Introduisons l’espace de Schwartz, qui fournit un cadre idéal pour l’analyse de Fourier sur R.
Définition 1.11. L’espace de Schwartz S(R)est constitué des fonctions f∈C∞(R)vérifiant
les conditions équivalentes suivantes :
(a) ∀k, m∈N,∃C≥0,|f(k)(x)| ≤ C(1+|x|)−m,
(b) ∀k, m∈N,supx∈R|xmf(k)(x)|<+∞,
(c) ∀k, m∈N,supx∈Rd
dx kxmf(x)<+∞.
Exemple 1.12. Les produits f(x)= p(x)e−a(x−b)2de polynômes p(x)et de gaussiennes e−a(x−b)2,
où a>0et b∈R, sont des fonctions de Schwartz.
Proposition 1.13.
L’espace de Schwartz S(R)est dense dans Lp(R), pour tout 1≤p < ∞, ainsi que dans C0(R).
Proposition 1.14. L’espace de Schwartz est préservé par les opérations suivantes :
•dérivation :f∈ S(R) =⇒d
dx kf∈ S(R)∀k∈N,
•multiplication par les polynômes :f∈ S(R) =⇒xmf∈ S(R)∀m∈N,
•multiplication ponctuelle :f, g ∈ S(R) =⇒f g ∈ S(R),
•produit de convolution :f, g ∈ S(R) =⇒f∗g∈ S(R),
•transformation de Fourier :f∈ S(R) =⇒b
f∈ S(R).
Théorème 1.15. (a) La transformation de Fourier
Ff(ξ) = b
f(ξ) = ZR
f(x)e−ixξ dx (2)
est un isomorphisme de l’espace de Schwartz sur lui-même.
(b) Pour tout f∈ S(R), on a
F2f= 2πf ∨.
En d’autres termes, la transformation de Fourier inverse est donnée par
F−1g(x) = 1
2πbg(−x) = 1
2πZR
g(ξ)eixξ dξ . (3)
Corollaire 1.16. La transformation de Fourier est injective sur L1(R).
Théorème 1.17 (Plancherel).(a) Pour tout f∈ S(R), on a
kb
fk2=√2πkfk2.
(b) L’application f7−→ 1
√2πb
fse prolonge en une isométrie de l’espace L2(R)sur lui–même.
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