se1es4da07102016suite29092016

+Second degré 1ES4
Pour tous a,b,c,x :
4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² -(b²-4ac)
Exercice : prouvez cette formule (4ième)
Cette formule résume à elle seule sans sauter d’étape tout le chapitre
qui vient.
Commençons doucement :
Essayez de trouver le plus de solutions possibles à l’équation
[ x² = 81 ; inconnue x]
Signé Sophia, Fiona : 9 ainsi que (-9) sont solutions
Sont-ce les seules ? OUI !
Correction : soit x un nombre. Supposons que x² = 9. Nous
souhaitons prouver irréfutablement que x appartient à {9 ; -9}
x² = 81 donc x² -81 = 0 donc x² - 9×9 =0 donc x²-9² donc (x-9)(x+9)
=CLG3e 0 donc CLG3e x-9=0 ou x+9=0
OR : si x-9 = 0 alors EPCE1 x=9
Et si x+9 = 0 alorsCLG5e x = (-9)
CQFD
Résoudre l’équation [x² + 4 = 29 ; inconnue x]
Signé S : supposons x²+4 = 29 alors x²+2² = 29 donc (x-2)(x+2) =29
S prend conscience que ça ne va pas marcher et sa voix s’éteint
doucement.
Sophia a écrit x²+2² = (x-2)(x+2)
Cassandra aurait préféré : x²+2² = (x+2)(x+2)

Cassandra déclare « c’est pas de ma faute si on m’a appris ça »
C EST FAUX !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Cette équation a les mêmes solutions que l’équation [x² = 25]. FIN
(même exo que précédent)
Dialogue :
Moi : choisissez un nombre entre 5 et 10
Germaine : 4

Résoudre l’équation E :=[ (6x)² = 225 ; inconnue x ]
Soit x un nombre
si (6x)² = 225 alors (6x)² - 15² = 0
donc (6x-15)(6x+15) = 0
donc ( 6x = 15 ou 6x = -15)
donc (x= – 15/6 ou x = 15/6)
Cet argument établit que l’ensemble des solutions est inclus dans
{15/6 ; -15/6}
La sixième permet de vérifier que ces 2 nombres sont solutions, en
conséquence de quoi, EnsDesSol de E = {-15/6 ; 15/6}
Résoudre [ (3x + 7) ² - 36=0 ; inconnue x]
Signé Sophia :
Soit x un nombre.
Si (3x+7)² - 36=0 alors
(3x+7)² - 6²=0 donc
(3x+7-6)(3x+7+6) = 0 donc
3x+1= 0 ou 3x +13=0
x = - 1/3 OU x=-13/3
Les solutions sont toutes dans {-1/3 ;-13/3}. La 6ième permet d’établir
que ces deux nombres sont solutions, donc S = {-1/3 ;13/3}

Théorème : Pour tous a,b,c,x :
4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² - (b²-4ac)
Exercice : prouvez cette formule (4ième)
Grace à ce calcul tout se déduit en n’utilisant que vos bases des
petites classes.
Soient a,b,c,r des nombres. On suppose que a n’est pas nul et que
r² = b²-4ac
Alors
4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² - (b²-4ac) =
(2ax+b) ² - r² = (2ax+b+r)(2ax+b-r)
Donc 4a(ax²+bx+c) = (2ax+b+r)(2ax+b-r)
Il s’ensuit
ax²+bx+c = 0 si et seulement si x est dans {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)}
Le programme de ES exige que les élèves appliquent comme des
robots l’algorithme suivant :
Théorème : soient a,b,c des nombres avec a non nul. On suppose que
b²-4ac ≥ 0. Alors l’ensemble des solutions de l’équation
[ax²+bx+c=10 ; inconnue x]
est [ let ∆ := b² - 4ac in if ∆ ≥ 0 then let r := racine carrée de ∆ in
begin return {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)} end else ∅ ]

Exemple: L’ensemble des solutions de
[ 3x² + 7x + (-10) = 0; inconnue x]
est { (-7 -13 ) / 6 ; ( -7 + 13 ) / 6 }
Mémoires internes de la machine :
Delta : = 7² - 4 × (-10) × 3 = 169
Racine carré de delta = 13
Exercices :
Résoudre (inconnue x) :
19x² - 50x + 31=0
5(x+5)² - 7(3-2x)² = 238
Pour tout nombre x, 19x²-50x + 31 = 19x² +(-50)x + 31 (5ième)
Exécutons l’algorithme :
Delta : = (-50) ² - 4×19×31 = 12²
Donc S = {(50-12) / (2 × 19) ; (50+12) / (2 × 19)} = {1; 31/19}
Apparté: {(-(-50)-12)/(2×19) ; (-(-50)+12)/(2×19)}