Anneaux

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Définition
Définition – Anneaux
Soit A un ensemble muni de deux lci notées ⊤ et ∗. On dit que (A, ⊤, ∗) est un anneau ssi :
① (A, ⊤) est un groupe commutatif
② la loi ∗ est associative
③ ∗ admet dans A un élément neutre e (élément unité)
④ ∗ est distributive par rapport à ⊤
* Dans l’ancienne définition un anneau vérifiait les axiomes 1 à 3 et on appelait anneau unitaire un anneau qui vérifiait le 4
Définition – Sous-anneau
Une partie H de A est un sous-anneau de l’anneau (A, ⊤, ∗) ssi
① H est stable pour les deux lois
② H contient 1A élément unité de A
③ Les restrictions à H de ⊤ et ∗ donnent à H une structure d’anneau
Théorème
Une partie H de A est un sous-anneau de l’anneau (A, +, ∗) ssi
① ∀(a, b) ∈ H² a – b ∈ H
②1A ∈ H
③∀(a, b) ∈ H² a ∗ b ∈ H
Définition - Caractéristique d’un anneau
La caractéristique d'un anneau A est le plus petit entier naturel non-nul n tel que n.1A = 1A + 1A + … + 1A = 0A
* Si un anneau est non trivial (card ≥ 2) est de caractéristique nulle alors il est de cardinal infini
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Propriétés de calcul dans un anneau
Propriété – Eléments absorbant
0 (élément neutre de la première loi) est absorbant pour la 2ème loi de l’anneau (A, +, ∗)
c'est-à-dire ∀a ∈ A, 0 ∗ a = 0
Propriétés
Pour tout couple (a, b) ∈ A² on a : a ∗ (-b) = (-a) ∗ b = -(a ∗ b)
Quels que soient les éléments a, b, c de A on a : a ∗ (b – c) = a ∗ b – a ∗ c
Définition – Diviseur de zéro
Soit un anneau (A, +, ∗) non réduit à {0}. Un élément a de A-{0} est un diviseur de zéro ssi il existe un élément b de A-{0} tel
que : a ∗ b = 0 ou b ∗ a = 0
b est aussi un diviseur de zéro
* un diviseur de zéro ne peut pas être inversible
* un élément peut être ni inversible ni diviseur de zéro (dans ℤ seuls 1 et -1 sont inversibles)
Définition – Anneau intègre
Un anneau (A, +, ∗) non réduit à {0} est dit intègre s’il est commutatif et s’il n’a pas de diviseur de zéro
* Les anneaux (ℝ, +, ⨯) et (ℤ+, ⨯) sont intègres
* Dans un anneau (A, +, ∗) intègre ∀(a, b) ∈ A², a ∗ b = 0 ⟺ a = 0 ou b = 0
* Un anneau fini est intègre ssi c’est un corps
Propriétés – Elements inversibles
L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau (A, +, ∗) est un groupe pour la loi ∗
* Un élément de A n’a pas nécessairement un symétrique pour la loi ∗
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Idéal d’un anneau commutatif
Définition – Idéal
On appelle idéal d’un anneau commutatif A tout sous-groupe additif de A vérifiant la propriété suivante
∀(a, i) ∈ A 𝗑 I, ai ∈ I
* Un idéal n’est pas forcément un sous-anneau de A car il ne contient pas forcément 1
* A et {0} sont des idéaux de A
* Un idéal de A vaut A ssi il contient 1 ou plus généralement un élément inversible
* L’intersection de deux idéaux de A est un idéal de A
* La somme I + J = {i + j |(i, j) ∈ I 𝗑 J} est un idéal
Caractérisation d’un idéal
Une partie I de A est un idéal ssi elle contient 0 et vérifie ∀(a, b) ∈ A², ∀(i, j) ∈ I², ai + bj ∈ I
Morphisme et idéal
* Si A est un anneau commutatif et 𝜑 un morphisme d’anneau de A vers B, alors le noyau de 𝜑 est un idéal
* L’image d’un idéal de A n’est pas forcément un idéal de B
* L’image réciproque d’un idéal de B est un idéal de A
Proposition – Idéal engendré par un élément
Le sous-ensemble aA = {au | u ∈ A} est le plus petit élément de A contenant a
On l’appelle l’idéal engendré par a.
* Pour tout (a, b) ∈ A² la somme aA + bA = {au + bv | (u,v) ∈ A² } est le plus petit idéal contenant {a, b}
Définition – Idéal principal
Un idéal est dit principal s’il est engendré par un unique élément
Définition – Divisibilité
On dit qu’un élément a divise un élément b de A ce que l’on note a |b s’il existe c ∈ A tel que ac = b
* a est un diviseur de b
* b est un multiple de a
* La relation de divisibilité est réflexive et transitive (en général elle n’est pas antisymétrique)
* Par définition l’ensemble des multiples d’un élément a ∈ A est l’idéal aA
* L’élément nul (neutre de l’addition) est un multiple de tout élément de A mais ne divise que lui-même
* L’élément unité 1 divise tout élément mais n’est multiple que des éléments inversibles de A
Propositions
* ∀(x, y) ∈ A2, x | y ⇔ yA ⊂ xA
* Soit (a, b, c, x, y) ∈ A5. Si a divise b et c, alors a divise xb + yc
Proposition
Si a et b appartiennent à A, les 3 propositions suivantes sont équivalentes
1. a | b et b | a
2. aA = bA
3. il existe un élément inversible u de A tel que b = ua
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