Exercice 1

Niveau : Seconde
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
Fonctions Polynômes 2 degré/ Exercices
entraînement - correction
nd
FP1
Exercice 1 : Utiliser les coefficients pour identifier des polynômes
y
C4
On donne les fonctions suivantes :
4
C3
3
2
f(x) = 3x² –5x + 4
1
g(x) = 2x² +3x – 4
-2
h(x) = –2x² –5x
-1
0
-1
1
2
-2
i(x) = –3x² +x +2
x
C2
-3
C1
-4
-5
Toutes les courbes ont des ordonnées à l’origine différentes (intersection entre la courbe et l’axe des
ordonnées). L’ordonnée à l’origine correspond de plus au coefficient c de l’expression d’une fonction
polynôme du second degré.
On associe donc à chaque fonction sa courbe : les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Fonction
Coefficient c
Courbe
f
4
C3
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
g
-4
C1
1
h
0
C4
i
2
C2
Exercice 2 : Tracer l’allure d’une courbe à partir des coefficients de la forme réduite
On donne la fonction f(x) = 2x² −5x −3
a) Quelle est l’orientation de la courbe représentative de f ? Justifier.
La parabole représentant f est tournée vers le haut car a > 0 (a = 2)
b) Quelle est l’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des ordonnées.
C’est le point C(0 ; c) avec ici c = -3 : Donc c’est C(0 ; -3)
c) À partir des 2 informations précédentes, dessiner dans un repère l’allure d’une courbe possible
pour représenter la fonction f
Il y a bien sûr plusieurs allures possibles, plus ou moins resserrées, décalée à droite ou à gauche.
L’essentiel c’est de respecter les 2 informations : en U (tournée vers le haut) et passant par (0 ; −3)
y
y
y
Voici trois exemples parmi d’autres, on ne peut avoir une représentation exacte qu’avec les 2 autres
formes ou un tableau de valeurs
d)
e)
f)
g)
h)
i)
1
0
1
x
1
0
×
1
x
1
0
×
1
×
Exercice 3 : Utiliser les coefficients pour identifier des polynômes (bis)
On appelle a le coefficient en x².
a) Pour f, a est positif (a = 2), donc sa courbe est « en U » (« tournée vers le haut ») : c’est la courbe C2.
Pour g, a est négatif (a = –2), donc sa courbe est « en pont » (« tournée vers le bas ») : c’est la courbe C1.
b) Pour h, a est négatif (a = –3), donc sa courbe est « en pont » (« tournée vers le bas ») : c’est la courbe C4.
Pour i, a est positif (a = 1), donc sa courbe est « en U » (« tournée vers le haut ») : c’est la courbe C3.
FP2
Exercice 1 : Etude des variations… sans tracer la courbe !
On considère la parabole P représentative de la fonction f définie par f(x) = -3x² + 2x + 2.
a) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole P
−𝑏
Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (α ; β) avec α = 2𝑎 et β = f(α)
−2
−2
1
Les coefficients de la fonction sont ici : a = -3 ; b = 2 et c = 2 donc α = 2×(−3) = soit α = −6 = 3
1
1 2
1
1
2
6
7
Et β = f(3) = -3  (3) + 2  3 + 2 soit β = -3 + 3 + 3 = 3
1
7
Le sommet S a donc pour coordonnées (3 ; 3 ).
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
2
b) Quelles sont les variations de f ?
7
Comme a < 0, la fonction est d’abord croissante, puis décroissante. Elle admet donc un maximum égale à 3
1
pour x = 3. On a donc le tableau de variation suivant :
x
−∞
α=
β=
f(x) = -3x² + 2x + 2
1
.
3
7
+∞
3
c) A l’aide de la calculatrice, on vérifie les résultats en traçant la courbe représentative de f avec une fenêtre
d’affichage réglée comme suit : Xmin = -1 ; Xmax = 2 ; Ymin = -4 ; Ymax = 3 (le maximum valant environ
2,33)
Exercice 2 : un autre exemple
Soit g la fonction définie par la relation : g(x) = −4x² + 4x − 1
a. Dresser le tableau de variation de la fonction g.
Ici les coefficients sont a = -4 ; b = 4 et c = -1
Comme a < 0, la fonction est d’abord croissante, puis décroissante.
−4
−4 1
Elle admet donc un maximum en α = 2×(−4) = soit α = −8 = 2
1
1 2
1
Et ce maximum vaut β = g(2) = -4  (2) + 4  2 - 1 soit β = -1 + 2 – 1 = 0
On a alors le tableau de variation suivant pour la fonction g
x
−∞
α=
1
.
2
+∞
β=0
g(x) = -4x² + 4x - 1
A l’aide de la calculatrice, on peut vérifier les résultats en traçant la courbe représentative de g avec une fenêtre
d’affichage réglée comme suit : Xmin = -1 ; Xmax = 2 ; Ymin = -6 ; Ymax = 1 (le maximum valant 0)
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
3
b. Justifier que la fonction g s’annule en une unique valeur qu’on précisera.
1
La fonction g s’annule en une unique valeur x = 2. En effet, 0 correspond au maximum pour g et est obtenu
1
en une unique valeur de x. Cela correspond au sommet de la parabole S(2 ; 0).
On aurait pu aussi transformer l’expression de g(x) de la manière suivante afin de faire apparaître une
identité remarquable :
1
1
4
2
g(x) = -4(x² - x + ) = -4(x - )²
1
Et g(x) = 0  -4(x - )² = 0
2
1
g(x) = 0  (x - )² = 0
2
1
g(x) = 0  x - = 0
2
g(x) = 0  x =
1
2
1
La fonction g s’annule donc bien pour une unique valeur x = 2
Exercice 3 : Forme canonique
On considère la fonction : f : x  x²+4x+1 :
1. Etablir l’égalité : f(x) = (x + 2)² − 3
f(x) = x²+4x+1 = (x² + 4x + 4) – 4 + 1
f(x) = (x + 2)² - 4 + 1
f(x) = (x + 2)² - 3
2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]−∞ ; −2]
f(x) est mis sous la forme canonique au 1. Soit f(x) = (x – α)² + β avec donc α = -2 et β = -3
Comme a = 1 > 0, la fonction f est d’abord décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; −2].
b. Dresser, sans justification, son tableau de variation.
x
f(x) = x²
−∞
α = -2
+ 4x + 1
-3
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
4
+∞
c. Donner les caractéristiques de l’extremum de la fonction f.
La fonction f admet un minimum égal à -3 atteint en x = -2. Ceci correspond au sommet S(-2 ; -3) de la
parabole représentant S.
3. a. Compléter le tableau ci-dessous de valeurs de la fonction f : A l’aide des fonctionnalités de la
calculatrice on remplit rapidement le tableau de valeurs ci-dessous (réglage Start : -5 ; End : 1 et Step : 0,5)
x
-5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
1
f(x)
6
1
-0,75
-2
-2,75
-3
-2,75
-2
-0,75
1
6
On visualise bien dans ce tableau de valeur la symétrie par rapport à la valeur x = α = -2
b. Tracer la courbe représentative de f dans le repère ci-dessous.
Voir correction en page suivante…
L’axe de symétrie est la droite verticale d’équation x = -2
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
5
FP3
Exercice 1 : Optimisation d’aire.
Soit ABCD un rectangle de dimension 6 cm et 4 cm. On considère les points E et G, situés hors du rectangle
ABCD, appartenant respectivement aux demi-droites [AB) et [AD) et le point F tels que le quadrilatère AGFE
est un rectangle.
On note x et y les deux distances suivantes : x = DG ; y = BE
On impose aux points E et G de former un rectangle AEFG dont le périmètre est de 28 cm.
1. a. Montrer que la longueur y s’exprime en fonction de x par : y = 4 – x
Le périmètre doit être égal à 28 donc on doit avoir 2(6 + x) + 2(y + 4) = 28
Soit 12 + 2x + 2y + 8 = 28
Et donc 20 + 2x + 2y = 28
2y = 8 – 2x
Et donc y = 4 – x (en divisant par 2 les 2 membres de l’égalité)
b. En déduire les valeurs possibles de x.
y doit être positif et il faut donc 4 – x > 0 soit 4 > x ou x < 4.
De plus x doit aussi être positif et on a donc 0 < x < 4 ce qui s’écrit encore x  ]0 ; 4[
On note A l’aire de la partie hachurée (celle du polygone BEFGDC).
2. Etablir que l’aire de la partie hachurée s’écrit en fonction de x est obtenue par l’égalité :
A(x) = -x² + 2x + 24
L’aire de la partie hachurée vaut A(x) = aire(AEFG) – aire(ABCD)
Soit A(x) = (x + 6)(y + 4) – 6  4 avec y = 4 – x comme on l’a vu à la question 1.
Donc A(x) = (x + 6)(4 – x + 4) – 24
A(x) = (x + 6)(8 – x) – 24
En développant : A(x) = 8x – x² + 48 – 6x – 24
Et on a donc A(x) = -x² + 2x + 24
3. Dresser le tableau de variation de la fonction A sur .
Les coefficients de A(x) sont : a = -1 ; b = 2 et c = 24.
Comme a < 0, la fonction est d’abord croissante puis décroissante.
−2
A admet donc un maximum pour x = α = 2×(−1) = 1. Ce maximum vaut β = f(1) = -1² + 21 + 24 = 25
On a alors le tableau de variation suivant pour A :
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
6
x
−∞
α=1
β = 25
+∞
A(x) = -x² + 2x + 24
4. Etudions les valeurs extrêmes prises par l’aire hachurée de cette figure :
a. Quelle est l’aire maximale de la partie hachurée ? Pour quelles valeurs de x est-elle atteinte ?
D’après l’étude des variations de A, on en déduit que l’aire maximale de la partie hachurée vaut 25 cm² et
que ce maximum est atteint pour une unique valeur de x égale à 1 cm ?
b. Quelle est l’aire minimale de la partie hachurée ? Pour quelle valeur de x ce minimum est-il réalisé ?
x varie sur l’intervalle ]0 ; 4[ et on a f(0) = 24 ; f(4) = -4² + 2  4 + 24 = 16.
L’aire minimale est donc de 16 cm² et est atteinte lorsque x = 4 cm.
Encore une fois les résultats peuvent être vérifiés à l’aide
de la calculatrice graphique en réglant une fenêtre
d’affichage comme ceci : Xmin : 0 ; Xmax : 4 ; Ymin : 15
et Ymax : 26
Exercice 2 : 100 mètres de clôture
On veut construire le long d’un bâtiment une aire de jeu rectangulaire.
De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10m. Cet espace de
jeu est entouré sur trois côtés d’une allée de 3m de large comme l’indique le croquis ci-dessous.
L’ensemble est clôturé sur les trois côtés [AB], [BC] et [CD].
On s’intéresse à la longueur L de la clôture : L = AB + BC + CD.
On note x et y les dimensions en mètres de l’aire de jeu (la valeur de x et de y sont nécessairement positifs).
1. Exprimer la longueur L de la clôture en fonction des valeurs des valeurs de x et de y.
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
7
On a L = 2(x + 3) + y + 6 soit L = 2x + y + 12
2. On dispose de 100 mètres de clôture qu’on souhaite entièrement utiliser :
a. Exprimer, dans ces conditions, la valeur de y en fonction de x.
On veut donc L = 100 et on a donc 2x + y + 12 = 100 soit encore y = 100 – 12 – 2x
Et alors y = 88 – 2x
b. Justifier que la valeur de x doit être inférieure à 44.
On doit avoir y > 0 (c’est une longueur) donc comme y = 88 – 2x on doit avoir 88 – 2x > 0
Soit 88 > 2x et donc 44 > x
C’est-à-dire x doit être inférieur à 44
c. Justifier que l’aire de jeux a pour aire : A(x) = 88x − 2x²
A(x) = x  y = x(88 – 2x)
Donc A(x) = 88x − 2x²
3. Dresser le tableau de variation de la fonction A sur l’intervalle ]0 ; 44[.
Les coefficients de la fonction A sont : a = -2 ; b = 88 et c = 0.
Comme a < 0, la fonction A est d’abord croissante puis décroissante. Elle admet donc un maximum β atteint
−𝑏
pour x = α = 2𝑎
−88
Donc α = 2×(−2) = 22
Et β = A(22) = 88  22 – 2  22²
β = 968
et
On a donc le tableau de variation suivant :
x
0
22
β = 968
44
A(x) = 88x – 2x²
0
0
4. En déduire les dimensions afin que les 100 mètres de clôtures soient utilisés et que l’aire de jeu soit
maximale.
Pour que les 100 m de clôture soit utilisés, il faut donc donner à x la valeur 22 m
Et alors y = 88 – 222 = 44 m.
Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction
8