Déterminants de matrices tridiagonales

Déterminants de matrices tridiagonales
Si
221 )(,)(,)(  nnnnnn wvu
sont des suites de nombres complexes, on pose :
.det,
00
00
00
,2et ,1 3
322
21
110 nn
nn
n
nTD
uw
v
w
vuw
vu
TnuTD 
1. Exprimer, pour n supérieur ou égal à 2, Dn en fonction de un, vn, wn, Dn-1, Dn-2.
2. Soit
22 )(et )(  nnnn ba
deux suites de nombres complexes, soit
Nnn
q)(
et
Nnn
Q)(
des
suites respectivement de nombres complexes et de polynômes vérifiant :
).()()()(,)(,1)(,2,
,,2,1
21110
210 xQbxQxaxQaxxQxQnx
qbqaqnq
nnnnn
nnnnn
C
a. Montrer qu'il existe une suite de matrices
1
)( nn T
telle que
.det,2 nnn DTqn 
Cette suite est-elle unique? Peut-on choisir des matrices Tn symétriques complexes?
b. Soit
1n
, montrer que
),,,( 110 n QQQ 
est une base de l'espace vectoriel En-1 des
polynômes de degré au plus n-1.
On définit un endomorphisme Mn de En-1 en posant
 .1 si
,1 si X
)(M,1,,0
21 nkQbQa
nkQ
Qnk
nnnn
k
kn
Exprimer Qn à l'aide du polynôme caractéristique de Mn.
3. Exemple. On définit des fonctions Cn et Sn par les formules
).cosArcsin()(1),cosArccos()(,1,1 2xnxSxxnxCx nn 
Montrer que Cn et Sn sont des fonctions polynomiales qui vérifient une même relation de
récurrence à préciser. (on peut considérer, pour
réel,
)1()1(  nini ee
)
4. On revient aux notations du début et on suppose que
.0,1  n Dn
desolution uniquel' )(M
)(
)(
)(
et )(M
0
0
1
Soit 1,
2
1
1, CC n
n
nnn
nx
nx
nx
XY 
.
nnn YXT 
Montrer qu'il existe une suite
Nnn
p)(
vérifiant la même relation de récurrence linéaire
que
Nnn
D)(
et telle que
.)(,1 1n
n
D
p
nxn 
C
Co om mm me en nt ta ai ir re e

 Ce texte permet d'interpréter le numérateur et le dénominateur d'une réduite de fraction
continue comme un déterminant (voir Fractions continues : cas général (niveau 1)). La partie
Quelques propriétés des matrices complexes (niveau 1) assure alors, dans certains cas, la non
nullité des dénominateurs c'est à dire la régularité de la fraction. Sur ce thème on peut voir
aussi Matrices tridiagonales symétriques définies positives (niveau 1).
 Dans Polynômes orthogonaux : introduction (niveau 1), on montre que toutes les suites de
polynômes orthogonaux vérifient des relations de récurrence linéaire. A ces relations sont
associées des Fractions de Tchébychev (niveau 2). Les polynômes de la question 3. sont deux
à deux orthogonaux au sens suivant :
. si 0coscos
1
)()( 0
2
1
1qpqtdtpt
x
dx
xCxCCC qpqp 
Ce sont en fait des polynômes de Tchébychev de deuxième espèce (voir les commentaires de
Propriétés des polynômes classiques (niveau 2) pour la nomenclature).
 La question 4. associe une équation linéaire (dans un espace de dimension infinie) à une
fraction continue. Poursuivre dans cette voie nécessite des outils non élémentaires d'analyse
(voir [Wal]) ou d'algèbre (nombres p-adiques, [Cas]).
S
So ol lu ut ti io on n
1. On trouve, en développant suivant la dernière colonne :
.,3 21   nnnnnn DwvDuDn
Comme
,,1, 11022212 uDDwvuuD 
la formule est encore valable pour
2n
.
2.a. Si
2
)( nn a
et
2
)( nn b
sont fixées, il existe
,)(,)(,)( 222  nnnnnn wvu
telles que :
.,,2 nnnnn bwvaun 
Donnons à u1 une valeur arbitraire. La suite
Nnn
D)(
est alors bien définie et vérifie la même
relation de récurrence que
Nnn
q)(
. Ces deux suites sont égales lorsqu'elles coïncident sur
leurs deux premiers termes. Comme
1
0q
, il suffit de choisir
11 qu 
.
Ainsi, il existe une seule suite
1
)( nn u
mais une infinité de suites
22 )(et )(  nnnn wv
.
Si
n est un nombre complexe tel que
nn b
2
, on peut choisir
.,2 nnn wvn
La matrice Tn est alors symétrique complexe.
b. Comme Q0 est de degré 0 et Q1 de degré 1, chaque Qk est de degré k. La famille
( , , , )Q Q Qn0 1 1
est donc une base de En-1. La matrice de Mn dans cette base est :
.
100
010
1
00
32
21
n
n
a
b
ba
ba
Le polynôme caractéristique Kn de Mnest alors :

.
100
010
1
00
)1(
100
010
1
00
)( 32
21
32
21
xa
b
bxa
bxa
xa
b
bxa
bxa
xK
n
n
n
n
n
n
D'après la question 1., si on pose
1)(
0xK
, la suite
Nnn
K)(
vérifie la même relation de
récurrence que
Nnn
Q)(
avec les mêmes conditions initiales. On en déduit
.)1(, n
n
nKQn  N
3. Utilisons l'indication de l'énoncé :
.cos2)(, )1()1(
iniiinnini eeeeee  
R
En posant
xcosArc
et en prenant les parties réelles et imaginaires, il vient
).(12)(1)(1),(2)()( 2
1
2
1
2
11 xSxxxSxxSxxCxxCxC nnnnnn  
Comme on peut simplifier par
2
1x
, les suites de fonctions
NN  nnnn SC )(et )(
vérifient la
même relation de récurrence (à coefficients constants)
).()(2)(,1,1,2 21 xQxQxxQxn nnn  
De plus,
1)(,0)(,)(,1)( 1010  xSxSxxCxC
, donc les fonctions Cn et Sn sont aussi
polynomiales (récurrence évidente).
4. D'après les formules de Cramer :
.
00
00
0
001
1
)(,1 3
32
2
1n
n
nn
n
nD
p
uw
v
w
vu
v
D
nxn 
Posons
nnnnn wvbua  ,
pour tout
2n
. La suite
1
)( nn p
vérifie la même relation
21   nnnnn pbpap
que
nn
D)(
, mais seulement pour
3n
.
Comme
2221 ,1 aupp 
, il suffit de poser
0
0p
pour que la relation soit encore valable
lorsque
2n
.