Bac blanc n°2 - j.galtier

Classe de terminale S2
Bac blanc du 8 avril 2005
Exercice 1 (Bac S, septembre 2004, national, 4 points)
1. Soit g la fonction définie sur ] 1 ; + [ par
2
1
() ( 1) gx xx
.
a) Déterminer les nombres réels a, b, c tels que l’on ait, pour tout
réel x > 1 :
() 11
a b c
gx x x x
.
b) Trouver une primitive G de g sur ] 1 ; + [
2. Soit f la fonction définie sur ] 1 ; + [ par
22
2
() ( 1)
x
fx x
.
Trouver une primitive F de f sur ]1 ; + [.
3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer
3
22
2
2ln
( 1)
x
I xdx
x
.
On donnera le résultat exact sous la forme
ln2 ln3I p q
, avec p
et q rationnels.
Exercice 2 (d’après Bac S, septembre 2004, national, 5 points)
Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules, 75%
de particules A, et 25% de particules B. Les particules sont projetées
sur une cible formée de deux compartiments K1 et K2. Une particule au
hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la probabilité
1
3
et dans K2 avec la probabilité
2
3
. Une particule au hasard parmi les
particules de type B entre dans chacun des compartiments avec la
probabilité
1
2
.
1. Soit une particule au hasard. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
A1 : la particule est de type A et elle entre dans le compartiment K1
A2 : la particule est de type A et elle entre dans le compartiment K2
B1 : la particule est de type B et elle entre dans le compartiment K1
B2 : la particule est de type B et elle entre dans le compartiment K2
C1 : la particule entre dans le compartiment K1
C2 : la particule entre dans le compartiment K2
2. On projette 5 particules successivement sur la cible, da façon
indépendante. On admet que le nombre de particules est
suffisamment grand pour que les proportions 75% et 25% restent
constantes au cours de l’expérience. Déterminer la probabilité de
l’événement « il y a au moins une particule dans K2 ».
3. Dans cette question, on ne connaît pas la proportion de particules de
chaque sorte, on appelle p la probabilité qu’une particule soit de
type A.
a) Quelle est la probabilité qu’elle soit de type B ?
b) Exprimer en fonction de p les probabilités des événements C1 et
C2.
c) En déduire un protocole permettant de déterminer la valeur de p.
Exercice 3 (bac S, Polynésie, septembre 2004, 6 points)
La courbe  ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f
définie sur
0;
par
ln
( ) 1
x
f x x
x
.
1. a) Montrer que f est dérivable, et que pour tout réel strictement
positif x, f ’(x) est du signe de
( ) 2( 1) lnN x x x x
.
b) Calculer N(1) et déterminer le signe de N(x) en distinguant les
cas
01x
et x > 1.
c) En déduire le ses de variation de f et les coordonnées du point de
 d’ordonnée maximale.
2. On note, pour tout réel a de l’intervalle ]0 ; 1[, (a) l’aire,
exprimée en unités d’aire, du domaine grisé.

a
a) Exprimer (a) en fonction de a (on pourra employer une
intégration par parties).
b) Calculer la limite de (a) quand a tend vers 0. Donner une
interprétation géométrique de cette limite.
3. On définit maintenant une suite
nn
u¥
par son premier terme u0
élément de ]1 ; 2[ et, pour tout entier naturel n,
1ln( ) 1
n
n
n
u
uu
.
a) Démontrer que, pour tout réel x appartenant à ]1 ; 2[,
ln
01
x
x
.
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un
appartient à ]1 ; 2[.
4. En remarquant que, pour tout entier n,
1() n n n
u u f u
, déterminer
le sens de variation de la suite (un). En déduire que la suite (un)
admet une limite l.
5. Quelle est la valeur de l ?
Exercice 4 (Bac S, Inde 2005, 5 points )
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal
( , , )O u v
rr
. On
désigne par I le point d’affixe
1
I
z
, par A le point d’affixe
12
A
zi 
, par B le point d’affixe
22
B
zi  
et par  le cercle de
diamètre [AB].
On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure, en prenant
2cm pour unité.
1. Déterminer le centre du cercle  et calculer son rayon.
2. Soit D le point d’affixe
39
42
Di
zi
. Ecrire
D
z
sous forme
algébrique et montrer que D est un point du cercle .
3. Sur le cercle , on considère le point E d’affixe
E
z
tel que
,4 IE
uur uuur
.
a) Préciser le module et un argument de
1
2
E
z
.
b) En déduire que
5 2 2 5 2
44
E
zi
.
4. Soit r l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M
d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que
4
11
'22
i
z e z
.
a) Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.
b) Soit K le point d’affixe
2
K
z
. Déterminer par le calcul l’image
de K par r. Comment peut-on retrouver géométriquement ce
résultat ?