Déterminants de matrices tridiagonales

Déterminants de matrices tridiagonales
Si (un ) n1 ,(vn ) n2 ,(wn ) n2 sont des suites de nombres complexes, on pose :
 u1
w
 2
D0  1,T1  u1  et n  2,Tn   0


 0
0
u2 v3   
w3   0 ,Dn  det Tn .

   vn 
 0 wn un 
v2
0

1. Exprimer, pour n supérieur ou égal à 2, Dn en fonction de un, vn, wn, Dn-1, Dn-2.
2. Soit (an ) n2 et (bn ) n2 deux suites de nombres complexes, soit (qn ) nN et (Qn ) nN des
suites respectivement de nombres complexes et de polynômes vérifiant :
q0  1,n  2,qn  an qn1  bn qn 2 ,
x  C,n  2,Q0 ( x)  1,Q1 ( x)  x  a1 ,Qn ( x)  (an  x)Qn 1 ( x)  bnQn2 ( x).
a. Montrer qu'il existe une suite de matrices (Tn ) n1 telle que
n  2,qn  det Tn  Dn .
Cette suite est-elle unique? Peut-on choisir des matrices Tn symétriques complexes?
b. Soit n  1, montrer que (Q0 , Q1 ,, Qn1 ) est une base de l'espace vectoriel En-1 des
polynômes de degré au plus n-1.
On définit un endomorphisme Mn de En-1 en posant
XQk si k  n  1,
k  0,, n  1,M n (Qk )  
 anQn1  bnQn2 si k  n  1.
Exprimer Qn à l'aide du polynôme caractéristique de Mn.
3. Exemple. On définit des fonctions Cn et Sn par les formules
x   1,1,Cn ( x)  cos( nArc cos x), 1  x 2 S n ( x)  sin( nArc cos x).
Montrer que Cn et Sn sont des fonctions polynomiales qui vérifient une même relation de
récurrence à préciser. (on peut considérer, pour  réel, ei ( n 1)  ei ( n 1) )
4. On revient aux notations du début et on suppose que n  1,Dn  0.
 x1 (n) 
1
 x ( n) 
0


Soit Yn 
 M n ,1 (C) et X n   2   M n,1 (C) l' unique solution de
  



 
0
 xn (n)
Tn  X n  Yn .
Montrer qu'il existe une suite ( pn ) nN vérifiant la même relation de récurrence linéaire
p
que ( Dn ) nN et telle que n  1,x1 (n)  n .
Dn
Commentaire
 Ce texte permet d'interpréter le numérateur et le dénominateur d'une réduite de fraction
continue comme un déterminant (voir Fractions continues : cas général (niveau 1)). La partie
Quelques propriétés des matrices complexes (niveau 1) assure alors, dans certains cas, la non
nullité des dénominateurs c'est à dire la régularité de la fraction. Sur ce thème on peut voir
aussi Matrices tridiagonales symétriques définies positives (niveau 1).
 Dans Polynômes orthogonaux : introduction (niveau 1), on montre que toutes les suites de
polynômes orthogonaux vérifient des relations de récurrence linéaire. A ces relations sont
associées des Fractions de Tchébychev (niveau 2). Les polynômes de la question 3. sont deux
à deux orthogonaux au sens suivant :
1

dx
C p  Cq   C p ( x)Cq ( x)
  cos pt cos qtdt  0 si p  q.
1
0
1 x2
Ce sont en fait des polynômes de Tchébychev de deuxième espèce (voir les commentaires de
Propriétés des polynômes classiques (niveau 2) pour la nomenclature).
 La question 4. associe une équation linéaire (dans un espace de dimension infinie) à une
fraction continue. Poursuivre dans cette voie nécessite des outils non élémentaires d'analyse
(voir [Wal]) ou d'algèbre (nombres p-adiques, [Cas]).
Solution
1.
On trouve, en développant suivant la dernière colonne :
n  3,Dn  un Dn1  vn wn Dn2 .
Comme D2  u1u 2  v2 w2 , D0  1, D1  u1 , la formule est encore valable pour n  2 .
2.a. Si (a n ) n2 et (bn ) n2 sont fixées, il existe (u n ) n2 , (vn ) n2 , (wn ) n2 , telles que :
n  2, u n  an ,  vn wn  bn .
Donnons à u1 une valeur arbitraire. La suite ( Dn ) nN est alors bien définie et vérifie la même
relation de récurrence que (qn ) nN . Ces deux suites sont égales lorsqu'elles coïncident sur
leurs deux premiers termes. Comme q0  1 , il suffit de choisir u1  q1 .
Ainsi, il existe une seule suite (un ) n1 mais une infinité de suites (vn ) n2 et (wn ) n2 .
Si n est un nombre complexe tel que  n  bn , on peut choisir n  2,vn  wn   n .
La matrice Tn est alors symétrique complexe.
2
b.
Comme Q0 est de degré 0 et Q1 de degré 1, chaque Qk est de degré k. La famille
(Q0 , Q1 , , Qn 1 ) est donc une base de En-1. La matrice de Mn dans cette base est :
0
 a1  b2
 1 a b
2
3

 0
1




 
 0

0
Le polynôme caractéristique Kn de Mnest alors :
0 

 
 0 .

  bn 
1  an 

 a1  x
K n ( x) 
1
0
 b2

0
 a2  x  b3 
1
 

0
0
a1  x
 (1)
n
1
0
b2
0

a2  x b3 
1  




 bn


 
0

0
1
 an  x
0

0
0

0 .
bn
 1 an  x
D'après la question 1., si on pose K 0 ( x)  1 , la suite ( K n ) nN vérifie la même relation de
récurrence que (Qn ) nN avec les mêmes conditions initiales. On en déduit
n  N,Qn  (1) n K n .
3.
Utilisons l'indication de l'énoncé :
  R,ei ( n1)  ei ( n1)  ein (e i  ei )  ein 2 cos .
En posant   Arc cos x et en prenant les parties réelles et imaginaires, il vient
Cn 1 ( x)  Cn 1 ( x)  2 xCn ( x), 1  x 2 S n 1 ( x)  1  x 2 S n 1 ( x)  2 x 1  x 2 S n ( x).
Comme on peut simplifier par 1  x 2 , les suites de fonctions (Cn ) nN et ( S n ) nN vérifient la
même relation de récurrence (à coefficients constants)
n  2,x   1,1,Qn ( x)  2 xQn1 ( x)  Qn2 ( x).
De plus, C0 ( x)  1,C1 ( x)  x,S0 ( x)  0,S1 ( x)  1 , donc les fonctions Cn et Sn sont aussi
polynomiales (récurrence évidente).
4.
D'après les formules de Cramer :
1
v2
0

0
0 u2 v3  
p
1
n  1,x1 (n) 
0 w3   0  n .
Dn
Dn
    vn
0 
0
wn
un
Posons an  u n , bn  vn wn pour tout n  2 . La suite ( pn ) n1 vérifie la même relation
pn  an pn1  bn pn2 que ( Dn ) n , mais seulement pour n  3 .
Comme p1  1, p2  u2  a2 , il suffit de poser p0  0 pour que la relation soit encore valable
lorsque n  2 .