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Circuits Magnétiques Table des matières 1 2 3 Introduction générale ........................................................................................................... 2 Pré-requis : fiche de synthèse .............................................................................................. 2 Circulation du vecteur H et flux du vecteur B ................... Error! Bookmark not defined. 3.1 Champ magnétique et machines électriques ............... Error! Bookmark not defined. 3.2 Quelques rappels de géométrie : ................................. Error! Bookmark not defined. 3.3 Circulation du vecteur excitation magnétique le long d’une courbeError! Bookmark not defined. 3.4 Flux du vecteur champ magnétique B à travers une surfaceError! Bookmark not defined. 3.5 Tube de flux du champ magnétique ............................ Error! Bookmark not defined. 4 Lois fondamentales de la magnétostatique .......................................................................... 4 5 Circuits magnétiques ......................................................... Error! Bookmark not defined. 6 Inductances et Mutuelles ................................................... Error! Bookmark not defined. INP Toulouse 840907578 Page 1 sur 13 1 Introduction générale Les machines électriques sont des convertisseurs d’énergie. Ils convertissent l’énergie électrique en une autre énergie ou inversement. Les phénomènes physiques principaux intervenant dans une machine électrique sont principalement les phénomènes électriques et les phénomènes magnétiques. Les phénomènes électriques sont généralement étudiés par des modèles de circuits électriques faisant intervenir des constantes localisées comme les résistances, les inductances ou mutuelles. Les phénomènes magnétiques sont régis par les équations de Maxwell et des lois de comportement des matériaux vis-à-vis du champ magnétique. Ce cours fait le lien entre ces deux types de phénomène. On va d’abord étudier le comportement du champ magnétique. Cette étude fait intervenir deux notions fondamentales très utilisées en électrotechnique : la circulation du vecteur excitation magnétique ; le flux du vecteur champ magnétique. Ces notions sont à la base des deux lois fondamentales en magnétostatique : Le théorème d’Ampère ; La loi de conservation du flux magnétique. Ces deux lois sont vues sous leurs formes intégrales qui sont équivalentes à leurs locales vues dans le cours d’électromagnétisme (rot H = J et div B = 0). Cette étude est illustrée par de nombreux exemples et exercices sur des structures très simples : le champ magnétique terrestre, le champ d’un fil très long, le champ d’un solénoïde ou d’une bobine torique. Dans ces exemples, on cherche surtout à calculer des circulations, des flux ou à appliquer le théorème d’Ampère et la loi de conservation du flux. On n’étudie la manière de calculer la distribution du champ, celle-ci est une donnée qu’on utilise. Cette étude des lois intégrales de la magnétostatique va permettre ensuite de mettre au point une méthode de calcul du champ magnétique basée sur la notion de reluctance et la notion de force magnéto motrice: la méthode des circuits magnétiques. L’analogie avec les circuits électriques est montrée. L’utilisation, généralisée en électrotechnique, des matériaux magnétiques à forte perméabilité rend cette méthode très utile et très pratique à utiliser pour calculer la répartition du flux magnétique dans une machine électrique comme un transformateur ou une machine tournante. Enfin, la méthode des circuits magnétiques est utilisée pour calculer les inductances et les mutuelles des bobines d’une machine électrique. Cette méthode permet de lier ces paramètres aux dimensions des bobines et des parties magnétiques. C’est donc une véritable initiation aux dimensionnement des machines qui est proposée. 2 Pré-requis : fiche de synthèse Dans la première partie du cours, l’acquisition des notions de circulation et de flux qui sont très utiles non seulement pour comprendre la mise au point de la méthode des circuits magnétiques mais plus tard pour comprendre d’autres méthodes de calcul, exige quelques notions élémentaires de géométrie notamment le produit scalaire et le produit vectoriel. Ce dernier sert surtout de manière qualitative pour appliquer la règle du tire-bouchon très utilisée par les électrotechniciens. Comme nous étudions surtout la forme intégrale des lois de la magnétostatique, il est utile d’avoir quelques notions sur le calcul des intégrales simples, doubles. En électromagnétisme, la connaissance de la distribution du champ dans quelques systèmes simples est utile. Nous rappelons cette distribution pour les exemples traités mais nous ne le démontrons pas. C’est une donnée qu’on utilise pour simplifier le calcul des circulations et des flux. INP Toulouse 840907578 Page 2 sur 13 Nous établissons la loi d’Ohm des circuits magnétiques, mais pour bien l’utiliser il faut bien connaître les circuits électriques. Enfin quelques connaissances sur les matériaux magnétiques et les conducteurs sont utiles mais pas nécessaires pour suivre le cours. Il n’est pas nécessaire d’avoir des notions d’analyse vectorielle (gradient, divergence ou rotationnelle). En résumé, voici une liste non exhaustive des pré requis en géométrie et en électromagnétisme : Géométrie Espace vectorielle – Espace Affine Repère orthonormé Produit scalaire de deux vecteurs Produit vectoriel de deux vecteurs Vecteur tangent à une courbe Vecteur normal à une surface Intégrale curviligne Intégrale double Electromagnétisme Magnétostatique Circuits Electriques Lois d’Ohm Matériaux conducteurs et matériaux magnétiques INP Toulouse 840907578 Page 3 sur 13 Chapitre 4 Lois magnétostatique fondamentales de la Après avoir exposé les deux notions fondamentales de circulation du vecteur excitation magnétique H et de flux du vecteur champ magnétique B, nous allons maintenant présenter les deux lois fondamentales de la magnétostatique : Le théorème d’Ampère ; La loi de conservation du flux magnétique. Ces deux lois, associées à la loi de comportement des matériaux magnétiques, représentée pour les matériaux magnétiques isotropes, homogènes et non saturés par la relation : B=H permettent en principe de calculer en tout point de l’espace le champ magnétique créé par un circuit électrique. Leur expression intégrale permettent de mettre au point une méthode de calcul très pratique et très utilisée en électrotechnique. En effet, à partir de ces lois, on peut mettre en évidence la notion de reluctance analogue à la notion de résistance pour les circuits électriques et ainsi d’établir la loi d’Ohm des circuits magnétiques. Cependant pour pouvoir appliquer ces lois, il faut aussi connaître la direction du champ magnétique par rapport au courant qui les crée. Pour cela on utilise la règle du tire-bouchon qu’on a déjà vu pour le produit vectoriel de deux vecteurs. 2.1.1 Règle du tire- bouchon : I M M B B k M’ figure Error! No text of specified style in document.-1 : Application de la règle du tire bouchon Soit un point M de l’espace. Avec le fil il définit un plan (le plan de la figure): A gauche le courant va vers le haut (direction du vecteur unitaire k). L’application de la règle du tire-bouchon permet de trouver la direction de B. On fait tourner le tire-bouchon du vecteur k au vecteur M’M, l’axe du tire bouchon pénètre dans le plan définit par k et M’M (la croix dans un cercle représente un vecteur vu par l’arrière). A droite le courant va vers le bas, vérifier en appliquant la règle du tire bouchon que vous trouvez un vecteur qui sort du plan (un point dans un cercle représente un vecteur qui viens vers le lecteur) La règle du tire-bouchon est définie par le produit vectoriel. Quand on écrit : i j=k INP Toulouse 840907578 Page 4 sur 13 la règle du tire-bouchon s’applique en faisant tourner un tire bouchon (ou un tourne vis) du vecteur i vers le vecteur j, le déplacement de l’axe du tire bouchon donne la direction de k. Vérifiez que si vous tournez le tire-bouchon de –i à j vous obtenez la direction opposée à celle de k. La règle du tire bouchon permet de déterminer la direction et le sens du vecteur champ magnétique B en un point en fonction du sens du courant qui le crée. Supposons qu’un fil sur l’axe Oz soit parcouru par un courant I allant dans le sens des z positifs (direction de k). La direction du vecteur champ magnétique B en un point M est donnée par la règle du tire bouchon en le faisant tourner du vecteur k (direction et sens du courant) vers le vecteur M’M où M’ est un point du fil (figure Error! No text of specified style in document.-1 :). Exercice 5 Problème inverse Sur la Error! Reference source not found. le champ de vecteurs B créé par un fil long perpendiculaire au plan étant indiqué par les flèches, dites dans quel sens circule le courant . Le courant circule le long de Oz dans le sens du vecteur k indiqué par un vecteur sortant du plan (point dans un cercle). Pour être sûr, vérifiez avec la règle du tire bouchon que le vecteur champ magnétique B en chaque point est bien dans le sens indiqué. Exercice 6 Champ créé par une spire Déterminer la direction du champ au centre d’une spire de rayon (r=10 cm) dans le plan Oxy parcouru par un courant I. On place le repère de tel manière que l’origine O soit le centre de la spire 1. Le courant circule dans le sens trigonométrique (sens anti horaire ou sens inverse de la rotation des aiguilles d’une montre) ; 2. Le courant circule dans le sens horaire (sens de rotation des aiguilles d’une montre v I M j B I B i figure Error! No text of specified style in document.-2 :Champ au centre d’une spire parcouru par un courant A gauche le courant circule dans le sens trigonométrique. Le sens et la direction du courant I sur la spire est donnée par le vecteur unitaire v. Pour trouver la direction du vecteur B au centre de la spire on applique la règle du tire-bouchon, on le faisant tourner de v vers MO. L’axe du tire-bouchon se déplace suivant Oz dans le sens du vecteur k (indiqué par le point dans un cercle qui représente un vecteur qui viens vers le lecteur). A droite le courant circule dans le sens horaire. Vérifiez que le vecteur B au centre est dans la direction de –k (un croix dans un cercle représente un vecteur vu par l’arrière) La spire est dans le plan (Oxy) centré en O. Soit M un point de la spire repéré par l’angle ( que fait le vecteur OM avec l’axe Ox. Le rayon de la spire étant r, on a : OM = r cos() i + r sin () j INP Toulouse 840907578 Page 5 sur 13 Si le courant circule dans le sens trigonométrique, son sens est donné par le vecteur unitaire v perpendiculaire à OM : v = - sin () i + cos () j Pour trouver le sens du vecteur B au centre de la spire, on applique la règle du tire-bouchon on le faisant tourner du vecteur v, qui indique le sens et la direction du courant, vers le vecteur MO (et non OM Attention !!). Par exemple si M se trouve sur l’axe Ox, ( = 0), on a v = j et MO= - r i , l’axe du tire-bouchon se déplace le long de Oz suivant le vecteur k (indiqué par un point dans un cercle sur la figure Error! No text of specified style in document.-2 :). Vérifiez qu’en faisant la manipulation sur d’autres points de la spire vous trouvez la même direction. Si le courant circule dans le sens horaire, le sens et la direction du courant sur la spire est donné par le vecteur (-v) . Vérifiez qu’en appliquant la règle du tire bouchon le sens et la direction opposée à k (croix dans un cercle sur la figure Error! No text of specified style in document.-2 :) 2.1.2 Théorème d’Ampère La circulation du vecteur excitation magnétique H sur un contour fermé est égale au nombre d’Ampères Tours passant à l’intérieur du contour. Les Ampères Tours passant à l’intérieur du contour sont donnés par la somme algébriques des courants traversant l’intérieur du contour. Soit () un contour fermé, on a : Nb C = H dl = Ni Ii i 1 Le rond sur l’intégrale curviligne précise que () est un contour fermé. Le théorème d’Ampère explique l’unité choisi pour la circulation (AT). Nb est le nombre de groupements de conducteurs qui traversent la surface qui s’appuie sur le contour fermé (). Ni est le nombre de conducteurs dans le groupement numéro i. Les conducteurs dans un groupement sont tous parcourus par le même courant Ii. On rappelle que la circulation du vecteur H est définie sur une courbe orientée. Il faut donc choisir une orientation sur (), on indique sur () un sens de ‘circulation’. Le choix du sens de circulation sur (), donne le sens de traversée de la surface intérieure à (), c’est-à-dire la direction de la normale, grâce à la règle du tire-bouchon. (Voir la figure Error! No text of specified style in document.-3 ). Une fois qu’on a choisi l’orientation sur la courbe fermée, on applique le théorème d’Ampère en comptant positivement les courants qui traversent la surface intérieure à la courbe dans le sens de la normale induite par le choix de l’orientation. N3 I3 P M2 I5 N1I1 n M1 I2 I4 dl figure Error! No text of specified style in document.-3 : Orientation d’une courbe fermée : On choisit une orientation, indiquée ici par la flèche, INP Toulouse figure Error! No text of specified style in document.-4 : Application du théorème d’Ampère sur une courbe fermée orientée 840907578 Page 6 sur 13 sur une courbe fermée . Le sens de traversée induit par le choix de cette orientation est donnée par la règle du tire bouchon en le faisant tourner de PM1 vers PM2 (dans le sens de la flèche) de la surface. L’axe du tire bouchon se déplace en direction du vecteur normale n indiquée par le cercle pointé. C = H dl = N1 I1 + I2 – N3 I3 - I4 - I5 On compte positivement les courants qui traversent une surface (ici en jaune) s’appuyant sur () dans le sens de la normale n définie par l’orientation choisie sur la courbe (Cf figure Error! No text of specified style in document.-3) Exercice 7 : Calcul du champ du à un fil très long Dans l’exercice 3, connaissant le champ mesuré à un 1 m du fil calculez le courant qui passe dans le fil La mesure du module du champ magnétique B à 1m du fil a donné 1.3 10-6 T. Dans l’exemple 3, on a calculé la circulation du vecteur H le long du cercle de rayon 1m centré sur le fil. Ce cercle est une ligne de champ. On choisit l’orientation de cette ligne dans le sens indiqué par le vecteur magnétique B sur le cercle (Error! Reference source not found.). On remarque que le calcul a été effectué avec cette orientation et on a trouvé C = B 107/2 = 6,5 AT Avec cette orientation du cercle, le sens de traversée du disque entouré par le cercle est donnée par le vecteur k. D’après le théorème d’Ampère, on a : C=I Le courant vaut donc 5 A et il circule suivant le vecteur k. 2.1.3 Loi de conservation du flux magnétique La loi de conservation du flux magnétique, impose que le flux à travers une surface fermée est nul : = B dS = B n dS =0 Le rond sur le double intégral précise que la surface est fermée. Sur une surface fermée, on choisit généralement la normale n dirigée vers l’extérieur du volume entouré par la surface. De cette manière on parle de flux ‘sortant’ (le flux qui sort du volume entouré par la surface) n 1 B dS dS B 2 n INP Toulouse 840907578 Page 7 sur 13 figure Error! No text of specified style in document.-5 : Flux à travers une surface fermée Loi de conservation du flux magnétique : Le flux à travers une surface fermée () est nulle. Conséquence : les flux sortant des surfaces 1 et 2 sont opposées Conséquences: 1) Sur une surface fermée quelconque : En trançant une courbe fermée autour de S en partage la surface en deux, 1 et 2 (figure Error! No text of specified style in document.-5). Le flux ‘sortant’ de est égal à la somme des flux ‘sortant’ par les surfaces 1 et 2. Donc les flux ‘sortant’ des surfaces 1 et 2 sont égales et opposées : = 1 B n dS = - 2 B n dS = - Ici on ne met pas les ronds sur les intégrales doubles car les surfaces 1 et 2 ne sont pas fermées. En choisissant la normale sur 2 opposée à celle définie sur , c’est-à-dire dirigée vers l’intérieur, on calcule le flux ‘entrant’ par 2 et on peut dire que le flux ‘entrant’ par 2 est égal au flux ‘sortant’ par 1. Ce flux entrant est égal au flux - En fait, le flux est calculé sur une surface orientée et le choix de la normale indique son orientation c’est-à-dire la face par laquelle ‘sort’ le flux : Pour une surface fermée, on choisit généralement la normale dirigée vers l’extérieur ; Si une surface n’est pas fermée, ses bords (frontières) définissent une courbe fermée (figure Error! No text of specified style in document.-6). L’orientation de cette courbe induit l’orientation de la normale sur la surface par la règle du tire bouchon en tournant le tire bouchon dans le sens de ‘circulation’ choisie sur la courbe. n figure Error! No text of specified style in document.-6 : Orientation d’une surface et de la courbe sur laquelle elle s’appuie L’orientation sur la courbe () , indiqué par la flèche, induit par la règle du tire bouchon qu’on fait tourner dans le sens de la flèche noire l’orientation de la normale sur la surface 2) Sur un tube de flux : Considérons un tube de flux (figure Error! No text of specified style in document.-7). C’est une surface fermée qui est composé de deux surfaces de base et d’une surface latérale. INP Toulouse 840907578 Page 8 sur 13 Les parois de la surface latérale étant parallèle aux lignes de champ, le flux à travers cette surface est nulle. La loi de conservation du flux implique que la somme des flux sortant par les deux surfaces de bases sont égaux et opposés ou encore que le flux entrant par l’une sort par l’autre. On peut comparer un tube de flux à un tuyau d’eau, la quantité d’eau qui entre par un bout sort par l’autre bout. 1 2 figure Error! No text of specified style in document.-7 : Flux à travers un tube de champ On considère un tube de champ. Il est formé par ses deux surfaces deux bases, ici l’une est en rouge (1) et l’autre en jaune (2). La troisième est la surface latérale ici en blanc (3). Par définition, les parois de la surface latérale sont parallèles aux lignes de champ magnétique matérialisées ici par quelques lignes. Les flèches représentent quelques vecteurs champs magnétiques tangents à la paroi. La loi de conservation du flux magnétique montre que le flux qui ‘entre’ par la surface en rouge est égal au flux qui sort par la surface en jaune 2.1.4 Exemples Champ produit par un solénoïde On obtient un solénoïde en enroulant une bobine le long d’un cylindre généralement à base circulaire. En électromagnétisme, on montre que pour un solénoïde long le champ à l’extérieur est négligeable. Le champ à l’intérieur est uniforme et parallèle à l’axe du cylindre. Sur la figure Error! No text of specified style in document.-8, en appliquant la règle du tire bouchon, on obtient la direction de vecteur B. Les lignes de champ à l’intérieur du solénoïde sont donc des segments de droites parallèle à l’axe du solénoïde. Les tubes de champ sont des cylindres droit dont l’axe est parallèle à l’axe. Longueur L du solénoïde INP Toulouse 840907578 Page 9 sur 13 B Section S du solénoïde figure Error! No text of specified style in document.-8 : Champ dans un solénoïde Le champ à l’extérieur est négligeable. Le champ à l’intérieur est uniforme et parallèle à l’axe du solénoïde. Pour trouver la direction du champ, on applique la règle du tire-bouchon : on met l’axe du tire bouchon parallèle à l’axe du solénoïde et on le tourne dans le sens du courant sur les spires, le sens de déplacement du tire-bouchon donne la direction de B. Sur les conducteurs du solénoïde, on a indiqué le sens du courant Champ magnétique produit par une bobine torique Rm : Rayon moyen du tore O s : section tore B du figure Error! No text of specified style in document.-9 : Champ dans une bobine torique A gauche, le champ à l’extérieur est négligeable. Les lignes de champ sont des cercles. Nous avons représenté que quelques fils enroulant le tore, mais normalement les conducteurs sont jointifs. La flèche sur les fils indique le sens du courant. Le cercle en pointillé est une ligne de champ, sur lequel a été tracé la direction du vecteur B, obtenu par la règle du tire bouchon. A droite les caractéristiques géométriques d’un tore Une bobine torique s’obtient en enroulant une bobine autour d’un volume torique. La section du tore peut-être carré ou circulaire. Le champ à l’extérieur est négligeable. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur l’axe du tore à l’intérieur de la bobine. Les tubes de champ sont des tores à l’intérieur de la bobine. 2.1.5 Notions de reluctance A l’intérieur du solénoïde de la figure Error! No text of specified style in document.-8, les lignes de champs sont des segments de droite parallèles à l’axe. Soit un segment de droite de longueur L sur l’axe du solénoïde la circulation du vecteur H vaut : C = H dl = H dl Comme le champ est uniforme H est constant le long du segment : C = H dl = H L= B L / L est la longueur du solénoïde. On suppose que l’intérieur du solénoïde est rempli d’un matériau magnétique de perméabilité magnétique . INP Toulouse 840907578 Page 10 sur 13 Le cylindre intérieur, de même diamètre que le diamètre interne du solénoïde, constitue un tube de champ. Le flux à travers une section (S) du tube est le même et vaut : = S B dS = S B n dS La normale n à la section est parallèle à l’axe du tube qui est le même que l’axe du solénoïde, donc il est parallèle à B et comme B est uniforme. = S B dS = B S dS = B S Donc on a : B S En reportant, cette expression de B dans le solénoïde dans l’expression de la circulation du vecteur H sur l’axe, on a : L C S Soit : C= R Ainsi la circulation de H sur l’axe du solénoïde est proportionnelle au flux de B traversant l’intérieur du solénoïde. Le coefficient de proportionnalité R est appelé reluctance magnétique. Son expression est : L R S La notion de reluctance est analogue à la notion de résistance dans les circuits électriques. La résistance d’un conducteur cylindrique de longueur L et de section S est donnée par l’expression : L Res S où est la conductivité du conducteur. 2.1.6 Notions de force magnéto motrice Considérons la bobine torique de la figure Error! No text of specified style in document.-9. Supposons que le rayon moyen Rm soit très grand par rapport aux dimensions de la section s. Les lignes de champs sont des cercles centré sur l’axe du tore. Le cercle moyen en pointillé, est une ligne de champ et le module du champ est constant le long de ce cercle. La circulation le long de ce cercle vaut donc : C = H dl = H dl = H dl = H 2 Rm D’après le théorème d’Ampère, cette circulation est égale au nombre d’ampère tour traversant une surface s’appuyant sur ce cercle. La surface orange sur la figure Error! No text of specified style in document.-9 montre une telle surface. La circulation sur le cercle est choisie dans le sens de B ce qui définit une normale n qui sort du plan dans le sens du vecteur k (point dans un cercle sur la figure Error! No text of specified style in document.-9) d’après la règle du tire-bouchon. Le courant I dans chaque conducteur traverse la surface orange dans le sens de la normale n . Si N est le nombre de spires de la bobine, on a donc : C = N I Soit : NI = = H 2 Rm La section s du tore étant petite devant son rayon moyen, on peut considérer que le champ magnétique y est uniforme. Le flux à travers cette section vaut donc : INP Toulouse 840907578 Page 11 sur 13 =Bs Comme : B=H où est la perméabilité magnétique du matériau qui remplit l’intérieur du volume torique. On a : =Hs Soit en utilisant l’expression des NI obtenue précédemment : 2Rm NI S On fait de nouveau apparaître le coefficient : 2Rm Rrel S qui est la reluctance magnétique du volume torique de perméabilité à l’intérieur de la bobine. NI = Rrel Par analogie avec un circuit électrique, NI joue le rôle d’une force électro motrice (f.e.m.) et on l’appelle force magnéto motrice (f.m.m.) et on le note E : E = NI Et on a : E = Rrel La connaissance de la f. m. m et de la reluctance permet de calculer directement le flux dans une section du tore. L’expression de la reluctance : R = (L / S) n’est rigoureusement valable que si le vecteur H et le vecteur champ magnétique B sont uniformes et normal aux sections du tube de champ considéré. 2.1.7 Analogie avec les circuits électriques : On peut faire les analogies suivantes par rapport à un circuit électrique constitué par une source de tension imposant une d.d.p U aux bornes d’un conducteur électrique cylindrique de longueur L, de section S et de conductivité électrique . Le vecteur champ électrique E à l’intérieur du conducteur peut-être considéré comme uniforme et liés au vecteur densité de courant J par la relation : J=E La d.d.p U aux bornes du conducteur est donné par la circulation du vecteur champ électrique le long de l’axe du conducteur : U = E dl = E L à comparer avec NI = H dl Le courant I circulant dans le conducteur est donné par le flux du vecteur J à travers une section du conducteur : = S J dS = J S à comparer avec = S B dS Soit, en tenant compte de la conductivité I=ES Et le module du champ électrique est donnée par I E S En reportant dans l’expression de la d.d.p U on a L à comparer avec U I S INP Toulouse 840907578 NI L S Page 12 sur 13 qui est la loi d’Ohm des circuits électriques. Par analogie, on a donc montré la loi d’Ohm des circuits magnétiques. Les circuits magnétiques sont constitués par des f.m.m et des tubes de champ magnétiques. INP Toulouse 840907578 Page 13 sur 13
