Chapitre 27

MPSI
Chapitre 27
LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUE, LE POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE
27-1 Complément mathématique
27-1-1 Coordonnées sphériques
z

u

ur
r sin d

u
dr
rd
ur
M



r
uz

u
d

u


uy
O
y

u
ux

d
r sin 

u
H
x
H étant la projection de M sur le plan xOy, les coordonnées sphériques du point M sont :
   
   
r  OM : coordonnée radiale,    Oz , OM  : colatitude,    Ox , OH  : longitude.




x = r sin cos , y = r sin sin et z = r cos.










u   u x cos   u y sin  et u    u x sin   u y cos  .







u r  u  sin   u z cos  donc u r  u x sin  cos   u y sin  sin   u z cos  .



u   u  cos   u z sin  donc u   u x cos  cos   u y cos  sin   u z sin  .




Un déplacement élémentaire s'écrit : d M  dr u r  r d u   r sin  d u  .
2
Un petit volume élémentaire s'écrit : d  r sin  dr d d .
27-1-2 Gradient d'un champ scalaire


En coordonnées cartésiennes, grad F 
F  F  F 
ux  uy  uz .
x
y
z



Pour un champ scalaire stationnaire F = f(x,y,z) : dF  grad (F).d M (définition intrinsèque).
La définition intrinsèque du gradient permet d'obtenir son expression dans le différents systèmes de
coordonnées :




F
F
F
dr 
d 
dz et d M  dr u r  r d u   dz u z
En coordonnées cylindropolaires (r,,z), dF 
r

z




F
1 F
F
ur 
u 
uz .
donc grad F 
r
r 
z




F
F
F
En coordonnées sphériques (r,,), dF 
dr  d 
d et d M  dr u r  r d u   r sin  d u 
r




donc grad F 
F  1 F 
1 F 
ur 
u 
u .
r
r 
r sin  
27-1-3 Propriétés de l'opérateur gradient
Il s'agit d'un opérateur linéaire car, si a, b, c sont indépendant de la position de M :








grad (aF  bG  cH; ; ; )  a grad F  b grad G  c grad H  ...


 
 
La définition intrinsèque du gradient donne dF = grad F d M cos grad F, d M  , donc dF est


maximal si le déplacement de M est orienté comme le gradient de F.
Le gradient d'un champ scalaire est donc orienté dans la direction et dans le sens dans lesquels la
croissance du champ est maximale.
Les surfaces de niveau d'un champ scalaire sont les surfaces sur lesquelles F est uniforme. Soit un







déplacement élémentaire d M sur une surface de niveau, on a : dF  grad (F).d M  0 donc grad F  d M .
Le gradient d'un champ scalaire F est normal aux surfaces de niveau et orienté dans le sens F
croissant.

grad f
F1
F2 > F1
27-1-4 Champ de gradient, potentiel scalaire





G est un champ de gradient  F : G   grad (F) . F est le potentiel scalaire dont dérive G .




F n'est ainsi défini qu'à une constante additive près car grad (F  K)  grad (F) , si K est une constante.
La circulation d'un champ de gradient sur une courbe , de M1 à M2 est indépendante du chemin 
suivi de M1 à M2 :
M2
M
1


M2
G .d M  M
1

 dF  F1  F2 .

Un champ de gradient a une circulation conservative.
La circulation d'un champ de gradient est la diminution du potentiel dont il dérive.
Par exemple, une force conservative (indépendante du temps) dérive d'un potentiel appelé énergie
potentielle car son travail est la diminution de cette énergie potentielle :



M2
F   grad (Ep )  W  M
1



M2
F .d M  M  dEp  Ep 1  Ep 2 .
1

27-1-5 Vecteurs surfaces élémentaires, flux d’un champ vectoriel
Pour chaque portion élémentaire d’aire dS de la surface , s’appuyant sur un contour orienté 

(contour fermé) , on définit un vecteur surface élémentaire d S tel que :

- dS  ,

- d S  dS ,

- d S est orienté dans le sens lié au sens de rotation sur le contour  par les règles pratiques
habituelles : règle du tire-bouchon, face sud vers face nord...

dS


face sud
face nord

Si la surface est fermée, les vecteurs d S sont tous orientés vers l’extérieur du volume que cette
surface délimite.



Pour un champ vectoriel G , le flux à travers la surface  est ;    G .d S


Si la surface  est fermée le flux est noté    G .d S .

Si le flux de G est nul à travers toute surface fermée, alors il est le même à travers toute surface

s’appuyant sur un contour orienté donné et on dit que G a un flux conservatif.
27-2 Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
27-2-1 Champ électrostatique
Soit une charge ponctuelle q placée au point O fixe.


qq M OM
Si en M se trouve une charge qM, elle subit de la part de q la force de Coulomb : F 
. En
40 OM 3





qq u
utilisant des coordonnées sphériques de centre O : OM  r u r et F  M 2r .
40 r
Le champ électrostatique créé par la charge q placée en M est donc (que qM soit ou non présente) :



q ur
F
E

.
q M 40 r 2

La circulation élémentaire de ce champ est







E .d M avec d M  dr u r  r d u   r sin  d u  donc
 q 
q dr
 . C'est une différentielle totale exacte, donc :
 d
2
40 r
4

r
0 

Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle fixe q placée en O à la distance r de O est
E .d M 


q ur
E
. Il n’est donc pas défini au point où se trouve la charge.
40 r 2
C'est un champ à circulation conservative, donc un champ de gradient.
q
Il dérive du potentiel électrostatique V 
, (choisi avec lim V  0 ). V n’est donc pas défini
r 
40 r
au point où se trouve la charge.



On a donc : E   grad (V) .
27-2-2 Surfaces équipotentielles, lignes de champ
Les surfaces de niveau de V sont les surfaces équipotentielles définies par r constante, ce sont les
sphères de centre O.

Les lignes de champ sont les lignes auxquelles E est tangent en chaque point .
Pour une charge ponctuelle ce sont les demi droites issues de O. Elles sont orientées dans le sens
centrifuge si q > 0 et centripète si q < 0.
O
(q<0)
Les tubes de champ sont donc les cônes de sommet O.
27-2-3 Flux du champ créé par une charge ponctuelle à travers une surface fermée


Si la surface  est fermée le flux du champ électrostatique est :    E .d S .
Pour le champ créé par une charge ponctuelle placée au centre O d’une sphère  de rayon R, le flux







q ur
q
q
dS 
4R 2
de E à travers  est :    E .d S avec E 
et d S  dS u r donc  
2 
2
2
40 R
40 R
40 R
q
soit  
.
0
On peut démontrer en utilisant la notion d’angle solide que ce résultat est général :
À travers toute surface fermée , le flux créé par une charge ponctuelle q est :
q

si la charge est à l’intérieur du volume délimité par .
0
=0
si la charge est extérieure à ce volume.
27-3 Champ et potentiel électrostatiques créés par une distribution de charges
27-3-1 Principe de superposition
Les forces électrostatiques subies par une charge qM placée en M de la part des charges qi placées
aux points Pi s’additionnent; l’effet électrique de qi sur qM n’est pas perturbé par la présence des autres
charges.
Ce principe est vérifié par toutes ses conséquences.
27-3-2 Champ et potentiel électrostatiques créés par une distribution de charges ponctuelles
Avec les notations ci-dessus, le champ que créerait en M la charge qi si elle était seule serait



qi
q i Pi M
FP / M
et il dériverait du potentiel Vi 
.
Ei  i 
3
40 Pi M
qM
40 P1 M


 FP / M
i
Le champ électrostatique en M, créé par la distribution de charges {Pi,qi} est E 
i
qM

  Ei .
i
Le principe de superposition s’applique donc au champ électrostatique.



La linéarité de l’opérateur gradient et E i   grad Vi impliquent que le principe de superposition



s’applique aussi au potentiel électrostatique : On a E   grad V , avec V   Vi .
i
On a donc (même en l’absence de charge électrique en M) :

1
E
40
  
q PM
1
  Pi Mi 3  et V  4
i 
0
i







 qi 
 . (Avec u i  MPi , E   1
  P M
i  i
Pi M
40

  
 q ui 
  P iM 2  ).

i  i


27-3-3 Champs et potentiels créés par des distributions de charges volumiques, surfaciques, ou
linéiques.
En admettant que l’on puisse décomposer un volume chargé V , avec la densité volumique de charge 
en P, ( est fonction des coordonnées de P, mais pas du temps), en charges quasi ponctuelles dq =  d, le


1
champ et le potentiel créés au point M sont : E 
40
V
d PM
1
et V 
3
40
PM
V
 d
.
PM
De même, pour la surface chargée , avec la densité surfacique de charge  en P :

1
E
40

dS PM
1
 PM 3 et V  40


dS
.
PM
Pour une ligne  chargée avec la densité linéique de charge  en P :

1
E
40

dL PM
1
 PM 3 et V  40


dL
.
PM
Si des distributions de charges de types différents (par exemple, charges ponctuelles et surfaciques) se
superposent, il faut additionner les contributions de ces distributions.
27-3-4 Énergie potentielle électrostatique


Une charge q se déplaçant de d M dans le champ électrostatique E , subit une force électrostatique





dont le travail est W  q E .d M  q grad V.d M  q dV  d(qV) .
La force électrostatique dérive donc d’une énergie potentielle électrostatique Ep él  qV .





On a : W   grad Ep él .d M  dEp él , la force électrostatique est F   grad Ep él .
Son travail pour un déplacement de A à B de la charge q dans le champ est :
WAB = EpélA – EpélB = q (VA – VB) .
27-3-5 Théorème de Gauss
  
  
  i E i .d S  i   E i .d S  soit, pour une surface  donnée,  = i  i , le principe de
superposition s’applique au flux du champ électrostatique, d’où le théorème de Gauss :
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée  est le quotient de la charge
Q int
électrique intérieure au volume délimité par  par la permittivité du vide :  
.
0
Il en résulte que dans une région de l’espace non chargée, le flux du champ électrostatique est
conservatif. (Son flux à travers une surface fermée n’englobant aucune charge est nul).
27-3-6 Surfaces équipotentielles, lignes de champ



Les surfaces équipotentielles sont les surfaces de niveau de V et E   grad V donc :
Les lignes de champ électrostatique sont normales aux surfaces équipotentielles.
Elles sont dans le sens des potentiels décroissants.
Une ligne de champ électrostatique ne peut être fermée. En effet, d’un point de cette ligne au même
point, en suivant le sens de cette ligne de champ, le potentiel diminuerait ; il aurait plusieurs valeurs
différentes en ce point, ce qui est absurde.
Il n’y a pas d’extremum du potentiel électrostatique. En effet, si V était minimal au point M, en tout
point voisin de M, le champ serait orienté vers M et le flux à travers une surface fermée très petite englobant
M serait négatif. Cette surface autour de M, aussi petite soit-elle contiendrait donc une charge négative
d’après le théorème de Gauss. Il y aurait donc une charge ponctuelle négative en M, mais dans ce cas, le
potentiel ne serait pas défini en M. De même, si V était maximal en M, il y aurait une charge ponctuelle
positive en M et V ne serait pas défini en ce point.
Le raisonnement précédent conduit aux résultats suivants :
Toute ligne du champ créé par des charges ponctuelles part de l’infini ou d’une charge positive


(où E et V ne sont pas définis) et aboutit à l’infini ou sur une charge négative (où E et V ne sont pas
définis).
27-4 Champ de gravitation, potentiel gravitationnel
Les forces d’attraction gravitationnelle suivent la loi de Newton, semblable à la loi de Coulomb.
Soit une masse ponctuelle m placée au point O fixe.


m m M OM
Si en M se trouve une masse mM, elle subit de la part de m la force de Newton : F  G
.
OM 3
Le champ gravitationnel créé par la masse m placée en M est donc (que mM soit ou non présente) :



mu
F
G
 G 2 r .
mM
r

On peut donc transposer toutes les formules et les lois concernant E et V au champ de gravitation

G et au potentiel gravitationnel U grâce aux correspondances suivantes :
1

 G (noté aussi – K)
donc
q
 m
40


E
 G
V
 U (noté aussi V)
0 
 
1
4G
Epél 
 Epgr
Toutes les propriétés du champ électrostatique se retrouvent donc pour le champ gravitationnel, à ceci
près que les masses sont toutes positives et que – G < 0, donc que les lignes du champ gravitationnel créé
par une distribution de masses ponctuelles partent toutes de l’infini pour aboutir sur une masse..



Par exemple : G   grad U , Ep gr  mU ,
V
Pour le champ créé par un volume de matière
de masse volumique µ au point P :

µd  PM
G  G V
.
PM 3
Le théorème de Gauss s’écrit, avec , flux du champ de gravitation à travers la surface fermée  :
  4 G M int .

27-5 Symétries et invariances d’une distribution de charges
27-5-1 Plan de symétrie
Soit une répartition de charges symétrique par rapport à un plan () et un point M1 quelconque dont
le symétrique par rapport à () est M2..

E1 

E1
M1

E 1 //
M
 

d1
A1

E  E //
M2

E2 

A
d22
E 2 //

E2
Considérons deux volumes élémentaires symétriques par rapport à () : d1 autour de A1 et d2
autour de A2. Ces deux éléments de volume portent donc la même charge dq = 1 d1 =2 d2.
La somme des contributions de d1 et d2 au potentiel est en M1 : dV1 
dq
40
 1
1 

 , et

 A1 M1 A 2 M1 
dq  1
1 

 avec A1M1 = A2M2 et A1M2 = A2M1 donc dV2 = dV1. En tenant

40  A1M 2 A 2 M 2 
compte des contributions de tous les couples d’éléments de volumes symétriques l’un de l’autre par rapport à
() on obtient donc V2 = V1 .
en M2 : dV2 



Pour les champs électrostatiques en M1 et M2, on peut écrire, avec u x et u y dans le plan () et u z
normal à () :


 V    V    V  
 u y  
E1   grad M1 (V)  
 u x  
 uz ,
 x  M1
 z  M1
 y  M1


 V    V    V  
 u y  
E 2   grad M 2 (V)  
 u x  
 uz
 x  M 2
 z  M 2
 y  M 2
 V 
 V 
Du fait de la symétrie pour les potentiels, on a : 
 
 ,
 x  M1  x  M 2
 V 
 V 

  
 , mais
 y  M1  y  M 2
 V 
 V 

  
 .
 z  M1
 z  M 2
Les composantes parallèles à () en M1 et en M2 du champ électrostatique sont donc les mêmes alors
que les composantes normales à () en M1 et en M2 sont opposées :






E 2 //  E1 // et E 2   E 1 . E 2 est donc le symétrique de E 1 par rapport au plan de symétrie.
Un plan de symétrie pour la répartition des charges est aussi un plan de symétrie pour le potentiel
et pour le champ électrostatique.




En un point M du plan de symétrie, on a alors : E   0 et E  E // .
27-5-2 Plan d’antisymétrie

E1 

E1
M1

E 1 //
d1
A1
 


E  E

E2

E 2 //
M

E2 
M2
A
d22
Le plan () est un plan d’antisymétrie pour la répartition des charges si, en A2 et A1 symétriques par
rapport à (), on a des densités volumiques de charge opposées : 2 = – 1.
Les éléments de volume d1 et d2 symétriques par rapport à () portent alors des charges opposées :
2 d2 = dq et 1 d1 = – dq.
dq  1
1 

 , et
La somme des contributions de d1 et d2 au potentiel est en M1 : dV1 

40  A1M1 A 2 M1 
dq  1
1 

 avec A1M1 = A2M2 et A1M2 = A2M1 donc dV2 = – dV1. En tenant

40  A1M 2 A 2 M 2 
compte des contributions de tous les couples d’éléments de volumes symétriques l’un de l’autre par rapport à
() on obtient donc V2 = –V1.
 V 
 V 
 V 
 V 
  
 , mais
Du fait de l’antisymétrie pour les potentiels, on a : 
  
 , 
 x  M1
 x  M 2  y  M1
 y  M 2
en M2 : dV2 
 V 
 V 

 
 .
 z  M1  z  M 2
Les composantes parallèles à () en M1 et en M2 du champ électrostatique sont donc opposées alors
que les composantes normales à () en M1 et en M2 sont les mêmes :





E 2 //   E1 // et E 2  E 1 . E 2 est donc l’opposé du symétrique (ou le symétrique de l’opposé) de

E 1 par rapport ().
Un plan d’antisymétrie pour la répartition des charges est aussi un plan d’antisymétrie pour le
potentiel et pour le champ électrostatique.




En un point M du plan d'antisymétrie, on a alors : E //  0 et E  E  .
27-5-3 Invariance par translation
Si la distribution de charges est invariante par translation parallèlement à un axe Oz, cela signifie que
l’on retrouve la même disposition des mêmes charges après toute translation parallèlement à Oz. Pour une
distribution volumique de la charge, cela signifie que la densité volumique  n’est fonction que de x et y, soit

 0 ,  = (r,).
que
z
C’est bien entendu une situation qui n’est pas possible concrètement car il y aurait des charges à
l’infini dans la direction de Oz. Mais on pourra faire cette approximation s’il y a invariance sur une distance
parallèle à Oz grande par rapport aux dimensions de la zone chargée sur les axes Ox et Oy.
Par translation d’un point M parallèlement à Oz, on retrouve alors exactement le même
environnement électrique, donc le même potentiel et le même champ.
Si la répartition des charges est invariante par translation parallèlement à une direction donnée,

on retrouve la même invariance pour V et pour E .
S’il y a invariance par translation parallèlement à Oz, tout plan perpendiculaire à Oz est un plan

de symétrie pour la distribution de charges et, par conséquent, pour V et pour E .

En tout point, il passe donc un plan de symétrie perpendiculaire à Oz donc E est contenu dans ce

plan : E  Oz .
Il est alors pratique d’utiliser des coordonnées cylindriques (r,,z) :



V  V(r, ) et E  E r (r, ) u r  E  (r, ) u  .
27-5-4 Invariance par rotation (symétrie de révolution)
Le même raisonnement s’applique à une invariance par rotation autour d’un axe :
Si la répartition des charges est invariante par rotation autour d’un axe donné, on retrouve la

même invariance pour V et pour E .
S’il y a invariance par rotation autour de Oz, tout plan contenant Oz est un plan de symétrie pour

la distribution de charges et, par conséquent, pour V et pour E .

En tout point, il passe donc un plan de symétrie contenant Oz donc E est contenu dans ce plan :

en M, E  plan (MOz) .
Il est alors pratique d’utiliser des coordonnées cylindriques (r,,z) :



 0 ,  = (r,z).


V  V(r, z) et E  E r (r, z) u r  E z (r, z) u z .
27-5-5 Symétrie cylindrique
Si la distribution de la charge est à la fois invariante par translation parallèlement à Oz et par
rotation autour de Oz, ( = (r)), c’est-à-dire si elle présente toutes les symétries d’un cylindre de révolution
de hauteur infinie, le potentiel et le champ présentent les mêmes invariances, les mêmes symétries.


En combinant les résultats précédents, on a donc dans ce cas : V  V ( r ) et E  E r (r ) u r .
Les lignes de champ sont les demi droites issues de Oz et perpendiculaires à Oz.
Les équipotentielles sont les cylindres de révolution d’axe Oz.
27-5-6 Symétrie sphérique
Lorsque la distribution de charge est invariante par rotation autour de tout axe passant par un
point O donc symétrique par rapport à tout plan passant par O, on dit qu’elle possède une symétrie
sphérique de centre O.
Si la distribution de la charge a une symétrie sphérique de centre O, le potentiel et le champ
présentent la même symétrie.
En un point M le champ est donc dans tous les plans contenant OM puisque ce sont des plans de


symétrie, il est donc porté par OM, c’est-à-dire radial : E  E r u r . On utilise naturellement les coordonnées
sphériques (r,,).
L’invariance par toute rotation autour de O implique que V et Er ne sont fonction que de r.


V  V ( r ) et E  E r (r ) u r .
Les lignes de champ et les équipotentielles sont les mêmes que pour le champ créé par une charge
ponctuelle placée en O.
27-5-7 Cas du champ de gravitation
Toutes les propriétés ci-dessus, concernant les symétries et les invariances, sont valables pour le
champ de gravitation, mais les masses étant toujours positives, il ne peut y avoir de plan d’antisymétrie pour
la distribution de la masse.