Chapitre_4_systemes

- 1 - Chapitre 4 : 1ère E.S.
Chapitre 4 :
Systèmes d’équations et d’inéquations
I Systèmes d’équations
A] Vocabulaire
1) Equations linéaires
Définition :
x et y désignant deux inconnues, toute relation entre x et y qui peut s’écrire sous la forme ax+by+c= 0,
où a, b et c sont trois réels, est appelée équation linéaire.
Exemple :
2x + 3y = 5.
Définition :
Résoudre l’équation linéaire ax + by + c = 0, c’est trouver tous les couples (x0 ; y0) qui vérifient ax0 +
by0 = c.
Exemple :
2x + 3y = 5.
Les couples solutions sont les coordonnées des points de la droite D d’équation 2x + 3y = 5.
Tracer la droite.
Définition :
x, y et z désignant trois inconnues, toute relation entre x, y et z qui peut s’écrire sous la forme
ax+by+cz = d, où a, b, c et d sont des réels donnés, est appelée équation linéaire à trois inconnues
d’inconnues x, y et z.
Exemple :
2x + 5y + 6z = 1.
2) Systèmes linéaires
Définition :
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est un système de la forme
{ ax + by = c ; a’x + b’y = c’où a, b, c, a’, b’ et c’ sont six réels.
Exemple :
{ 2x + 3y = 5 ; 4x + 5y = –1
Définition :
Résoudre un tel système, c’est trouver tous les couples (x ; y) vérifiant en même temps les deux
équations.
B] Résolution de système d’équations linéaires
1) Interprétation graphique
Lorsque a et b ne sont pas simultanément nuls et quand il en est de même pour a’ et b’, résoudre un
tel système revient à déterminer l’intersection des deux droites D et D’ où :
D : ax + by = c
D’ : a’x + b’y = c’
Il y a alors trois cas qui apparaissent :

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2) Théorème
Théorème :
Soit { ax + by = c ; a’x + b’y = c’ où a, b, c, a’, b’ et c’ sont six réels.
 Si ab’ – ba’  0 alors le système admet un unique couple solution ;
 Si ab’ – ba’ = 0 alors le système admet soit une infinité de solutions soit aucune
solution.
Faire le lien avec le graphe.
3) Exemples
Il y a deux méthodes pour résoudre des systèmes linéaires que cela soit à deux ou trois équations : la
substitution ou les combinaisons linéaires.
Résoudre à l’aide des deux méthodes les systèmes suivants. Faire le premier avec eux avec les deux
méthodes.
{ 5x + y = –7 ;3x – 2y = –12 { 2x + 3y = 8 ;3x – y = 1 
 3x – 25y = 200 ;0
01x + 0
5y = 3
Exercices 1, 2, 4, 5, 9p112.
Exercice 67p115.
4) Systèmes de trois équations à trois inconnues
Méthode de Gauss :
On transforme le système en un système triangulaire que l’on sait parfaitement résoudre.
Exemple :
Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de Gauss.
{ x + y + z = 6;2x – y + z = 3 ;x – y + 2z = 5
Exercice :
Résoudre le système suivant :
{ 3x – 2y + z = 9 ;x + 2z = –3 ;x + y – 2z = 0
Exercices 24, 25p112.
Les points des exercices 53, 54p114 pour trouver a, b et c tels que : y = ax2 + bx + c.
Exercice 80p116.
II Système linéaire d’inéquations
A] Régionnement du plan par une droite
Propriété :  La droite D d’équation y = ax + b délimite deux demi-plans :
L’ensemble des points du plan tels que y > ax + b qui est l’ensemble des
points au-dessus de la droite. (Faire un graphe).
L’ensemble des points du plan tels que y < ax + b qui est l’ensemble des
points au-dessous de la droite. (Faire un graphe).
 Une droite horizontale délimite deux demi-plans. (Faire un graphe).
 Une droite verticale délimite deux demi-plans. (Faire un graphe).
Démonstration :
ADMIS
Exercices 34, 35, 36, 39, 40, 41, 45, 46p113.
B] Résolution graphique de systèmes d’inéquations linéaires
1) Vocabulaire
Définition :
Soient a, b et c trois réels tel que b0, ax + by < c est une inéquation, son inéquation réduite est :

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y <
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.
Définition :
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est de la forme :
{ ax + by = c ; a’x + b’y = c’ où a, b, c, a’, b’ et c’ sont six réels.
2) Méthode graphique
 Mettre le système sous forme réduite.
 Tracer les droites frontières.
 Hachurer les demi-plans qui ne nous intéressent pas.
 L’ensemble des solutions est alors la partie qui est vierge.
3) Exemples
Résoudre graphiquement les systèmes suivants :
{ x + y < 3 ;5x + y > 8 { x > –3 ;3x – y > 2 ;4x + 2y < 2
TD 4p107.
Exercice 88p117.