R-ev euclidien orienté de dimension 2

Dans tout ce chapitre, E désigne un R-ev euclidien orienté de dimension 2.
Exemples :
2
R
muni de sa structure euclidienne canonique.
C, en tant que R-ev de dimension 2, on peut le munir de sa structure euclidienne orientée
naturelle, c'est-à-dire celle pour laquelle la base naturelle
),1( i
est une base orthonormée
directe.
Alors, pour
iyxz 
,
''' iyxz 
, on a
xyxz  22
,
)'Re(''' zzyyxxzz 
I Rappels : droites du plan E.
Ce sont les hyperplans de E :
Si
),( ji  B
est une base de E, une droite a pour équation
0:  byaxD
dans B.
Le vecteur
d
de composantes
),( ab
dans B dirige D (
)(Vect dD 
), et
n
de
composantes
),( ba
dans B est normal à D. (
)(Vect nD 
)
Pour
Eu
, on note
)(up 
le projeté orthogonal de
u
sur D.
D
n
u
d
)(up 
Alors
n
n
nu
uup 
2
)( 
,
n
nu
upuDud   )(),(
Donc si la droite a pour équation
0:  byaxD
dans une base orthonormée directe B,
si
0
0
y
x
u
dans B, alors
22
00
),( ba
byax
Dud 
II Angle orienté de deux vecteurs non nuls du plan
Proposition, définition :
Soient
vu ,
deux vecteurs non nuls de E.
Alors il existe un réel , unique à
2
près, tel que :
'.sincos u
u
u
v
v
, où
'u
désigne le vecteur de E tel que
',u
u
u
soit une base
orthonormée directe de E.
On dit alors que est une mesure de l’angle orienté
)
ˆ
,( vu 
. On note
2)
ˆ
,( vu 
.
Remarque :
L’angle orienté
)
ˆ
,( vu 
déf
l’ensemble de ses mesures
 '.sincos, u
u
u
v
v
R
Cette définition est rarement utilisée : on devrait écrire
)
ˆ
,( vu 
.
Démonstration de la proposition :
u
u
est de norme 1. Il existe donc un unique
'u
tel que
',u
u
u
soit une base
orthonormée directe.
R-ev euclidien orienté de dimension 2

'u
u
v
u
u
v
v
v
v
est de norme 1 ; soit la colonne de ses composantes dans
',u
u
u
B
.
Alors
1
22 
Et, pour tout
R
,
sin
cos
'.sincos u
u
u
v
v
Propriétés :
2
2
',
2)
ˆ
,()
ˆ
,(;2)
ˆ
,(;20)
ˆ
,(
u
u
u
vuuvuuuu
vu vu 
cos
(car
u
u
u
u
u
u
u
u
u
v
v
 '.sincos
)
vu vu
 ),det(
sin 
En effet :
On prend
',u
u
u
B
, base orthonormée directe. Alors :
'.sincos,det,det u
u
u
u
u
v
v
u
u
BB
Soit :
sindetsin0
,det
',detsin,detcos,det
1
B
BBB
B
u
u
u
u
u
u
u
vu
vu vu
Ainsi, cette formule montre que :
hauteur
sin),det( vuvu
aire du parallélogramme correspondant aux deux vecteurs.
v
u
III Etude de O(E) et O2.
A) Etude
Soit
2
OA
:
db
ca
, avec
1) norme de(1
x)orthogonau(0
2222 dcba
bdac
)
0
0
(puisque ,00   b
a
b
a
c
d
cb
da
bdac R
Donc
bc
cd
, et
222222 )(
 bacd
. Donc
1
Donc
ab
ba
A
, et une matrice de ce type est bien dans
2
SO
(
1det A
)
Ou
ab
ba
A
, et une matrice de ce type est bien dans
22 \SOO
(
1det A
)
(Avec dans les deux cas
1
22  ba
)

Conclusion :
Les éléments de
2
SO
sont les
ab
ba
, avec
Rba,
et
1
22  ba
.
Les éléments de
22 \SOO
sont les
ab
ba
, avec
Rba,
et
1
22  ba
.
B) Etude de SO(E) et SO2.
Les éléments de
2
SO
sont exactement les matrices du type
cossin
sincos
,
R
(résulte de l’étude précédente).
On a, pour tout
R',
:
)'cos()'sin(
)'sin()'cos(
'cos'sin
'sin'cos
cossin
sincos
.
Ainsi :
2
SO
est l’ensemble des
cossin
sincos
,
R
et
),( 2SO
est un groupe
commutatif.
Théorème et définition :
Soit
)(ESOf
. Alors il existe un réel , unique à
2
près, tel que la matrice de
f dans toute base orthonormée directe soit
cossin
sincos
. On dit alors que f est la
rotation (vectorielle) d’angle .
Démonstration :
Soit B une base orthonormée directe, soit
),(mat BfA 
.
Comme
)(ESOf
, on sait qu’alors
2
SOA
. Il existe donc
R
, unique à
2
près, tel que
cossin
sincos
A
. Soit B’ une autre base orthonormée directe. Soit
alors P la matrice de passage de B à B’. Alors, comme
2
SOP
(et
2
SO
est
commutatif) :
APAPAPPf   11 )',(mat B
.
Pour
R
, notons la rotation d’angle .
Proposition :
L’application
)(ESOR
est un morphisme surjectif du groupe
),( R
vers
)),(( ESO
, et dont le noyau est
Z 2
En effet :
E
Id
0
''
,', R
(résulte du calcul matriciel précédent).
 Surjectivité : résulte du théorème précédent
 Noyau :
Z 2
10
01
cossin
sincos
Id   E
Autres résultats :
E
Id;)( 1 
 Etant donnés deux vecteurs
vu ,
non nuls et
R
, on a l’équivalence :
2)
ˆ
,(
)( vu
vu
vu 
En effet :

- Si
vu  )(
, alors
vu  
car est un automorphisme orthogonal.
Notons
'u
le vecteur tel que
',u
u
u
soit une base orthonormée directe.
Alors la matrice de dans cette base est
cossin
sincos
.
Ainsi,
'.sincos u
u
u
u
u
.
Donc
'.sincos u
u
u
u
u
v
u
v
v
. Donc
2)
ˆ
,( vu 
- Inversement, si
vu  
et
2)
ˆ
,( vu 
, alors :
'.sincos u
u
u
v
v
, où
'u
est tel que
',u
u
u
soit une base orthonormée
directe. Donc
u
u
v
v
(1ère colonne de la matrice de dans
',u
u
u
,
orthonormée)
Donc
u
uv
v 1
, soit
vu  )(
.
C) Etude de O(E)\SO(E) et O2\SO2.
 Soit
)(\)( ESOEOf 
,
),(mat BfA 
, où B est une base orthonormale de E.
Alors
22 \SOOA
.
Donc
ab
ba
A
, où
1
22  ba
.
On remarque déjà que
AA
t
.
Or,
2
OA
, donc
2
IAA
t
. Donc
2
2IA 
, donc
E
fId
2
. Ainsi, f est une
symétrie vectorielle.
Mais
)(EOf 
, donc f est une symétrie orthogonale (car
xxfEx  )(,
), et
cette symétrie est par rapport à une droite :
La symétrie par rapport à E est l’identité, et celle par rapport à
0
est
E
Id
, et
ces deux éléments sont dans
)(ESO
(en dimension 2).
Ainsi, f est une réflexion.
 Inversement, les réflexions sont bien des éléments de
)(\)( ESOEO
.
Conclusion :
)(\)( ESOEO
est l’ensemble des réflexions.
Attention : la matrice d’une réflexion dans une base orthonormée directe dépend
de cette base.
La matrice d’une réflexion de droite D est
10
01
dans une base orthonormale
dont le premier vecteur dirige D.
D) Résumé, tableau : classification des éléments de O(E) lorsque dim E = 2
Dimension de l’espace
des invariants
Nature
Matrice
0
Rotation
d’angle
non
nul (modulo
2
)
cossin
sincos
dans toute base orthonormée
directe

2
E
Id
(rotation
d’angle nul)
10
01
dans toute base
1
Réflexion de
droite D
10
01
dans une base orthonormée directe.
Du type
ab
ba
dans toute base orthonormée
directe.
Remarque :
La matrice de dans une base orthonormée indirecte est
)cos()sin(
)sin()cos(
(les bases orthonormées indirectes d’une orientation sont les bases orthonormées
directes de l’autre orientation)
E) Composées de réflexions
Théorème :
Tout élément de
)(ESO
est composé de deux réflexions, l’une pouvant être
choisie quelconque.
Démonstration :
Soit
)(ESO
,
)(\)( ESOEOs
Alors
)(EOs
, et
1)det()det()det(  ss
.
Donc
)(\)( ESOEOs
. Donc
s
est une réflexion
's
.
Donc
ssssss  ')()( 
De même,
''ss 
, où
)(\)('' ESOEOs 
. Donc
''ss 
Conclusion : Les réflexions engendrent
)(EO
IV Compléments à propos d’angles orientés
 Relation de Chasles :
0\,, Ewvu 
2)
ˆ
,()
ˆ
,()
ˆ
,( vwwuvu  
Démonstration :
Conséquence du fait que
''
.
 Angle orienté de deux droites du plan.
D
D’
u
'u
Soient D, D’ deux droites de vecteurs directeurs
',uu 
. Alors
)'
ˆ
,( uu 
, modulo , ne
dépend pas du choix de
u
et
'u
. On le note alors
)'
ˆ
,( DD
(Si
2)'
ˆ
,()'
ˆ
,(,0 uuuu  
et
2)'
ˆ
,()'
ˆ
,( uuuu  
)
angle orienté
)'
ˆ
,( DD
:
D’
D
u
)(usD
))((
'uss DD
Alors, en notant
D
s
,
'D
s
les réflexions de droites
',DD
, on a
2'  DD ss 
.