le mouvement circulaire

Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
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L
LE E M MO OU UV VE EM ME EN NT T C CI IR RC CU UL LA AI IR RE E
Le mouvement est décrit par une variation de position angulaire que l’on nomme
θ. Cette variation par rapport au temps représente la vitesse angulaire que l’on
nomme ω.
Le taux de variation de la vitesse angulaire par rapport au temps donne
l’accélération angulaire α.
I. COMPARAISON AVEC LE MOUVEMENT RECTILIGNE
Si on prend un point situé à une certaine distance de l’axe de rotation, ce point
se retrouvera à la position x = r . θ
x
x θ
x’ x’
dx
On a vu que v = et que x = r . θ
dt
r . d θ
donc v =
dt
donc v = r . ω
Tous les points autour du corps auront la même vitesse. Dans un mouvement
angulaire, la vitesse v est la vitesse tangentielle et dépend de la vitesse par
rapport au centre de rotation.

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ac
v
0 Δθ
ac
v
Vitesse angulaire instantanée :
dθ
ω =
dt
Vitesse angulaire moyenne :
Δθ
ω =
Δt
Si la vitesse angulaire d’un corps varie, cela veut dire qu’il y a une accélération
angulaire.
Accélération moyenne :
Δω
α =
Δt
Accélération instantanée :
Δω d²θ
α = =
Δt dt²

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Accélération tangentielle :
dv r . dω
aT = = = r . α car v = r . ω
dt dt
Si le mouvement angulaire est uniforme, il devrait ne pas y avoir d’accélération,
donc c’est que l’accélération tangentielle sera nulle car la vitesse sera constante.
Ceci dit, le corps en mouvement va quand même posséder une accélération
centripète (accélération dirigée vers l’axe de rotation) Elle est due au
changement de direction du vecteur vitesse.
v² r² ω²
ac = = = r . ω²
r r
Comparaison des mouvements de translation et de rotation :
Grandeur
Translation
Rotation
Relation
Position
déplacement
x
θ
x = r . θ
Vitesse
v
ω
v = r . ω
Accélération
a = at + ac
α
ac = ω² . r
at = r . α
Remarque :
Lorsqu’un corps tourne autour d’un axe, celui-ci a tendance à s’écarter de sa
trajectoire car il est soumis à la force centrifuge. Si on veut maintenir ce corps
sur sa trajectoire, on va exercer une force centripète. Cette force centripète sera
égale à la force centrifuge en intensité mais elle aura un sens opposé à la force
centrifuge.
θ = rad
fc = m . ac ω = rad/s
α = rad/s²
v²
fc = m . = m . r . ω²
r

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Exemple : Analyse du swing en golf.
Au cours du swing on considère que le système biomécanique S formé des
membres supérieurs et du club de golf (longueur de S : 1,60 m) a un mouvement
de rotation par rapport à un axe situé au milieu des épaules.
En position 1 de départ (club en position haute, vitesse nulle) le système S fait
un angle θ de 120° avec la verticale. La vitesse linéaire (ou tangentielle) de
l’extrémité du club au moment où il frappe la balle (position 2 verticale ; θ = 0°)
est égale à 10 m/s.
La durée du geste (position 1 à position 2 est égale à 0,1 s.
- Calculer la vitesse angulaire moyenne du système S au cours du geste.
- Calculer la valeur de la vitesse angulaire du système S en position 2.
- Calculer l’accélération angulaire moyenne du système S au cours du
geste. Tous les résultats seront donnés en unités internationales.
Δθ 120 - 0
ω = = = 1200 °/s
Δt 0,1
ω = 1200 . π / 180 = 20,93 rad/s
ω = v / r = 10 / 1,60 = 6,25 rad/s
Δω 6,25 - 0
α = = = 62,5 rad/s²
Δt 0,1
II. LE MOMENT D’INERTIE
Quand un corps est en mouvement rectiligne, c’est la masse du corps en
mouvement qui va représenter l’inertie au mouvement ou la résistance. Plus la
masse du corps sera importante, plus l’objet sera difficile à déplacer.

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C’est la même chose lors d’un mouvement angulaire.
Dans le mouvement angulaire, la masse ne constitue pas le seul facteur qui
constitue l’inertie du mouvement : il y a aussi la distribution de la masse.
A. CALCUL DU MOMENT D’INERTIE POUR UNE MASSE
PONCTUELLE
Soit un point de masse m qui se trouve à l’extrémité d’une ficelle et qui tourne
sans frottement sur un plan horizontal.
Les forces qui agissent sont le poids et la réaction de la surface.
Ces deux forces par rapport à l’intensité sont égales mais opposées et par rapport
à l’axe, le moment du poids et le moment de la réaction vont se compenser.
Le corps, effectuant un mouvement circulaire, est soumis à une force centrifuge.
fc = T(ficelle)
T produit l’accélération centripète.
Remarque : MT et MFC sont nuls car ils passent par le centre de rotation
(extrémité de la ficelle).
Si on ajoute à ce système une force Fa, le système n’est plus en équilibre.
Σ F = m . a
Σ F = P + Rs + fc + T + Fa = m . a
Fa = m . a
Fa = m . a = m . r . α