corrige

SUJET 4
Ex1 a) Résoudre l’équation différentielle y " + 16 y = 0 où y est une fonction de x.
REPONSE
f(x) = A cos (4x) + B sin (4x).
AIDE
C'est une équation différentielle de la forme y" + ² x = 0.
Les solutions sont de la forme f(x) = A cos (x) + B sin (x).
Il reste à trouver .
CORRIGE
c'est une équation différentielle de la forme y" + ² y = 0 avec ² = 16 donc  = 4 par exemple.
Les solutions sont de la forme f(x) = A cos (4x) + B sin (4x).
b) Déterminer la solution particulière qui vérifie : f(0) = 2 et f '(0) = 8.
REPONSE
f(x) = 2 cos (4x) + 2 sin (4x).
AIDE
il faut remplacer x par 0 dans f(x) et dans f '(x).
CORRIGE
f(x) = A cos (4x) + B sin (4x) donc
f(0) = A cos (0) + B sin (0) = 2.
donc A = 2
f(x) = A cos (4x) + B sin (4x) donc
f '(x) = A [-4 sin (4x) ] + B [4 cos (4x) ]
f '(0) = -4 A sin (0) + 4 B cos (0) = 8
4 B = 8 donc B = 2.
donc f(x) = 2 cos (4x) + 2 sin (4x).
c) Démontrer que f(x) = 2 2 cos (4x – 
4 ) .
AIDE
Il faut utiliser le formulaire:
cos (a + b) =cos a cos b – sin a sin b et développer le résultat donné au b).
CORRIGE
Il faut utiliser le formulaire:
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
cos( 4x – 
4 ) = cos (4x) cos (  4 )+ sin (4x) sin (  4 ).

2 2 cos( 4x – 
4 ) = 2 2 
cos (4x) 2
2 + sin (4x) 2 2
= 2 2 . 2
2 cos (4x) + 2 2 . 2 2 . sin (4x)
= 2 cos (4x) + 2 sin (4x) = f(x).
on a donc bien f(x) = 2 2 cos( 4x – 
4 ).
d) Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [0 ; 
4 ].
REPONSE
 = 
0
4 f(x) dx = 4
AIDE
La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a;b] avec a b est 1
b – a 
ab f(x) dx.
CORRIGE
La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a;b] avec a b est 1
b – a 
ab f(x) dx.
Donc  = 1
4 – 0 
0
4 f(x) dx = 4
0
4 2 2 cos( 4x – 
4 ) d x = 8 2
0
4 cos( 4x – 
4 ) dx =
8 2 1
4 sin ( 4x –  4 )
4
0 = 8 2
1
4 sin (3  4) – 1 4 sin (-  4 ) = 8 2
1
4 2 2 + 1 4 2 2 =
8 2
 2
4 = 4
.
 = 4
EX 2 Soit f définie sur ]0 ;+ [ par f(x) = – x + 2 + ln x.
a) Déterminer la limite de f en 0
REPONSE
lim
x 0 f(x) = -
AIDE
on calcule séparément les limites de – x + 2 , de ln x.

CORRIGE
quand x
Error!
0
- x + 2
Error!
2
Error!
f(x) = -
ln x
Error!
-
b) Déterminer la limite de f en +
(on pourra mettre x en facteur).
REPONSE
Error!
f(x) = -
AIDE
nous avons ici une forme indéterminée " - + "
on va mettre x en facteur et utiliser les croissances comparées en + .
CORRIGE
nous avons ici une forme indéterminée " - + "
on va mettre x en facteur et utiliser les croissances comparées en + .
f(x) = – x + 2 + ln x = x (-1 + 2
x + ln x x).
quand x
Error!
+
- 1
Error!
-1
2
x
Error!
0 (-1 +
Error!
+
Error!
)
Error!
-1
ln x
x
Error!
0 (cours)
Error!
f(x) = -
x
Error!
+
c) Calculer la dérivée de f. En déduire les variations de f sur ]0 ;+
[.
REPONSE
f '(x) = -1 + 1
x = -x + 1 x
x
0 1 + 
f '(x)
+ 0 –
f(x)
1
–  – 
AIDE
(u + v + w)' = u' + v' + w'
(ln x)' = 1
x
CORRIGE

f(x) = – x + 2 + ln x de la forme u + v + w.
f '(x) = -1 + 0 + 1
x = -1 + 1 x = -x + 1 x
ici x >0 donc f '(x) est du signe de –x + 1.
x
0 1 + 
f '(x)
+ 0 –
f(x)
1
–  – 
Ex3 Calculer le module et un argument de z = - 4 3 – 4 i.
REPONSE
module : 8
argument – 5 
6 + 2 k  (k entier relatif).
z = 8 (cos (– 5 
6) + i sin (– 5  6 ) ) forme trigonométrique
z = 8 e - 5 
6 i forme exponentielle.
AIDE
si z = a + i alors  = z = a² +b²
cos  = a
 et sin  = b
CORRIGE
si z = a + i alors  = z = a² +b²
cos  = a
 et sin  = b
ici z = - 4 3 – 4 i donc a = - 4 3 et b = -4.
 = (- 4 3)² + (-4)² = 48 +16 = 8
cos  = a
 = - 4 3
8 = - 3 2
et sin  = b
 = - 4
8 = - 1 2
z = 8 (cos (– 5 
6) + i sin (– 5  6 ) ) forme trigonométrique
z = 8 e - 5 
6 i forme exponentielle.
Ex 4 Soit la suite (un) arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 3.
 = - 5
6 + 2 k  ( k entier relatif)

a) Calculer u5.
REPONSE
u5 = 13
AIDE
si on a une suite arithmétique de raison a :
un = u0 + n.a
CORRIGE
si on a une suite arithmétique de raison a :
un = u0 + n.a
donc u5 = 3 + 5 . 2 = 13
b) Exprimer un en fonction de n.
REPONSE
un = 3 + 2 n.
AIDE
si on a une suite arithmétique de raison a :
un = u0 + n.a
CORRIGE
si on a une suite arithmétique de raison a :
un = u0 + n.a
un = 3 + 2 n.
c) Calculer S =u0 + u1 + ….. + u12.
REPONSE
S = 195.
AIDE
si on a une suite arithmétique de raison a :
u0 + u1 + …. un = (1er + dernier) .(nombres de termes)
2
CORRIGE
si on a une suite arithmétique de raison a :
u0 + u1 + …. un = (1er + dernier) .(nombres de termes)
2
donc S = u0 + u1 + ….. + u12 = (u0 + u12) . 13
2
u12 = u0 + 12 . 2 = 3 + 24 = 27
donc S = (3 + 27).13
2 = 195