Exercice 1

Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction 1
FP1
Exercice 1 : Utiliser les coefficients pour identifier des polynômes
On donne les fonctions suivantes :
f(x) = 3x² –5x + 4
g(x) = 2x² +3x – 4
h(x) = –2x² –5x
i(x) = –3x² +x +2
Toutes les courbes ont des ordonnées à l’origine différentes (intersection entre la courbe et l’axe des
ordonnées). L’ordonnée à l’origine correspond de plus au coefficient c de l’expression d’une fonction
polynôme du second degré.
On associe donc à chaque fonction sa courbe : les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Fonction
f
g
h
i
Coefficient c
4
-4
0
2
Courbe
C3
C1
C4
C2
Niveau : Seconde
Fonctions Polynômes 2nd degré/ Exercices
entraînement - correction
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
2-1-2
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
0 1
1
x
y
C
3
C
2
C
1
C
4

Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction 2
Exercice 2 : Tracer l’allure d’une courbe à partir des coefficients de la forme réduite
On donne la fonction f(x) = 2x² −5x −3
a) Quelle est l’orientation de la courbe représentative de f ? Justifier.
La parabole représentant f est tournée vers le haut car a > 0 (a = 2)
b) Quelle est l’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des ordonnées.
C’est le point C(0 ; c) avec ici c = -3 : Donc c’est C(0 ; -3)
c) À partir des 2 informations précédentes, dessiner dans un repère l’allure d’une courbe possible
pour représenter la fonction f
Il y a bien sûr plusieurs allures possibles, plus ou moins resserrées, décalée à droite ou à gauche.
L’essentiel c’est de respecter les 2 informations : en U (tournée vers le haut) et passant par (0 ; −3)
Voici trois exemples parmi d’autres, on ne peut avoir une représentation exacte qu’avec les 2 autres
formes ou un tableau de valeurs
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Exercice 3 : Utiliser les coefficients pour identifier des polynômes (bis)
On appelle a le coefficient en x².
a) Pour f, a est positif (a = 2), donc sa courbe est « en U » (« tournée vers le haut ») : c’est la courbe C2.
Pour g, a est négatif (a = –2), donc sa courbe est « en pont » (« tournée vers le bas ») : c’est la courbe C1.
b) Pour h, a est négatif (a = –3), donc sa courbe est « en pont » (« tournée vers le bas ») : c’est la courbe C4.
Pour i, a est positif (a = 1), donc sa courbe est « en U » (« tournée vers le haut ») : c’est la courbe C3.
FP2
Exercice 1 : Etude des variations… sans tracer la courbe !
On considère la parabole P représentative de la fonction f définie par f(x) = -3x² + 2x + 2.
a) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole P
Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (α ; β) avec α = 
 et β = f(α)
Les coefficients de la fonction sont ici : a = -3 ; b = 2 et c = 2 donc α = 
 = soit α =   = 
Et β = f(
) = -3   + 2    + 2 soit β = -  +   +   = 
Le sommet S a donc pour coordonnées (
 ;   ).
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
×
×
×

Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction 3
b) Quelles sont les variations de f ?
Comme a < 0, la fonction est d’abord croissante, puis décroissante. Elle admet donc un maximum égale à 
pour x = 
. On a donc le tableau de variation suivant :
c) A l’aide de la calculatrice, on vérifie les résultats en traçant la courbe représentative de f avec une fenêtre
d’affichage réglée comme suit : Xmin = -1 ; Xmax = 2 ; Ymin = -4 ; Ymax = 3 (le maximum valant environ
2,33)
Exercice 2 : un autre exemple
Soit g la fonction définie par la relation : g(x) = −4x² + 4x − 1
a. Dresser le tableau de variation de la fonction g.
Ici les coefficients sont a = -4 ; b = 4 et c = -1
Comme a < 0, la fonction est d’abord croissante, puis décroissante.
Elle admet donc un maximum en α = 
 = soit α =   = 
Et ce maximum vaut β = g(
) = -4   + 4    - 1 soit β = -1 + 2 – 1 = 0
On a alors le tableau de variation suivant pour la fonction g
A l’aide de la calculatrice, on peut vérifier les résultats en traçant la courbe représentative de g avec une fenêtre
d’affichage réglée comme suit : Xmin = -1 ; Xmax = 2 ; Ymin = -6 ; Ymax = 1 (le maximum valant 0)
x
−
α = 
.
+
f(x) = -3x² + 2x + 2
β = 
x
−
α = 
.
+
g(x) = -4x² + 4x - 1
β = 0

Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction 4
b. Justifier que la fonction g s’annule en une unique valeur qu’on précisera.
La fonction g s’annule en une unique valeur x = 
. En effet, 0 correspond au maximum pour g et est obtenu
en une unique valeur de x. Cela correspond au sommet de la parabole S(
 ; 0).
On aurait pu aussi transformer l’expression de g(x) de la manière suivante afin de faire apparaître une
identité remarquable :
g(x) = -4(x² - x + 
) = -4(x -  )²
Et g(x) = 0  -4(x - 
)² = 0
g(x) = 0  (x - 
)² = 0
g(x) = 0  x - 
 = 0
g(x) = 0  x = 
La fonction g s’annule donc bien pour une unique valeur x = 
Exercice 3 : Forme canonique
On considère la fonction : f : x x²+4x+1 :
1. Etablir l’égalité : f(x) = (x + 2)² − 3
f(x) = x²+4x+1 = (x² + 4x + 4) – 4 + 1
f(x) = (x + 2)² - 4 + 1
f(x) = (x + 2)² - 3
2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]−∞ ; −2]
f(x) est mis sous la forme canonique au 1. Soit f(x) = (x – α)² + β avec donc α = -2 et β = -3
Comme a = 1 > 0, la fonction f est d’abord décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; −2].
b. Dresser, sans justification, son tableau de variation.
x
−
α = -2
+
f(x) = x² + 4x + 1
-3

Fonctions polynôme 2nd degré / Exercices entraînement - correction 5
c. Donner les caractéristiques de l’extremum de la fonction f.
La fonction f admet un minimum égal à -3 atteint en x = -2. Ceci correspond au sommet S(-2 ; -3) de la
parabole représentant S.
3. a. Compléter le tableau ci-dessous de valeurs de la fonction f : A l’aide des fonctionnalités de la
calculatrice on remplit rapidement le tableau de valeurs ci-dessous (réglage Start : -5 ; End : 1 et Step : 0,5)
x
-5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
1
f(x)
6
1
-0,75
-2
-2,75
-3
-2,75
-2
-0,75
1
6
On visualise bien dans ce tableau de valeur la symétrie par rapport à la valeur x = α = -2
b. Tracer la courbe représentative de f dans le repère ci-dessous.
Voir correction en page suivante…
L’axe de symétrie est la droite verticale d’équation x = -2