faculté des arts et des sciences – département de physique

FACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCES – DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
SIGLE DU COURS : PHY 2441
PROFESSEUR : Richard Leonelli
TITRE DU COURS : Optique et ondes électromagnétiques
EXAMEN INTRA :
DATE : 23 octobre 2002
HEURE : 9h30 – 11h20
SALLE : Z-255
DIRECTIVES PÉDAGOGIQUES : Aucune documentation permise.
Répondre à toutes les questions.
L’usage d’une calculatrice est autorisé.
QUESTION 1 (25 points)
R
Soit un cylindre diélectrique sans charges libres, de rayon R et de
longueur h  R . Ce cylindre est polarisé uniformément le long de son axe :
P  P0 zˆ
h
P
a) Que valent les densité de charges de polarisation de volume et de
surface?
b) Donnez une expression pour le champ électrique loin du cylindre.
c)
Explicitez les conditions de continuité pour E et D sur chacune des surfaces du cylindre.
d) Esquissez le tracé des lignes de champ de E et D à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre.
QUESTION 2 (25 points)
I
ẑ
Un courant I parcourt un long cylindre de rayon R fait d’un matériau magnétique linéaire de perméabilité
relative r . Ce courant est distribué uniformément sur la section du cylindre et ne varie pas dans le temps.


a) Calculez les densités de courant libre J l et d’aimantation J a .

b) Calculez l’aimantation M du cylindre.

c) Calculez la densité de courant de surface K a et le courant d’aimantation total Ia.


d) Calculez H et B en fonction de s , la distance à l’axe du cylindre, pour s  R et s  R .
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.
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QUESTION 3 (25 points)
À partir des équations de Maxwell relatives à des champs et des charges dans le vide, obtenez les deux
équations couplées que doivent satisfaire les potentiels V et A .
QUESTION 4 (25 points)
Soit un dipôle électrique oscillant dans le vide : p  t   p0eit zˆ . Ce dipôle émet un rayonnement
électromagnétique décrit, dans la jauge de Lorentz, par le potentiel vecteur
Ar , t  
A0
  r 
exp i  t    zˆ .
r
  c 
a) Trouvez une expression pour le champ magnétique B associé à ce rayonnement (truc : utilisez les
coordonnées sphériques).
b) À partir des équations de Maxwell, déduisez-en une expression pour le champ électrique E .
c) Vérifiez que E et B satisfont à toutes les équations de Maxwell.
Signatures :
Le professeur : _________________________
Le directeur : _________________________
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Formules supplémentaires.
E (r ) 
1
4 0
dipôle :

 (r )rˆ
V (r ) 
r
2
d  ; V (r ) 
1
4 0
 (r )

r
d  ;
p  rˆ
1
p
; E (r ) 
3( p  rˆ)rˆ  p  
(2 cos  rˆ  sin  ˆ) si p  pzˆ
2
3 
4 0 r
4 0 r
4 0 r 3
1
Polarisation :  p  P  nˆ ;  p    P ;    p  l .
 0 I dl   rˆ
 J (r )
; A 0 
d  ;
2

4
r
4
r
 m  rˆ

m
dipôle : A  0 2 ; B(r )  0 3 3(m  rˆ)rˆ  m   0 3 (2 cos  rˆ  sin  ˆ) si m  mzˆ.
4 r
4 r
4 r
B
0
4
J (r )  rˆ
 r
2
d  
Aimantation : J a    M ;
K a  M  nˆ .
Conditions aux frontières : E2  E1  
 0 ; E2 //  E1//  0 ;
D2  D1   l ; D2 //  D1//  P2 //  P1// ;
B2  B1  0 ; B2 //  B1//  0 K  nˆ ;
H 2  H1  ( M 2  M 1 ) ; H 2 //  H1//  K l  nˆ ;
Équation de continuité :   J  
u

. Théorème de Poynting :   S   EM  J  E .
t
t
V
 0 . Jauge de Coulomb :   A  0 .
t
c ˆ
n ˆ
ck
; H
kE 
k  E;  
; Z 0  377  .
n
Z0 r
n
Jauge de Lorentz :   A   0  0
OEM : E (r , t )  E0ei ( t  k r )
2
1
 uEM   E0 ;
2
 S 
c
2n
2
E0 kˆ .
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