Classe de terminale S2 Bac blanc du 8 avril 2005 Exercice 1 (Bac S, septembre 2004, national, 4 points) 1. Soit g la fonction définie sur ] 1 ; + [ par g ( x) 1 . x( x 2 1) a) Déterminer les nombres réels a, b, c tels que l’on ait, pour tout réel x > 1 : a b c g ( x) . x x 1 x 1 b) Trouver une primitive G de g sur ] 1 ; + [ 2x 2. Soit f la fonction définie sur ] 1 ; + [ par f ( x) 2 . ( x 1) 2 Trouver une primitive F de f sur ]1 ; + [. 3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer 3 2x I 2 ln xdx . 2 ( x 1) 2 On donnera le résultat exact sous la forme I p ln 2 q ln 3 , avec p et q rationnels. Exercice 2 (d’après Bac S, septembre 2004, national, 5 points) Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules, 75% de particules A, et 25% de particules B. Les particules sont projetées sur une cible formée de deux compartiments K1 et K2. Une particule au hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la probabilité 1 2 et dans K2 avec la probabilité . Une particule au hasard parmi les 3 3 particules de type B entre dans chacun des compartiments avec la 1 probabilité . 2 1. Soit une particule au hasard. Déterminer la probabilité des événements suivants : A1 : la particule est de type A et elle entre dans le compartiment K1 A2 : la particule est de type A et elle entre dans le compartiment K2 B1 : la particule est de type B et elle entre dans le compartiment K1 B2 : la particule est de type B et elle entre dans le compartiment K2 C1 : la particule entre dans le compartiment K1 C2 : la particule entre dans le compartiment K2 2. On projette 5 particules successivement sur la cible, da façon indépendante. On admet que le nombre de particules est suffisamment grand pour que les proportions 75% et 25% restent constantes au cours de l’expérience. Déterminer la probabilité de l’événement « il y a au moins une particule dans K2 ». 3. Dans cette question, on ne connaît pas la proportion de particules de chaque sorte, on appelle p la probabilité qu’une particule soit de type A. a) Quelle est la probabilité qu’elle soit de type B ? b) Exprimer en fonction de p les probabilités des événements C1 et C2 . c) En déduire un protocole permettant de déterminer la valeur de p. Exercice 3 (bac S, Polynésie, septembre 2004, 6 points) La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f ln x définie sur 0 ; par f ( x) 1 x . x 1. a) Montrer que f est dérivable, et que pour tout réel strictement positif x, f ’(x) est du signe de N ( x) 2( x x 1) ln x . b) Calculer N(1) et déterminer le signe de N(x) en distinguant les cas 0 x 1 et x > 1. c) En déduire le ses de variation de f et les coordonnées du point de d’ordonnée maximale. 2. On note, pour tout réel a de l’intervalle ]0 ; 1[, (a) l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine grisé. 4. En remarquant que, pour tout entier n, un1 un f (un ) , déterminer le sens de variation de la suite (un). En déduire que la suite (un) admet une limite l. 5. Quelle est la valeur de l ? a Exercice 4 (Bac S, Inde 2005, 5 points ) r r Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) . On désigne par I le point d’affixe zI 1 , par A le point d’affixe zA 1 2i , par B le point d’affixe zB 2 2i et par le cercle de diamètre [AB]. On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure, en prenant 2cm pour unité. 1. Déterminer le centre du cercle et calculer son rayon. 3 9i 2. Soit D le point d’affixe z D . Ecrire zD sous forme 4 2i algébrique et montrer que D est un point du cercle . 3. Sur le cercle , on considère le point E d’affixe z E tel que uur uuur I , E . 4 1 a) Préciser le module et un argument de z E . 2 5 2 2 5 2 i. b) En déduire que z E 4 4 4. Soit r l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M i 1 1 d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z ' e 4 z . 2 2 a) Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques. b) Soit K le point d’affixe zK 2 . Déterminer par le calcul l’image de K par r. Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ? a) Exprimer (a) en fonction de a (on pourra employer une intégration par parties). b) Calculer la limite de (a) quand a tend vers 0. Donner une interprétation géométrique de cette limite. 3. On définit maintenant une suite un n¥ par son premier terme u0 élément de ]1 ; 2[ et, pour tout entier naturel n, un 1 ln(un ) 1 . un ln x 1. x b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à ]1 ; 2[. a) Démontrer que, pour tout réel x appartenant à ]1 ; 2[, 0