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Dérivation
Notation : dans ce chapitre, f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I, a un réel
appartenant à I, h un réel différent de 0 tel que a+h appartient à I et Cf la courbe


représentative de f dans un repère O, i , j .
I.
Nombre dérivé et fonction dérivée
1) Définitions
On dit que f est dérivable en a si l’une des conditions suivantes est réalisée :
f( a  h)  f( a)

a une limite finie quand h tend vers 0.
h
f(x)  f( a)

a une limite finie quand x tend vers a.
xa
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est noté f’(a)
f( a  h)  f( a)
f(x)  f( a)
Ainsi f’(a) = lim
ou f’(a) = lim
h0
x a
h
xa
Ex 6-7-8-9 p.122
Ex 32-33
2) Fonction dérivée
On dit que f est dérivable sur l’intervalle I, si f est dérivable en tout x de I, et on appelle
fonction dérivée ou dérivée de f la fonction, notée f’ qui, à tout réel x de I associe le
nombre dérivé de f en x.
3) Tangente.
f’(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
Une équation de cette tangente s’écrit : y = f’(a) ( x – a ) + f(a)
Exemple :
Ex 35-36 p.124
4) Dérivées successives
Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si sa dérivée f’ est dérivable sur I, la dérivée de f’ est notée f’’ et appelée dérivée seconde
de f ou dérivée d’ordre 2 de f.
Remarque : Si la fonction f’’ est elle-même dérivable sur I, alors sa dérivée notée f (3) est
appelée dérivée troisième ou dérivée d’ordre 3 de f.
On définit de même la dérivée d’ordre n , notée f (n ) .
Exemple :
Ex 28-29 p.123
1
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II. Dérivées de fonctions usuelles
1) Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de
définition
Fonction
Dérivée
Ensemble de
dérivabilité
ℝ
f(x) = k ( constante )
f’(x) = 0
ℝ
ℝ
f(x) = x
f’(x) = 1
ℝ
f’(x) = 2x
ℝ
2
ℝ
f(x) = x
ℝ*
f(x) =
ℝ
ℝ*
1
x
f(x) = x n (n, entier ≥ 1)
1
f(x) = n (n, entier ≤ 1)
x
f(x) =
ℝ+
1
x2
f’(x) = n x n 1
n
f’(x) =  n 1
x
1
f’(x) =
2 x
ℝ*
f’(x) = 
x
ℝ
ℝ*
ℝ+*
Exercices :
2) Opérations sur les dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel ; les formules suivantes
permettent de déterminer la dérivée d’une fonction f obtenue par opérations.
Somme
Produit
Fonction f
Fonction dérivée f’
f=u+v
f’ = u’ + v’
f=ku
f’ = k u’
f=uv
f’ = u’ v + v’ u
1
v
u
f=
v
 v'
v2
u'v  v'u
f’ =
v2
f=
Quotient
f’ =
v(x)  0
Les fonctions polynômes sont dérivables sur ℝ.
Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
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III. Applications de la dérivée
1) Sens de variation
Théorème admis
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
 Si, pour tout x de I, f’(x) > 0, sauf peut-être en un nombre fini de points où f’ s’annule,
alors f est strictement croissante sur I.
 Si, pour tout x de I, f’(x) < 0, sauf peut-être en un nombre fini de points où f’ s’annule,
alors f est strictement décroissante sur I.
 Si, pour tout x de I, f’(x) = 0, alors f est constante sur I.
2) Zéro de la dérivée et extremum local
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert. Soit c un point de I.
 Si f admet un extremum local en un nombre réel c, alors f’(c) = 0.
 Si f’ s’annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum.
Exemples :
Etudier le sens de variation de f définie sur I = ℝ par f(x) = 2x 3  3x 2  4 .
Calculer f(-2) et en déduire le signe de f sur I.
En déduire le sens de variation de la fonction g définie sur ]-∞ ; 0[ par g(x) = x 2  3x 
( g’(x) =
f( x)
; g est décroissante sur ]-∞ ; -2] et croissante sur [-2 ; 0[.
x2
4
.
x
Ex 10-11-12-13-14 p.122
IV. Dérivée d’une fonction composée
1) Théorème
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J, et g une
fonction dérivable sur J, alors la fonction composée f = gou est dérivable sur l’intervalle I,
et on a :
(gou)’ = u’ (g’ou)
f’(x) = g’(u(x))  u’(x)
DEMONSTRATION
Soit a un réel de I.
u dérivable en a et g dérivable en u(a).
g(u(x))  g(u( a))
g(u(x))  g(u( a)) u(x)  u( a)
lim
 lim

x a
x a
xa
u(x)  u( a)
xa
u(x)  u(a)
Or lim
 u'(a)
xa
xa
De plus u est dérivable en a donc continue en a donc lim u(x)  u( a)
x a
et
g(X)  g(u( a))
 g'(u( a))
Xu( a )
X  u( a)
g est dérivable en u(a) donc lim
3
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g(u(x))  g(u(a))
 g'(u(a))
x a
u(x)  u(a)
donc par composition de fonctions lim
donc (gou)’(x) = g’(u(x))  u’(x)
d’où (gou)’ = u’ (g’ou)
2) Dérivées de fonctions composées usuelles
Dans le cas où g est une fonction usuelle connue et u une fonction dérivable sur I, on obtient
les formules suivantes :
fonction
dérivée
fonction dérivée
1
u'
 u' 
f’ =
( u(x) > 0)
f = un
f= u
f’ = n u n 1 u’ (n ≥ 1)
2 u
2 u
f=
1
u
f’ =
1
 u'
 u' 2 ( u(x)  0)
2
u
u
Ex : f(x) = (x 2  1) 3 et g(x) =
f=
1
un
f’ =
n
 nu'
 u' n 1 ( u(x)  0)
n 1
u
u
x2  1 .
Déterminer l’ensemble de dérivabilité et les dérivées des fonctions.
Cas particulier :
Soit a et b deux nombres réels et f une fonction définie et dérivable sur Ë.
La fonction x  f( ax  b) est dérivable en tout nombre réel x et sa dérivée est la fonction
x  a f'(ax  b)
Dem :
Avec la déf du nombre dérivé
Cas a = 0
Cas a  0
Ex 15-16 … p.122-123
Ex 57 p.130
Ex 66 p.135
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