Polynômes de Legendre : récurrence linéaire

Polynômes de Legendre : récurrence linéaire
On utilise ici les résultats et les notations de Polynômes orthogonaux : introduction.
L'espace vectoriel E des polynômes à coefficients réels est muni du produit scalaire défini
par:
.P(t)Q(t)QP : Q)(P, 1
1
 dtE
On désigne par
Nnn )L(
la suite de polynômes orthogonaux tels que
1)1(L 
n
.
D'après la question 5.a. de Polynômes orthogonaux : introduction, la suite
Nnn )L(
vérifie une
relation de récurrence. On se propose de calculer les coefficients
nnn
,,
qui figurent
dans cette relation.
1. Calculer cn pour tout entier n.
2. Montrer que
).(L)1()(L , xxn n
n
n N
3. Montrer que
0
n
pour tout n (prendre la valeur en
1
et en 1).
4. Exprimer
n en fonction de
22
1-1 L,L,, nnnn
(
n est le coefficient dominant de Ln).
Exprimer
. deet defonction en 1nnn
5. En considérant
1
LL 
nn
, montrer que
2L 2
1
1
n
n
n
n
.
6. Montrer que
12 1
L2 n
n
. Préciser les valeurs de
n et de n en fonction de n.
7. Préciser la relation de récurrence vérifiée par la suite
Nnn )(Q
des polynômes
orthogonaux unitaires (de coefficients dominants égaux à 1).
C
Co om mm me en nt ta ai ir re es s
 Avec cette relation de récurrence, on peut former des Fractions de Tchébychev (niveau 2).
 On peut aussi rapprocher ce texte de Polynômes de Laguerre : récurrence linéaire
(niveau 2)
 Dans Polynômes de Legendre : convergence simple (niveau 2), on étudie la convergence
de la suite des Ln(x) lorsque x est un nombre complexe qui n'est pas dans le segment [0,1].
S
So ol lu ut ti io on n
1. Un calcul immédiat d'intégrale conduit à
impair.est si 0
pair.est si
1
2
n
n
n
cn
2. Posons
)(L)(S xx nn 
. Le changement de variable
xy 
dans l'intégrale définissant
qp SS 
montre que les polynômes Sn forment une suite orthogonale.
On en déduit que Sn ne diffère de Ln que par un coefficient multiplicatif. La comparaison des
coefficients dominants conduit à la formule de l'énoncé.

3. D'après 2.,
n
n)1()1(L 
. La relation de récurrence
11 LLLLX   nnnnnnn
conduit à
,1et 1nnnnnn
lorsqu'on la considère respectivement en 1 et en
1
, d'où la valeur de
n.
4. Comme le degré de XLn-1 est n avec un coefficient dominant
n-1, on peut écrire :
n
n
n
nLXL 1 1
polynôme de degré < n,
.
L
L
L
LXL
,LLLXLLLXL 2
1
2
1
2
1
1
2
11-
11
nn
nn
n
nn
nn
n
n
n
n
n
nnnnn
De même,
1
1
LXL n
n
n
n
polynôme de degré < n+1 , d'où :
.
L
LXL
1
2
1
1
n
n
n
nn
n
5. Comme
1)1(L)1(L 1 nn
et
0LL 1 nn
, une intégration par parties conduit à
.2LL 1 nn
D'autre part,
n
n
n
nnXL
1
polynôme de degré
1 n
donc
.LLL 2
1
1
1
n
n
n
nn n
6. La relation de récurrence, prise en 1, avec les expressions trouvées pour
nnn
,,
donne :
,L
21
et
2
L
avec
L
L
12
1
2
1
1
1
2
1
2
1n
n
n
nn
n
n
n
nn
nn nn 
d'où
.
12 2
L ,L
21
L
2
1222  n
nn nnn
Ensuite
n
n
nn
n
n12
L
22
1
1
et enfin :
.
12 1
,
1+212 2 2
=
1
n
n
nn n
n
n
n
nn
On obtient finalement :
,L
12 1
L
12
XL 11   nnn n
n
nn
ou encore :
.L
1
LX
12
L21  nnn n
n
n
n
7. Notons dn le coefficient dominant de Ln, nous avons alors :
.
)12)(32( )1(
,
12
,QL 2
1 nn nn
d
d
d
n
n
dd
n
n
nnnnn

On en déduit
,Q
1
QX
12
Q2211  nnnnnn d
n
n
d
n
n
d
puis :
.Q
)32)(12( )1(
XQQ,2 2
2
1 
 nnn nn n n