2. Exemple d`un oscillateur anharmonique.

Résolution numérique d’équations différentielles non linéaires.
Equations adimensionnées.
 L’objectif de ce TD est l’utilisation de Maple afin de résoudre numériquement les équations non linéaires que
l’on peut obtenir dans certains problèmes de physique comme les oscillateurs (I), l’induction (II) ou encore la
mécanique des fluides (III) que certains abordent en TIPE. Cette résolution permet :
 D’obtenir numériquement la durée caractéristique du phénomène étudié : période de l’oscillateur (I),
temps de chute (II) ou temps de vidange (III)…
 D’étudier l’influence de certains paramètres du problème sur l’évolution étudiée (I.2 et II) et de
vérifier ainsi les prévisions qualitatives que l’on a pu faire.
C’EST EXACTEMENT COMME CELA QUE MAPLE EST UTILISE A L’ORAL DU CONCOURS CENTRALE ! La partie II
est d’ailleurs présentée comme un exercice d’oral. C’est aussi comme cela que l’on peut utiliser Maple pour
son TIPE…
En outre pour une exploitation optimale, la résolution numérique passe nécessairement par un travail
préliminaire sur l’équation différentielle, qui consiste à l’adimensionner.
 Le programme devra commencer par les instructions restart et with(plots) [chargement de la library plots
nécessaire au tracé des graphes].
I. EVOLUTION D’UN OSCILLATEUR ET RECHERCHE DE PERIODE.
1. Principe de l’étude sur l’exemple trivial de l’oscillateur harmonique.
 On considère un système constitué d’une masse m couplée à un ressort de raideur k, oscillant sans frottements
autour de sa position d’équilibre ; l’écart x à cette position d’équilibre est régi par l’équation différentielle :
m
d2x
d2x
k
qui
s’écrit
aussi
:
.
 02 x  0 avec 0 

kx

0
2
2
dt
dt
m
Cette équation d’oscillateur harmonique est extraordinairement simple car linéaire et on sait que les solutions
sont sinusoïdales et que la période d’oscillation est indépendante de l’amplitude de l’oscillateur et s’écrit :
T
2
0
 2
m
k
Mais supposons un instant qu’on ne sache pas résoudre cette équation… On pourrait alors procéder de la façon
suivante :
 On commence par « adimensionner » l’équation différentielle, c'est-à-dire l’écrire à l’aide de variables
« réduites » sans dimensions ; dans le cas qui nous occupe cela revient à :
 Chercher une distance caractéristique des variations de x, qui ici est simplement l’amplitude xm des
oscillations (l’autre longueur du problème est la longueur à vide l0, moins pertinente…) ;

Chercher une durée caractéristique du problème qui ici est :   1 0  m k ;

Poser : x  x xm et t  t  qui sont les variables adimensionnées du problème ;

Réécrire l’équation différentielle à l’aide de ces seules variables, ce qui donne, en remplaçant
systématiquement x par x  xm et t par t  :
d2x
x0
dt 2
(on a utilisé : dt 2  dt 2  2  dt 2 02 )
 Ici, l’équation différentielle obtenue est particulièrement simple et ne fait intervenir
aucun autre paramètre que x et t , mais ce n’est pas toujours le cas (voir plus loin). Cela
traduit l’indépendance des solutions (et de la période) vis-à-vis de xm et l0.
 On résout cette équation différentielle numériquement et on en trace la solution avec Maple, à l’aide des
deux instructions suivantes (analysez la syntaxe de dsolve et odeplot) :
> p := dsolve ( { diff(x(t),t$2)+x(t)=0 , x(0)=1 , D(x)(0)=0 } , x(t) , type=numeric ) :
> odeplot ( p , [t,x(t)] , 0..10 , view=[0..10,-1.1..1.1] , color=blue ) ;
 On obtient alors la courbe ci-dessous sur laquelle on peut qualitativement observer le caractère sinusoïdal des
oscillations et mesurer la période : on constate en effet que x repasse par sa valeur initiale au bout d’une
durée t1 6,3 et on en déduit que la période du mouvement est donc :
T  t1 
6,3   6,3
m
k
[ ce qui est bien conforme à l’expression théorique : T  2
m
]
k
 Ce qui est fort, c’est qu’à partir d’une résolution purement numérique, on a obtenu une expression littérale de
la période en fonction des paramètres du problème ! On doit toutefois se satisfaire, bien entendu, d’une
valeur approchée de la constante numérique intervenant dans la formule (6,3 au lieu de 2).
 Travail demandé : vérifier que la résolution numérique avec Maple fournit bien la courbe ci-dessus et qu’on
obtient bien t1 6,3 ; on jouera sur les échelles et les paramètres d’affichage afin de faire cette « mesure » le
plus précisément possible.
2. Exemple d’un oscillateur anharmonique.
 On considère maintenant un point matériel M de masse m susceptible de
glisser sans frottement sur un axe horizontal (Ox) (voir figure ci-contre).
O
l0
Il est relié par un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 à un point
fixe A situé à la distance l0 de O. On suppose qu’il effectue alors autour
de O des oscillations d’amplitude xm très faible devant l0.
 Compte tenu de la condition xm l0 , on peut montrer que l’évolution de x(t)
est régie par l’équation différentielle :
A
x
M
x
k, l0
k x3
0
2m l02
 Travail demandé :

En utilisant les mêmes variables réduites que dans la partie précédente, adimensionner cette équation
différentielle et remarquer l’intervention du rapport sans dimension xm l0 .

A l’aide de Maple, tracer le graphe de x  t  pour xm l0  0,1 et déterminer la période T du mouvement.

Recommencer en faisant varier le rapport xm l0 et constater que T dépend de xm, contrairement au cas
des oscillations harmoniques. Comment T semble-t-elle varier avec le rapport xm l0 ?

Proposer une expression de T en fonction de m, k, l0 et xm.
II. EXERCICE D’INDUCTION : CHUTE D’UNE BARRE.
Les extrémités C et D d'une barre homogène, de résistance R, de
masse m et de longueur a glissent sans frottements sur deux fils
rectilignes de résistances négligeables confondus avec l'axe
horizontal Ox et l'axe vertical Oy. L'ensemble forme un circuit
filiforme fermé d'inductance propre négligeable, plongé dans un
champ magnétique uniforme et stationnaire : Bez (figure 1).
On repère le mouvement de la barre par l'angle qu'elle fait avec
l'horizontale. A l'instant t = 0, la barre est caractérisée par un angle
 0 et abandonnée sans vitesse initiale.
On pose :  
a
g
et
k
3B 2 a 3
.
4mgR
Figure 1
1) Partie théorique :
 Montrer que la puissance dissipée par effet Joule dans la barre lors de la chute s’écrit :
B2a4
cos 2  2  2
4R
Expliquer d’où vient cette énergie et expliquer le terme de transduction électromécanique.
PJ 
 En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à la barre, montrer simplement que l’équation
différentielle régissant  (t) s’écrit :
k
3
  cos2  2   2 cos    0

2
 Adimensionner cette équation.
2) Partie numérique :
 A l’aide de Maple, tracer les graphes de  (t/) entre t/ =0 et 6,
pour les 3 valeurs k = 0, k = 10 et k = 20, avec la condition
initiale :  0 = /3.
 Ajouter les graphes équivalent pour les deux autres conditions
initiales suivantes :  0 = /4 et  0 = /6.
 Superposer ces graphes (fonction display).
La figure 2 ci-contre est donnée à titre indicatif.
Figure 2
3) Analyse des solutions :
 Justifier qualitativement l'allure de ces graphes en analysant les phénomènes qui se produisent.
Commenter en particulier l'influence de  0 et de k.
 Que déduit-on en particulier de l’existence d’asymptotes linéaires pour k  0 ?
 Discuter le comportement particulier aux dates faibles pour la valeur  0 = /4.
III. COMPLEMENT (s’il reste du temps) : ETUDE D’UNE VIDANGE.
Un tube de section constante est constitué de deux parties, chacune
d’une longueur L, reliées à angle droit (figure ci-contre).
A t = 0, le tube est rempli d’eau à ras bord et on ouvre la vanne de
sortie. Le tube se vidange et on cherche la loi donnant le temps de
vidange de la partie verticale. L’eau est supposée inviscide.
On note h(t) la hauteur d’eau dans le tube à l’instant t.
g
L
Vanne
A partir des lois de l’hydrodynamique, on peut montrer que
l’équation différentielle régissant l’évolution de h(t) s’écrit :
h  h  L    gh
L
 Adimensionner cette équation.
 A l’aide de Maple, tracer le graphe de h  t  et en déduire un expression du temps de vidange en
fonction de L et de l’accélération de la pesanteur g.
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