se1es4da07102016suite29092016

+Second degré 1ES4
Pour tous a,b,c,x :
4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² -(b²-4ac)
Exercice : prouvez cette formule
(4ième)
Cette formule résume à elle seule sans sauter d’étape tout le chapitre
qui vient.
Commençons doucement :
Essayez de trouver le plus de solutions possibles à l’équation
[ x² = 81 ; inconnue x]
Signé Sophia, Fiona : 9 ainsi que (-9) sont solutions
Sont-ce les seules ? OUI !
Correction : soit x un nombre. Supposons que x² = 9. Nous
souhaitons prouver irréfutablement que x appartient à {9 ; -9}
x² = 81 donc x² -81 = 0 donc x² - 9×9 =0 donc x²-9² donc (x-9)(x+9)
=CLG3e 0 donc CLG3e x-9=0 ou x+9=0
OR : si x-9 = 0 alors EPCE1 x=9
Et si x+9 = 0 alorsCLG5e x = (-9)
CQFD
Résoudre l’équation [x² + 4 = 29 ; inconnue x]
Signé S : supposons x²+4 = 29 alors x²+2² = 29 donc (x-2)(x+2) =29
S prend conscience que ça ne va pas marcher et sa voix s’éteint
doucement.
Sophia a écrit x²+2² = (x-2)(x+2)
Cassandra aurait préféré : x²+2² = (x+2)(x+2)
Cassandra déclare « c’est pas de ma faute si on m’a appris ça »
C EST FAUX !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Cette équation a les mêmes solutions que l’équation [x² = 25]. FIN
(même exo que précédent)
Dialogue :
Moi : choisissez un nombre entre 5 et 10
Germaine : 4
Résoudre l’équation E :=[ (6x)² = 225 ; inconnue x ]
Soit x un nombre
si (6x)² = 225 alors (6x)² - 15² = 0
donc (6x-15)(6x+15) = 0
donc ( 6x = 15 ou 6x = -15)
donc (x= – 15/6 ou x = 15/6)
Cet argument établit que l’ensemble des solutions est inclus dans
{15/6 ; -15/6}
La sixième permet de vérifier que ces 2 nombres sont solutions, en
conséquence de quoi, EnsDesSol de E = {-15/6 ; 15/6}
Résoudre [ (3x + 7) ² - 36=0 ; inconnue x]
Signé Sophia :
Soit x un nombre.
Si (3x+7)² - 36=0 alors
(3x+7)² - 6²=0 donc
(3x+7-6)(3x+7+6) = 0 donc
3x+1= 0 ou 3x +13=0
x = - 1/3 OU x=-13/3
Les solutions sont toutes dans {-1/3 ;-13/3}. La 6ième permet d’établir
que ces deux nombres sont solutions, donc S = {-1/3 ;13/3}
Théorème : Pour tous a,b,c,x :
4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² - (b²-4ac)
Exercice : prouvez cette formule
(4ième)
Grace à ce calcul tout se déduit en n’utilisant que vos bases des
petites classes.
Soient a,b,c,r des nombres. On suppose que a n’est pas nul et que
r² = b²-4ac
Alors
4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² - (b²-4ac) =
(2ax+b) ² - r² = (2ax+b+r)(2ax+b-r)
Donc 4a(ax²+bx+c) = (2ax+b+r)(2ax+b-r)
Il s’ensuit
ax²+bx+c = 0 si et seulement si x est dans {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)}
Le programme de ES exige que les élèves appliquent comme des
robots l’algorithme suivant :
Théorème : soient a,b,c des nombres avec a non nul. On suppose que
b²-4ac ≥ 0. Alors l’ensemble des solutions de l’équation
[ax²+bx+c=10 ; inconnue x]
est [ let ∆ := b² - 4ac in if ∆ ≥ 0 then let r := racine carrée de ∆ in
begin return {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)} end else ∅ ]
Exemple: L’ensemble des solutions de
[ 3x² + 7x + (-10) = 0; inconnue x]
est { (-7 -13
) / 6 ; ( -7 + 13 ) / 6
}
Mémoires internes de la machine :
Delta : = 7² - 4 × (-10) × 3 = 169
Racine carré de delta = 13
Exercices :
Résoudre (inconnue x) :
19x² - 50x + 31=0
5(x+5)² - 7(3-2x)² = 238
Pour tout nombre x, 19x²-50x + 31 = 19x² +(-50)x + 31 (5ième)
Exécutons l’algorithme :
Delta : = (-50) ² - 4×19×31 = 12²
Donc S = {(50-12) / (2 × 19) ; (50+12) / (2 × 19)} = {1; 31/19}
Apparté: {(-(-50)-12)/(2×19) ; (-(-50)+12)/(2×19)}
Equation : [5(x+5)² - 7(3-2x)² = 238 ; inconnue x]
Pour tout nombre x,
5(x+5)² - 7(3-2x)² - 238 =CLG (-23) x² + 134x + (-176)
On applique DELTAROBOT pour trouver les solutions de
[(-23) x² + 134x + (-176) = 0 ; inconnue x]
Delta := 134² - 4 × (-23) ×(-176) = 1764 = 42²
Donc S= {(-134 – 42) / (-46) ; (-134 + 42 ) / (-46)} = { 2 ; 88/23 }
DST4 30/09/2016
1/ Résoudre
[ 61 u² + (Z+9)u + 9Z = 60u×u ; inconnue u]
2/ En augmentant un nombre MYSTERE de 30%,
obtient la même chose que si on retire 50 à son carré.
Trouver a,b tels que la phrase suivante est déductible
de l’hypothèse :
<< MYSTERE est dans {a ;b}>>
Exercice 3
1/ Un téléviseur haut de gamme coûte 960 euros.
Pendant une période promotionnelle un commerçant
propose une remise exceptionnelle de 14% pendant
15 jours.
Quel est le prix du téléviseur après remise ?
2/ Le commerçant décide à la fin de cette période
d'augmenter le prix après remise de 15% ?
Quel est alors le nouveau prix ? Quel pourcentage
d'augmentation ou de diminution y a-t-il entre ce
dernier prix et le prix initial ?
[61u² + 19u + 90 = 60u² ; inconnue u]
Cette équation a les mêmes solutions que
[1u² + 19u + 90 = 0 ; inconnue u]
Apply ALGO: [ let ∆ := b² - 4ac in if ∆ ≥ 0 then let r := racine carrée de ∆ in begin return {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)} end else ∅ ]
Je suis un robot.
S={(-19-1)/(2×1) ; (-19+1)/(2×1))} = { -10 ; -9 }
L’hypothèse dit que MYSTERE×1.3 = MYSTERE² - 50
La seule chose que dit l’hypothèse est que MYSTERE est une solution
de l’équation [ x×1.3 = x² - 50 ; inconnue x ]
La suite est robotique …CLG…5ième :
[ 1x² + (-1.3)x + (-50) = 0 ; inconnue x
]
Exercice 3
1/ Un téléviseur haut de gamme coûte 960 euros. Pendant une période promotionnelle un commerçant propose
une remise exceptionnelle de 14% pendant 15 jours.
Quel est le prix du téléviseur après remise ? 960×(1-0.14) = calculette
2/ Le commerçant décide à la fin de cette période d'augmenter le prix après remise de 15% ?
Quel est alors le nouveau prix ? 960×(1-0.14)×1.15 = calculette
Quel pourcentage d'augmentation ou de diminution y a-t-il entre ce dernier prix et le prix initial ? pourrie pour
raisons sociologiques.
Passage du prix initial à prix final CM = 0.86×1.15, TE = (0.86×1.15)-1
RECAPITULATION MATERNALISANTE RESOLUTION EQ SEC DEG
C’est le théorème déjà vu
1/ Dans une équation, l’inconnue est UNE VRAIE LETTRE
2/ Notons E(a,b,c) l’équation [ax²+bx+c=0 ; inconnue x]
2bis/ On note S(a,b,c) l’ensemble des solutions de E(a,b,c)
3/ Méthode « clé en main », le théorème du cours dit la chose
suivante dans le contexte où a est non nul:
4/ on calcule b²-4ac et on le note traditionnellement
5.1/ si ∆ ≥ 0 alors S(a,b,c) = {
−𝑏−√∆
2𝑎
;
−𝑏+√∆
2𝑎
}
5.2/ si ∆ < 0 alors S(a,b,c) = ∅
Remarque : si ∆ = 0 alors S(a,b,c) = {
−𝑏
2𝑎
}
Théorème no2 du cours :
si {u ;v} est l’ensemble des solutions de l’équation
[ax²+bx+c = 0 ; inconnue x]
et a non nul
alors pour tout nombre x :
ax²+bx+c = a(x-u)(x-v)
∆
Exemple: nous allons factoriser l’expression
7x² +(- 22)x + 15
Le cours permet de le faire sans inspiration
L’intelligence permet de le faire avec inspiration
Méthode inspirée :
7x² -22x+15 = (x-1) (7x-15) (CLG4ième)
Méthode exploitant le cours et donnant la réponse
« automatiquement » :
Le théorème 2 nous dit qu’il suffit de connaitre les deux
solutions u ;v de [7x² -22x+15 =0 ; inc x] et de
prétendre que 7x² -22x+15 = 7(x-u)(x-v)
DELTAROBOT***…. u :=1 ; v :=15/7
7x²-22x+15 = 7(x-15/7)(x-1)
*** à la demande des « manque de confiance en eux » :
delta := (-22)² - 4×7×15 = 64 ;
S = { (-(-22) - 8 ) / 14 ; (-(-22) + 8) / 14 } = { 1 ; 15/7}
IB demande :
« Monsieur, vous avez écrit (x-62)(x-4) à la place de (x-4)(x-62) »
DST5 date 07102016 classe1es4
Exercice 1 :
résoudre [ Zx² +Z.(Z+3).(Z-3)x+Z.(Z²-3)=0 ; inconnue x]
Exercice 2 : on passe du carré Bil au carré Toto en
augmentant le côté de Z%. A quel taux d’évolution se
situe le passage de l’aire de Bil à l’aire de Toto ?
Rappel : aire = côté fois côté
Exercice3 : faire le tableau de signes de la fonction f
telle que pour tout x :
f(x) = (3x + Z) (x-2) – (x-2)(Zx+1)
Exercice4 : Résoudre [(x+5)(Zx-10) = 6(Z-10) ; inc x]