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Les matrices
A.
Définitions
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres.
Généralisation :
A nx p
 a 11 a 12

 a 21 a 22

... ...

 a n1 a n2

... a 1p 

... a 2p 
nx p
  

a np 
n = nombre de lignes
p = nombre de colonnes
anp = élément qui se situe au croisement de la nème ligne et de la pième colonne.
a ij  
i, j  Z, i  1, n, j  1, p
aij est donc un élément quelconque de la matrice Anxp
Cas particuliers :
1) Matrice LIGNE (vecteur)
1 ligne, p colonnes
2) Matrice COLONNE (vecteur)
n lignes, 1 colonne
3) Matrice NULLE
0 0 0


A 3x3   0 0 0 
0 0 0


4) Matrice CARREE
n = p ( diagonales)
 Matrice triangulaire : La matrice carrée est dite triangulaire si tous ses
éléments situés d’un même côté de la diagonale principale sont nuls. (
inférieure si nombres en dessous, supérieure si nombres au-dessus)
 1 0 0


I3 x 3   0 1 0  (toujours I)
 0 0 1


 Matrice identité (ou unité)
Notations :
Ex : A 3x3  1 matrice de l’ensemble des matrices 3x3
Ex : R3x3 est l’ensemble des matrices 3x3 avec des réels
1
Egalité de deux matrices :
« Deux matrices nxp sont égales si leurs éléments correspondants sont les mêmes. »
A nx p  Bnx p  i  1;n, j  1;p
B.
a ij  b ij
:
Opérations sur les matrices
La transposition :
Le nombre de lignes de la matrice Anxp est égal au nombre de colonnes de sa matrice
transposée.
Le nombre de colonnes de la matrice Anxp est égal au nombre de lignes de sa matrice
transposée.
A   nx p
A T   px n
Multiplication par un réel :
3  1 2 6  2 4 
  

Exemple : 2A = 2 
 0 4 7   0 8 14 
Bnx p  k.A nx p  i  1; n, j  1; p
:
b ij  k.a ij
k
Addition et soustraction :
Attention ! Pour soustraire ou additionner deux matrices il faut qu’elles soient de mêmes
dimensions. On additionne ou on soustrait les éléments correspondants des deux matrices.
A 2 x 3  B 3x 2  NO
A 2x3  B 2x3  C 2x3
Bnx p  A nx p  Cnx p  i  1;n, j  1;p
:
b ij  a ij  c ij
Multiplication de deux matrices :
ATTENTION ! La multiplication de deux matrices n’est pas égale à la multiplication des deux
éléments correspondants.
Le produit A.B est possible si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre
de lignes de B.
2
Le produit A.B = C de la matrice Amxn par la matrice Bnxp est une matrice de dimension mxp
telle que chaque élément cij soit la somme des produits termes à termes de la ième ligne de A
par la jième colonne de B.
A
Exemple :
1x 3
.B
3x 2
1x 2
C
 4  1


3  1 2. 3 1  = 13 0
2 2 


Cmx p  A mx n.Bnx p  i  1; m, j  1; p :
c ij  a i1b1j  a i2 b 2 j  ...  a inb nj
n
OU c ij 
a
k 1
C.
Propriétés des opérations
Addition :





IPD
Associative
Neutre (matrice Identité)
Commutative
Opposé (A et –A)
Multiplication :
 A.B n’est pas égal à B.A
 Si AB = AC, B n’est pas nécessairement égal à C
Exemple 1 :
1

3
2

1
2 2
.
4   1
1  1
.
3   3
1  4 7  


3  10 15  

2   5 8 
  

4  10 14 
 1
 
1 3. 2   13
3
 
 1
 
3 2 2. 2   13
3
 
2
Exemple 2 :
D.
Déterminants
A : matrice  IAI = dét A : réel
 Ordre 1 : si A = (a)
alors IAI = a
3
ik .b kj
 a 11 a 12 

 Ordre 2 : si A = 
 a 21 a 22 
 a 11 a 12

 Ordre 3 : si A =  a 21 a 22
a
 31 a 32
alors IAI = a11a22 – a21a12
a 13 

a 23 
a 33 
IAI
 Diagonales
 Via les mineurs
 Ordre > 3 : via les mineurs
Les diagonales :
Valable uniquement pour les matrices 3x3.
On recopie la 1ère et 2ème colonne à droite de la 3ème. Ensuite on additionne le produit des
termes de chaque diagonale montante et on soustrait le produit des termes de chaque
diagonale descendante.
Exemple :
1 2 3 1 2
 1 4  3  1 4  0  12  15  24  15  12
2 5 0 2 5
La règle des mineurs :
Un mineur est un nombre réel. A chaque élément a ij on peut associer un mineur M ij,
déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant dans A la ième ligne et la jème colonne.
1 7 

  M 11  2
4

2


et
1 4 2 


13
 0 8  4   M  40
5 4 1 


Cofacteurs :
On note le cofacteur de l’élément a ij Aij. Attention à ne pas confondre avec Aixy !
A ij  M ij . 1i j
Le déterminant d’une matrice est donc la somme des produits des éléments d’une rangée (sa
valeur ne dépend pas de la rangée choisie) par les cofacteurs correspondants.
A  a 11.A 11  a12 .A 12  a 13 .A 13
4
Faire un exemple : trouver le déterminant de la matrice :
1 4 2 


 0 1  3   1.13  0.(1).(4)  5.(14)  57
5 4 1 


Propriété des déterminants :
 IAI = IATI
 Le mineur de tout élément d’une matrice carrée est indépendant des éléments
appartenants à la même ligne et à la même colonne que l’élément considéré. Cette
propriété est aussi valable pour les cofacteurs.
 Si tous les éléments d’une rangée d’une matrice sont nuls, alors le déterminant est nul.
 Si on permute deux rangées parallèles d’une matrice, son déterminant change de
signe.
 a 11 a 12

Si A   a 21 a 22
a
 31 a 32
a 13 

a 23 
a 33 
 a 12

B   a 22
a
 32
a 11 a 13 

a 21 a 23 
a 31 a 33 
Démontrer
o
Le déterminant d’une matrice ayant deux rangées parallèles identiques est nul.
 Pour multiplier ou diviser un déterminant par un réel non-nul, il suffit de multiplier ou
diviser tous les éléments d’une rangée par ce nombre.
o
Dans un déterminant, on peut mettre en évidence un facteur commun à tous
les éléments d’une rangée.
o
Si on change le signe d’une rangée d’un déterminant, celui-ci change de signe.
 Si les éléments d’une rangée d’un déterminant sont des sommes de deux termes, alors
ce déterminant est égal à la somme des deux déterminants de même ordre.
a' 11 a' ' 11 a 12
a' 21 a' ' 21 a 22
a' 31 a' ' 31 a 32
a 13
a' 11 a 12
a 23  a' 21 a 22
a 33
a' 31 a 32
a 13
a 23
a 33
a' ' 11 a 12
 a' ' 21 a 22
a' ' 31 a 32
a 13
a 23 
a 33
Déterminant de la première matrice :
a'11 a' '11 .A 11  a' 21 a' ' 21 .A 21  a' 31 a' ' 31 .A 31
Déterminant de la somme des deux matrices :
a'11 .A 11  a' 21 .A 21  a' 31 .A 31 + a' '11 .A 11  a' ' 21 .A 21  a' ' 31 .A 31
 Les déterminants de ces deux matrices sont égaux
5
Le déterminant d’une matrice carrée ne change pas lorsqu’on rajoute à une
rangée des multiples des autres rangées parallèles (combinaison linéaire).
o
Démonstration
 Soit A et B des matrices carrées de même ordre : AB  A .B
E.
Matrice inverse
A-1 = son inverse (si elle existe)
A.A-1 = I = A-1.A
A
Définitions de termes spécifiques :
 Matrice des cofacteurs : chaque terme de la matrice A, aij, est remplacé par son
cofacteur Aij
 a 11 a 12 

A  
 a 21 a 22 
 A 11
et (A ij )  
 A 21
A 12 

A 22 
 Adjointe à la matrice : c’est la matrice des cofacteurs transposée.
Adj A = (Aij)T
 A est régulière si A  0
 A est singulière si A  0
Propriétés de la matrice inverse :
 T  A .I  A ij T .A
A. A ij
 Démonstration si A2x2 :
a b

A  
 c d
A ij    db

 bc
 T   ad
cd  cd
A. A ij


A ij T
A
 c

a 
A ij T
 d  b

 
 c a 
 ab  ab   ad  bc
0  A
  

 bc  ad   0
ad  bc   0
 A 1
 La matrice inverse ne peut exister que si A est régulière
6
0
 1 0
  A .
 0 1 

A

