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Notation : dans ce chapitre, f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I, a un réel
appartenant à I, h un réel différent de 0 tel que a+h appartient à I et Cf la courbe
représentative de f dans un repère
j,i,O
.
I. Nombre dérivé et fonction dérivée
1) Définitions
On dit que f est dérivable en a si l’une des conditions suivantes est réalisée :
h
)a(f)ha(f 
a une limite finie quand h tend vers 0.
ax
)a(f)x(f
a une limite finie quand x tend vers a.
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est noté f’(a)
Ainsi f’(a) =
0h
lim
h
)a(f)ha(f 
ou f’(a) =
ax
)a(f)x(f
lim
ax 
Ex 6-7-8-9 p.122
Ex 32-33
2) Fonction dérivée
On dit que f est dérivable sur l’intervalle I, si f est dérivable en tout x de I, et on appelle
fonction dérivée ou dérivée de f la fonction, notée f’ qui, à tout réel x de I associe le
nombre dérivé de f en x.
3) Tangente.
f’(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
Une équation de cette tangente s’écrit : y = f’(a) ( x – a ) + f(a)
Exemple :
Ex 35-36 p.124
4) Dérivées successives
Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si sa dérivée f’ est dérivable sur I, la dérivée de f’ est notée f’’ et appelée dérivée seconde
de f ou dérivée d’ordre 2 de f.
Remarque : Si la fonction f’’ est elle-même dérivable sur I, alors sa dérivée notée
)3(
f
est
appelée dérivée troisième ou dérivée d’ordre 3 de f.
On définit de même la dérivée d’ordre n , notée
)n(
f
.
Exemple :
Ex 28-29 p.123

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II. Dérivées de fonctions usuelles
1) Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de
définition
Fonction
Dérivée
Ensemble de
dérivabilité
ℝ
f(x) = k ( constante )
f’(x) = 0
ℝ
ℝ
f(x) = x
f’(x) = 1
ℝ
ℝ
f(x) = x2
f’(x) = 2x
ℝ
ℝ*
f(x) =
x
1
f’(x) = 
2
x
1
ℝ*
ℝ
f(x) =
n
x
(n, entier ≥ 1)
f’(x) = n
1n
x
ℝ
ℝ*
f(x) =
n
x
1
(n, entier ≤ 1)
f’(x) = 
1n
x
n
ℝ*
ℝ+
f(x) =
x
f’(x) =
x2
1
ℝ+*
Exercices :
2) Opérations sur les dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel ; les formules suivantes
permettent de déterminer la dérivée d’une fonction f obtenue par opérations.
Fonction f
Fonction dérivée f’
Somme
f = u + v
f’ = u’ + v’
Produit
f = k u
f’ = k u’
f = u v
f’ = u’ v + v’ u
Quotient
f =
v
1
f’ =
2
v
'v
v(x)
0
f =
v
u
f’ =
2
v
u'vv'u 
Les fonctions polynômes sont dérivables sur ℝ.
Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.

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III. Applications de la dérivée
1) Sens de variation
Théorème admis
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
 Si, pour tout x de I, f’(x) > 0, sauf peut-être en un nombre fini de points où f’ s’annule,
alors f est strictement croissante sur I.
 Si, pour tout x de I, f’(x) < 0, sauf peut-être en un nombre fini de points où f’ s’annule,
alors f est strictement décroissante sur I.
 Si, pour tout x de I, f’(x) = 0, alors f est constante sur I.
2) Zéro de la dérivée et extremum local
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert. Soit c un point de I.
 Si f admet un extremum local en un nombre réel c, alors f’(c) = 0.
 Si f’ s’annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum.
Exemples :
Etudier le sens de variation de f définie sur I = ℝ par f(x) =
4x3x2 23 
.
Calculer f(-2) et en déduire le signe de f sur I.
En déduire le sens de variation de la fonction g définie sur ]-∞ ; 0[ par g(x) =
x
4
x3x2
.
( g’(x) =
2
x
)x(f
; g est décroissante sur ]-∞ ; -2] et croissante sur [-2 ; 0[.
Ex 10-11-12-13-14 p.122
IV. Dérivée d’une fonction composée
1) Théorème
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J, et g une
fonction dérivable sur J, alors la fonction composée f = gou est dérivable sur l’intervalle I,
et on a :
(gou)’ = u’ (g’ou)
f’(x) = g’(u(x)) u’(x)
DEMONSTRATION
Soit a un réel de I.
u dérivable en a et g dérivable en u(a).
ax
))a(u(g))x(u(g
lim
ax
ax
)a(u)x(u
)a(u)x(u
))a(u(g))x(u(g
lim
ax 
Or
)a('u
ax
)a(u)x(u
lim
ax 
De plus u est dérivable en a donc continue en a donc
)a(u)x(ulim
ax 
et
g est dérivable en u(a) donc
))a(u('g
)a(uX
))a(u(g)X(g
lim )a(uX 

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donc par composition de fonctions
))a(u('g
)a(u)x(u
))a(u(g))x(u(g
lim
ax 
donc (gou)’(x) = g’(u(x)) u’(x)
d’où (gou)’ = u’ (g’ou)
2) Dérivées de fonctions composées usuelles
Dans le cas où g est une fonction usuelle connue et u une fonction dérivable sur I, on obtient
les formules suivantes :
fonction
dérivée
fonction
dérivée
f =
n
u
f’ = n
1n
u
u’ (n ≥ 1)
f =
u
f’ =
u2
'u
'u
u2
1
( u(x) > 0)
f =
u
1
f’ =
22 u
'u
'u
u
1
( u(x)
0)
f =
n
u
1
f’ =
1n1n u
'nu
'u
u
n
( u(x)
0)
Ex : f(x) =
32 )1x( 
et g(x) =
1x2
.
Déterminer l’ensemble de dérivabilité et les dérivées des fonctions.
Cas particulier :
Soit a et b deux nombres réels et f une fonction définie et dérivable sur Ë.
La fonction
)bax(fx 
est dérivable en tout nombre réel x et sa dérivée est la fonction
)bax('fax 
Dem :
Avec la déf du nombre dérivé
Cas a = 0
Cas a  0
Ex 15-16 … p.122-123
Ex 57 p.130
Ex 66 p.135