Université d’Orléans
Département de Mathématiques
Master 1 – Semestre 1
Automne 2011
SMO1MA1 – Méthodes hilbertiennes et analyse de Fourier
(www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/MHAF.html)
1 Transformation de Fourier
La transformation de Fourier sur Rest l’analogue des séries de Fourier sur T.
R
transformation de Fourier T
séries de Fourier
Définition 1.1. La transformée de Fourier Ff=b
fd’une fonction fL1(R)est définie par
Ff(ξ) = b
f(ξ) = ZR
f(x)eixξ dx ξR.(1)
Remarque 1.2. La transformation de Fourier est parfois définie différemment, par exemple
b
f(ξ) = 1
2πZR
f(x)eixξ dx ou b
f(ξ) = ZR
f(x)e2π ixξ dx . (2)
Quelle que soit la définition choisie, des facteurs πapparaissent à un moment ou à un autre
dans la théorie.
Exemple 1.3. Transformée de Fourier de la fonction caractéristique f= 1IId’un intervalle
borné Id’extrêmités a <b :
b
f(ξ) = (2eia+b
2ξsin ba
2ξ
ξsi ξ6= 0,
basi ξ= 0.
Observons que b
fest une fonction continue, avec une décroissance b
f(ξ) = O1
|ξ|à l’infini.
Exemple 1.4. La gaussienne f(x) = ex2
2est, à une constante multiplicative près, sa propre
transformée de Fourier :
b
f(ξ) = 2π eξ2
2.
Lemme 1.5. (a) (Riemann–Lebesgue)Soit fL1(R). Alors b
fC0(R)avec kb
fk≤ kfk1.
(b) Pour tout f, g L1(R), on a
ZRb
f(ξ)g(ξ)=ZR
f(x)bg(x)dx .
Proposition 1.6. Le tableau suivant rassemble quelques propriétés de base de la transformation
de Fourier :
f(x)b
f(ξ)
f(x)b
f(ξ)
f(ax)1
|a|b
f(ξ
a)
f(x+b)eibξ b
f(ξ)
eibx f(x)b
f(ξb)
d
dx f(x)i ξ b
f(ξ)
x f(x)id
b
f(ξ)
(fg)(x)b
f(ξ)bg(ξ)
f(x)g(x)1
2π(b
fbg)(ξ)
Exemple 1.7. La transformée de Fourier d’une gaussienne f(x) = ea(xb)2est
b
f(ξ) =qπ
aei b ξ eξ2
4a.
Les deux dernières points font intervenir le produit de convolution, dont nous rappelons main-
tenant la définition et les propriétés principales.
Définition 1.8. Le produit de convolution sur Rest défini par
(fg)(x) = Z+
−∞
f(xy)g(y)dy =Z+
−∞
f(z)g(xz)dy .
Proposition 1.9. (a) Le produit de convolution est commutatif (lorsqu’il est bien défini ) :
fg=gf
(b) Soit 1p≤ ∞. Si fL1(R)et gLp(R), alors fgLp(R)avec kfgkp≤ kfk1kgkp.
(c) Si de plus gCN(R)et que ses dérivées appartiennent à Lp(R), alors fgCN(R)avec
(fg)(k)=fg(k)Lp(R)1kN .
(d) Soit (uj)une unité approchée (généralisée). Alors (fuj)converge vers f
dans Lpsi fLp(R)avec 1p < ,
uniformément si fC0(R).
Remarque 1.10.
On s’intéresse principalement aux cas p= 1,p= 2,p=.
Le point (b) de la proposition peut être généralisé comme suit (théorème de Young) :
Soient 1p, q, r ≤ ∞ tels que 1
p+1
q1
r= 1. Si fLp(R)et gLq(R), alors fgLr(R)
avec kfgkr≤ kfkpkgkq.
Rappelons qu’une unité approchée est une suite (uj)dans L1(R)telle que
uj0,
R+
−∞ uj= 1,
supp uj[Rj,+Rj]avec Rj0,
et qu’on parle d’unité approchée généralisée si la troisième condition est remplacée par
◦ ∀ε > 0,limj+R+ε
εuj(x)dx = 1 limj+R|x|uj(x)dx = 0.
2
Introduisons l’espace de Schwartz, qui fournit un cadre idéal pour l’analyse de Fourier sur R.
Définition 1.11. L’espace de Schwartz S(R)est constitué des fonctions fC(R)vérifiant
les conditions équivalentes suivantes :
(a) k, mN,C0,|f(k)(x)| ≤ C(1+|x|)m,
(b) k, mN,supxR|xmf(k)(x)|<+,
(c) k, mN,supxRd
dx kxmf(x)<+.
Exemple 1.12. Les produits f(x)= p(x)ea(xb)2de polynômes p(x)et de gaussiennes ea(xb)2,
a>0et bR, sont des fonctions de Schwartz.
Proposition 1.13.
L’espace de Schwartz S(R)est dense dans Lp(R), pour tout 1p < , ainsi que dans C0(R).
Proposition 1.14. L’espace de Schwartz est préservé par les opérations suivantes :
dérivation :f∈ S(R) =d
dx kf∈ S(R)kN,
multiplication par les polynômes :f∈ S(R) =xmf∈ S(R)mN,
multiplication ponctuelle :f, g ∈ S(R) =f g ∈ S(R),
produit de convolution :f, g ∈ S(R) =fg∈ S(R),
transformation de Fourier :f∈ S(R) =b
f∈ S(R).
Théorème 1.15. (a) La transformation de Fourier
Ff(ξ) = b
f(ξ) = ZR
f(x)eixξ dx (2)
est un isomorphisme de l’espace de Schwartz sur lui-même.
(b) Pour tout f∈ S(R), on a
F2f= 2πf .
En d’autres termes, la transformation de Fourier inverse est donnée par
F1g(x) = 1
2πbg(x) = 1
2πZR
g(ξ)eixξ dξ . (3)
Corollaire 1.16. La transformation de Fourier est injective sur L1(R).
Théorème 1.17 (Plancherel).(a) Pour tout f∈ S(R), on a
kb
fk2=2πkfk2.
(b) L’application f7−1
2πb
fse prolonge en une isométrie de l’espace L2(R)sur lui–même.
3
L’analyse de Fourier est un outil important en mathématiques. Elle permet notamment de ré-
soudre des équations différentielles, par exemple l’équation de la chaleur
(
t u(x, t) = 2
x2u(x, t)xR,t >0,
u(x, 0) = f(x)xR.(4)
Par transformation de Fourier spatiale, l’équation (4) devient en effet
(
t bu(ξ, t) = ξ2bu(ξ, t)ξR,t>0,
bu(ξ, 0) = b
f(ξ)ξR.
Pour ξfixé, il s’agit d’une équation différentielle en t, qui est élémentaire à résoudre :
bu(ξ, t) = f(x)et ξ2.
Par transformation de Fourier inverse, on obtient la solution suivante de (4) :
u(x, t) = (fgt)(x),
gt(x) = 1
4π t ex2/4t
est le noyau de la chaleur sur R.
En physique, le principe d’incertitude de Heisenberg stipule qu’on ne peut préciser simultané-
ment la position et la vitesse d’une particule. Mathématiquement, ce principe se traduit par
l’impossibilité de cerner simultanément une fonction et sa transformée de Fourier. En voici deux
formulations quantitatives.
Théorème 1.18 (principe d’incertitude 1).
Soit fL1(R)telle que supp fet supp b
fsont compacts. Alors f= 0.
Théorème 1.19 (principe d’incertitude 2).Pour tout fS(R)et pour tout x0, ξ0R, on a
Z+
−∞ |f(x)|2dxZ+
−∞ |b
f(ξ)|24Z+
−∞
(xx0)2|f(x)|2dxZ+
−∞
(ξξ0)2|b
f(ξ)|2.
De plus, si x0=ξ0= 0, on a égalité pour les gaussiennes f(x) = et
2x2i.e. b
f(ξ) = q2π
te1
2tξ2.
4
Passons à la formule sommatoire de Poisson (Siméon Denis Poisson, né le 21 juin 1781 à Pithi-
viers), qui est un outil important en théorie analytique des nombres.
Théorème 1.20 (Formule sommatoire de Poisson).Pour tout fS(R), on a
PnZb
f(n) = 2πPnZf(2πn).
Exemple 1.21 (Fonctions thêta et zêta).En appliquant la formule sommatoire de Poisson aux
gaussiennes, on obtient la relation fonctionnelle
θ(t) = t1
2θ(t1)t>0
pour la fonction thêta
θ(t) = PnZen2t.
On en duit le prolongement analytique de la fonction zêta
ζ(s) = P+
n=1 nsRe s > 1
àCr{1}et la relation fonctionnelle
ζ(1s) = π1
2sΓ( s
2)
Γ( 1s
2)ζ(s).
Plus précisément, la fonction
ξ(s) = πs
2
Γ( s
2)ζ(s)
crit
ξ(s) = Z+
1
dt
tts
2+t1s
2θ(t)1
21
s1
1s
et vérifie l’équation fonctionnelle ξ(1s) = ξ(s).
Terminons avec le théorème d’echantillonnage de Shannon, qui est un outil fondamental en
traitement du signal.
Théorème 1.22 (Shannon).Soit fL2(R)telle que supp b
f[π, +π]. Alors
f(x) = PnZf(n)sin π(xn)
π(xn).
Remarque finale : La plupart des définitions et résultats de ce chapitre se généralisent à Rn.
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