xx ee
éq à
'032XX
X
2
3
E
ex
On résout l'équation auxiliaire
:'E
1X 
ou
3X 
Alors
E
éq à
1
3 x
e
ou
3
3 x
e
éq à
1
3 x
e
car
0
3 x
e
pour tout réel x.
éq à
03 ee x
éq à
03 x
éq à
0x
D'où
0S
b) Résoudre dans IR l'inéquation
ee x
12
ee x
12
éq à
2
1
12 ee x
éq à
1
2
1
12 
e
ex
car
0
2
1
e
éq à
1
2
1
12  x
e
éq à
0
2
3
2ee x
éq à
0
2
3
2x
éq à
4
3
x
et
 ;
4
3
S
1
xe xf x
sur
 ;1
. Etude du comportement de f en -1.
En -1 :
e
ex
x
1
lim1
et
01lim1x
x
donc
 xf x1
lim
III ETUDE DE FONCTIONS FAISANT INTERVENIR L’EXPONENTIELLE
1° Autres limites faisant intervenir l’exponentielle
THEOREME 2 Pour tout entier naturel n :
lim x
n
x
e
x
+ (5)
lim nx
xxe
0 (6)
0
1
lim x
xx
e
1 (7)

On dit pour (5) et (6) que "A l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x."
En particulier :
lim x
x
e
x
+ et
lim x
xxe
0.
Remarque : (5) et (6) sont particulièrement utiles pour l’étude à l’infini du comportement
d’expressions de la forme :
()
x
Px
e
(en + )et
()
xPxe
(en - ), après avoir factorisé P par sa plus
grande puissance). (M3)
Démonstration :
(5) : on procède par comparaison. On a : e X > X pour tout réel X .
Posons X =
1
x
n
où n est un naturel. Alors :
1
x
n
e
>
1
x
n
Considérons x positif. La fonction
1n
tt
est strictement croissante sur R+.
Alors : (
1
x
n
e
)n+1 > (
1
x
n
)n+1 soit
x
e
>
1
1
( 1)
n
n
x
n
donc :
1
lim ( 1)
x
nn
x
ex
xn
Or
1
lim ( 1)n
x
x
n
= donc :
lim x
n
x
e
x
=
(6) poser X = -x et déterminer :
lim nx
xxe
lim nx
xxe
=
()lim nX X
Xe
=
()lim nX X
Xe
=
lim n
X
X
e
X
= 0
(7) : est le nombre dérivé de exp en zéro
Exemples : Limite en - de f telle que : f(x) = (-2x3 -2x -
3
x
)ex
Limite en + de f telle que : f(x) =
x
e
x
Limite en 0 de g telle que : g(x) =
1
x
e
x
2° DERIVEE DE
exp u
THEOREME 3
u étant une fonction dérivable sur un intervalle I, alors
exp u
est dérivable sur I
et sa dérivée est égale à : u’
(exp u)
Remarques :
 exp étant définie (et dérivable) sur R,
exp u
a le même ensemble de définition (et de dérivabilité)
que u.
exp u
étant strictement positive la dérivée a le signe de u’. Donc u et
exp u
ont mêmes
variations.