Programmes de calcul – Equations

Programmes de calcul – Equations
Exercice 1 :
1°) On choisit 5.
2°) On choisit -2.
On soustrait 7 : 5 – 7 = - 2
On ajoute 8 : - 2 + 8 = 6
Carré du résultat : (- 2)² = 4
Carré du résultat : 6² = 36
3°) a) Le résultat du programme A est : ( x + 8)²
On doit donc résoudre l'équation : (x + 8)² = 0 soit x + 8 = 0
La solution est -8.
b) Le résultat du programme B est : (x – 7)²
On doit résoudre l'équation : (x – 7)² = 9 alors
x–7=3
ou x – 7 = -3
x = 10
x=4
Les solutions sont 4 et 10.
4°) Il faut résoudre l'équation : (x + 8)² = (x – 7)²
Soit les nombres sont égaux et on résout : x + 8 = x – 7
8 = -7 c'est impossible.
Soit les nombres sont opposés et on résout : x + 8 = - x + 7
2x = -1
x = - 0,5
La solution est – 0,5.
Exercice 2 :
1°) On choisit 2. Le carré de 2 est 4. 4 x 10 = 40. 40 +25 = 65.
2°) On choisit 2 . Son carré est 2. 2 x 10 = 20. 20 + 25 = 45.
3°) Quand on multiplie un nombre par 10, le résultat est pair.
La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire.
Le résultat sera toujours un nombre impair que le nombre choisi au départ
soit pair ou impair.
4°) Le carré d'un nombre est toujours positif.
Si on multiplie un nombre positif par 10, le résultat est positif.
Si on ajoute 25 à un nombre positif, le résultat est positif.
Par conséquent, quel que soit le signe du nombre de départ, le résulta est
positif .
Exercice 3 :
Soit x le nombre choisi.
On doit résoudre l'équation : x – 3 = x/3
On multiplie les 2 membres par 3, on obtient : 3x – 9 = x
2x = 9
x = 4,5.
Le nombre de départ doit être 4,5. 4,5 – 3 = 1,5 et 4,5 / 3 = 1,5.
Exercice 4 :
1°) On choisit 3. 3 x 5 = 15. 15 – 4 = 11. 11 x 2 = 22.
2°) On choisit -2. – 2 x 3 = -6. -6 + 7 = 1.
3°) a) Le résultat du programme A est : 3x + 7.
On doit résoudre l'équation : 3x + 7 = -2
3x = -9
x = -3.
b) Le résultat du programme B est : 2(5x -4)
On doit résoudre l'équation : 2(5x – 4) = 0 soit
5x – 4 = 0
5x = 4
x = 4/5 = 0,8
4°) On doit résoudre l'équation : 3x + 7 = 2(5x -4)
3x + 7 = 10x -8
15 = 7x
x = 15/7
Exercice 1 (bis) :
1°) a) On choisit 1. 1 + 1 = 2. 2² = 4. 4 – 1² = 4 - 1 = 3.
b) On choisit 2. 2 + 1 = 3. 3² = 9. 9 – 2² = 9 - 4 = 5.
c) On choisit x. Le résultat est : (x + 1)² - x²
2°) P = (x + 1)² - x² = x² + 2x + 1 – x² = 2x + 1.
3°) On doit résoudre l'équation : (x + 1)² - x² = 15 soit 2x + 1 = 15
2x = 14
x = 7.
Exercice 2 (bis) :
1°) a) On choisit 1,2. 1,2 x 4 = 4,8. 4,8 + 6 = 10,8. Le résultat est 10,8.
b) On choisit x. Le résultat est : 4x + 6.
2°) On doit résoudre l'équation : 4x + 6 = 15
4x = 9
x = 9/4 = 2,25
Problème :
Partie A :
1°) ABC est rectangle en A. D'apreès le théorème de Pythagore, on a :
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 alors BC = 5 cm.
2°) Un quadrilatère qui possède 3 angles droits est un rectangle.
APMQ possède 3 angles droits alors APMQ est un rectangle.
3°) APMQ est un rectangle donc ses côtés opposés sont parallèles, ce qui
prouve que les droites (MP) et (AC) sont parallèles.
Les droites (PA) et (MC) sont sécantes en B et les droites (PM) et (AC) sont
parallèles donc d'après le théorème de Thalès on peut dire que :
BP BM MP


.
3
5
4
Partie B :
On suppose que BM = 2 cm.
BP BM MP
BP 2 MP


 
1°) On sait déjà que :
alors on a :
.
3
5
4
3
5
4
3 2 6
4 2 8
  1,2 cm et MP 
  1,6 cm.
Ce qui donne : BP 
5
5
5
5
Alors AP = BA – BP donc AP = 3 – 1,2
AP = 1,8 cm.
2°) On appelle A l'aire du rectangle APMQ.
Alors A = PM x PA = 1,6 x 1,8 = 2,88 cm².
Partie C :
On suppose que BM  x avec 0  x  5 .
BP BM MP
BP x MP


 
1°) On sait déjà que :
alors on a :
.
3
5
4
3
5
4
3  x 3x
4  x 4x

 0,6 x cm et MP 

 0,8 x cm.
Ce qui donne : BP 
5
5
5
5
2°) Alors AP = BA – BP donc AP = 3 – 0,6 x cm.
3°) APMQ est un carré si AP = PM donc si : 3 – 0,6 x = 0,8 x
3 = 1,4 x
3 15
x

1,4 7
15
cm ( 2,1 cm) alors APMQ est un carré.
7
4°) A(x)  AP  PM  3  0,6 x  0,8x  2,4 x  0,48 x² On a bien A(x)  2,4 x  0,48 x²
Si x 
5°)
a) L'aire de APMQ est égale à 1 cm²
pour x  0,45 cm et x  4,55 cm.
b) L'aire de APMQ est maximale pour
x  2,5 cm.