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Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice
TD Maple physique 1
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TD MAPLE PHYSIQUE N°1 : DEUX PROBLEMES DE CINEMATIQUE DU POINT
I. Le pendule simple.
1. Position du problème.
Soit un pendule simple constitué d’un fil inextensible et sans masse de longueur l auquel est suspendu une masse ponctuelle m .
La position de la masse est repérée par l’angle θ que fait le fil avec la verticale.
A l’instant t = 0 , le pendule est lancé depuis sa position d’équilibre θ0 = 0 à la vitesse initiale θ& 0 = v (en rad.s -1 ).
On cherche à déterminer les variations de θ en fonction du temps t pour différentes valeurs de v.
2. Résolution à l’aide de Maple.
a) Equation différentielle.
Etablir l’équation différentielle vérifiée par θ (t) pour un fil de longueur 1 m .
Ecrire cette équation en Maple en précisant la valeur de g ( 9,81 m.s -2 ).
b) Résolution de l’équation différentielle.
•
Demander à Maple la résolution de l’équation précédente, compte tenu des conditions initiales ( θ0 = 0 et θ& 0 = v ).
• Au vu de la réponse retournée par Maple, on choisit de résoudre numériquement l’équation (option numeric) pour avoir une
solution approchée et de tracer la fonction θ (t) obtenue (odeplot) en faisant varier les vitesses initiales v entre 1 et 10 m.s -1
(instruction seq).
On pourra stocker les dessins obtenus dans une table (faire une boucle for dont le corps contiendra un dessin[i] :=odeplot...) puis
utiliser la fonction display du module plots avec ou sans l’option insequence=true.
c) Interprétation physique.
On remarque l’existence d’une vitesse seuil qui fait passer d’une solution périodique (oscillations) à une solution où θ est strictement
croissante (tour complet).
Donner, à l’aide des graphes obtenus, un encadrement de v seuil .
Monter par le calcul que la valeur cherchée est v seuil = 2
g = 6,28 m.s -1 et conclure.
II. Le cheval et l’escargot.
1. La fable...
On attache la queue d’un cheval à un poteau au moyen d’un élastique indéfiniment extensible.
La longueur à vide de l’élastique est de 1 m .
On place un escargot sur l’élastique au niveau du poteau.
On fait partir le cheval qui s’éloigne du poteau à la vitesse de 1 m.s -1 .
L’escargot au même instant prend la même direction en se déplaçant à la vitesse de 1 mm.s -1 .
On cherche à répondre aux questions suivantes :
• L’escargot va-t-il rattraper le cheval ?
• Si oui, au bout de combien de temps ?
2. Mise en équation.
On note v e la vitesse de l’escargot par rapport au fil, et v c la vitesse du cheval.
On prend pour origine de l’axe Ox l’extrémité fixe du fil. La longueur initiale du fil est L0 .
La position de l’escargot à la date t est E(t) .
Montrer que l’équation différentielle vérifiée par E(t) s’écrit :
dE( t)
vc
=
E ( t) + ve .
dt
L 0 + vc t
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TD Maple physique 1
3. Résolution à l’aide de Maple.
a) Poser l’équation et trouver la solution E(t) à l’aide de Maple (dsolve).
b) Déterminer dans le cas général l’instant τ où l’escargot rattrape le cheval, soit E(τ) = L0 + v c τ .
c) Commenter les cas particuliers :
• cheval immobile ;
• vitesse du cheval infinie ;
• déterminer avec les valeurs de l’énoncé l’instant τ où l’escargot rattrape le cheval puis reprendre le calcul si la vitesse de
l’escargot est cette fois la moitié de celle du cheval. Commentez le résultat obtenu.
d) Tracer τ en fonction de v e pour les valeurs de v c et de L0 précédentes. Commenter.
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