1 Définitions et première propriété

FONCTIONS DIFFERENTIABLES
D’UNE VARIABLE REELLE
1 DEFINITIONS ET PREMIERE PROPRIETE
1.1 DEFINITION 1
Soient x0  R et f une fonction définie au voisinage de x0. On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si [f(x)f(x0)]/[x-x0] admet une limite l lorsque x tend vers x0 par valeurs distinctes de x0.
Il revient au même de dire qu’il existe un nombre l et une fonction (x) définie au voisinage de x0 et telle
que limxx0 (x)=0 et f(x) = f(x0)+(x – x0)l + (x – x0)(x).
Le nombre l, s’il existe l=limxx0[f(x)-f(x0)]/[x – x0] est appelé la dérivée de f en x0 et est noté f’(x0).
L’application linéaire R R : x  f’(x0)*x est appelée la différentielle de f en x0 et est notée Dfx0.
La droite d’équation y=f(x0) + (x – x0)f’(x) est appelée la tangente au graphe de f en (x 0, f(x0)). La tangente à f
en (x0, f(x0)) est la position limite de Dx lorsque xx0. Ce qui signifie qu’au voisinage de x0, les valeurs de f
sont approchées par les valeurs d’une fonction affine : xf(x) + (x – x0)f’(x0).
1.2 PROPOSITION 1
Soit f définie au voisinage de x0 et f dérivable en x0. Alors f est continue en x0.
Attention, la réciproque est fausse. EN effet, si l’on prends la fonction f :R R x0 si x=0 et x x.sin(1/x) 
x0 on a bien f continue en 0 mais pas dérivable en 0.
1.3 PROPOSITION 2
Soit f définie au voisinage de x0, dérivable en x0. Supposons que f admette un maximum local en x0
(respectivement un minimum local en x0) alors f’(x0)=0.
Attention, la réciproque est fausse : xx3 : f’(0)=0, pourtant elle n’admet pas un extremum local en 0.
1.4 PROPOSITION 3
Soit f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 et g définie au voisinage de x0 et dérivable en x0. Alors g o f est
définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 et (g o f)’(x0) = f’(x0) * g’(f(x0)).
1.5 PROPOSITION 4
Soient f et g définies au voisinage de x0 et dérivable en x0. Alors :




f+g est dérivable en x0 et (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0) .
Si   R *f est dérivable en x0 et (f)’(x0)=*f’(x0) .
f*g est dérivable en x0 et (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) .
Si g(x0)  0 alors f/g est définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 et (f/g)’(x0)=[f’(x0)*g(x0) –
f(x0)*g’(x0)]/g²(x0) .
Preuves :
Pour démontrer f+g et f, il suffit d’utiliser les propriétés des limites. Pour démontrer f*g, il faut utiliser les
définition de dérivabilité en x0 pour f et g et la définition de la continuité en x0. Pour démontrer f/g, il fut
démontrer que 1/g est dérivable :
Puisque g(x0)0 et g est continue en x0 il existe un voisinage de x0 tel que g(x0)0.
1
2 THEOREME DE ROLLE, THEOREME DES
ACCROISSEMENTS FINIS
2.1 THEOREME
Soit f : [a, b]  R telle que f(a)=f(b), f est continue sur [a, b] et f est dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c  ]a,
b[ tel que f’(c)=0.
2.1.1 Preuve


Premier cas : f est constante alors f’(c)=0  c  ]a, b[.
Deuxième cas : f n’est pas constante alors il existe x0  ]a, b[ tel que f(x0)<f(a) = f(b) ou f(x0)>f(a) =
f(b). Soit M=Supx[a, b]f(x) et m= Infx[a, b]f(x). On a M ou m  f(a) = f(b). Sinon f serait constante. Si
Mf(a)=f(b), il existe c  [a, b] tel que f(c)=M ; on a nécessairement ca et cb et f’(c)=0 car f a un
maximum local en c. Idem si mf(a)=f(b).
2.1.2 Interprétation graphique
Il existe c  ]a, b[ tel que la tangente à la courbe de f soit parallèle à la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b))
(c’est à dire parallèle à l’axe aussi dans ce cas car f(a)=f(b)).
2.2 THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Soit f : [a, b]  R tel que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c  ]a, b[ tel que f(b) –
f(a) = (b – a)f’(c) (c’est à dire : [f(b) – f(a)]/(b – a) = f’(c)).
2.2.1 Preuve
On considère la fonction g : [a, b]R telle que g(x) = f(x) – { f(a) + (x – a)* [f(b) – f(a)]/(b – a) }, g est continue
sur [a, b] et g est dérivable sur ]a, b[. On peut vérifier que g(a)=0 et g(b)=0. Donc g satisfait les hypothèses du
théorème de Rolle. Donc il existe c  ]a, b[ tel que g’(c)=0. Mais g’(x) = f’(x) - [f(b) – f(a)]/(b – a) et en
particulier au point c (ou x=c) on obtient f’(c)= [f(b) – f(a)]/(b – a).
2.2.2 Interprétation
Le théorème des accroissements finis dit donc qu’il y a un point c  ]a, b[ tel que la tangente au graphe de f en
(c, f(c)) est parallèle à Da, b.
2.3 DERIVEE SECONDE ET DERIVEE NIEME
Si f est une fonction dérivable en tout point d’un intervalle ]a, b[ ; on a alors une fonction f’ : ]a, b[R. On peut
se demander si f’ est dérivable en un point c, alors on dit que f est deux fois dérivable en c et on note
f’’(c)=(f’)’(c).
De même, si f’’ est définie sur ]a, b[, on peut se demander si f’’ est dérivable en un point c  ]a, b[. Au quel cas,
on dit que f est 3 fois dérivable en c et on note f(3)(c)=(f’’)’(c). Et ainsi e suite.
On note f(n)(c), si elle existe, la dérivée nième de f en c.
3 FORMULE DE TAYLOR
3.1 THEOREME 1 : (THEOREME DE TAYLOR LAGRANGE)
Soit f : [a, b] R et n  N*. On suppose que f est n fois continûment dérivable sur [a, b] et que f est n+1 fois
dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c  ]a, [ tel que f(b)= f(a) + (b-a)f’(a) + [(b-a)²/2 !]f’’(a) + … + (b-a)n
f(n)(a)/n!
2
On admet la preuve.
3.2 COROLLAIRE
Soit f définie au voisinage d’un point x0 et n+1 fois continûment dérivable au voisinage de x0. Alors il existe une
fonction (x) définie au voisinage de x0 telle que limxx0 (x) = 0 et au voisinage de x0 : f(n)= f(x0)+ (x-x0) f’(x0)
+ (x-x0)² f’’(x0)/2! + … + (x-x0)n f(n)(x0)/n! + (x-x0)(x).
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A retenir
Avant de commencer les exercices, commençons par revoir ce qu’il faut retenir dans ce cours :
Les définitions de la dérivée :
Soient x0  R et f une fonction définie au voisinage de x0. On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si [f(x)f(x0)]/[x-x0] admet une limite l lorsque x tend vers x0 par valeurs distinctes de x0.
Le nombre l, s’il existe l=limxx0[f(x)-f(x0)]/[x – x0] est appelé la dérivée de f en x0 et est noté f’(x0).
L’application linéaire R R : x  f’(x0)*x est appelée la différentielle de f en x0 et est notée Dfx0.
La droite d’équation y=f(x0) + (x – x0)f’(x) est appelée la tangente au graphe de f en (x0, f(x0)).
Quelques propriétés des dérivée :
Soit f définie au voisinage de x0 et f dérivable en x0. Alors f est continue en x0.
Soit f définie au voisinage de x0, dérivable en x0. Supposons que f admette un maximum local en x 0
(respectivement un minimum local en x0) alors f’(x0)=0.
Soit f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 et g définie au voisinage de x0 et dérivable en x0. Alors g o f est
définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 et (g o f)’(x0) = f’(x0) * g’(f(x0)).
Soient f et g définies au voisinage de x0 et dérivable en x0. Alors :




f+g est dérivable en x0 et (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0) .
Si   R *f est dérivable en x0 et (f)’(x0)=*f’(x0) .
f*g est dérivable en x0 et (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) .
Si g(x0)  0 alors f/g est définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 et (f/g)’(x0)=[f’(x0)*g(x0) –
f(x0)*g’(x0)]/g²(x0) .
Théorème de Rolle :
Soit f : [a, b]  R telle que f(a)=f(b), f est continue sur [a, b] et f est dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c  ]a,
b[ tel que f’(c)=0.
Théorème des accroissements finis :
Soit f : [a, b]  R tel que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c  ]a, b[ tel que f(b) –
f(a) = (b – a)f’(c) (c’est à dire : [f(b) – f(a)]/(b – a) = f’(c)).
Dérivée nième
On note f(n)(c), si elle existe, la dérivée nième de f en c.
Théorème de Taylor Lagrange et corollaire
Soit f : [a, b] R et n  N*. On suppose que f est n fois continûment dérivable sur [a, b] et que f est n+1 fois
dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c  ]a, [ tel que f(b)= f(a) + (b-a)f’(a) + [(b-a)²/2 !]f’’(a) + … + (b-a)n
f(n)(a)/n!
Soit f définie au voisinage d’un point x0 et n+1 fois continûment dérivable au voisinage de x0. Alors il existe une
fonction (x) définie au voisinage de x0 telle que limxx0 (x) = 0 et au voisinage de x0 : f(n)= f(x0)+ (x-x0) f’(x0)
+ (x-x0)² f’’(x0)/2! + … + (x-x0)n f(n)(x0)/n! + (x-x0)(x).
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