le mouvement circulaire

Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
1
LE MOUVEMENT CIRCULAIRE
Le mouvement est décrit par une variation de position angulaire que l’on nomme
θ. Cette variation par rapport au temps représente la vitesse angulaire que l’on
nomme ω.
Le taux de variation de la vitesse angulaire par rapport au temps donne
l’accélération angulaire α.
I. COMPARAISON AVEC LE MOUVEMENT RECTILIGNE
Si on prend un point situé à une certaine distance de l’axe de rotation, ce point
se retrouvera à la position x = r . θ
x
x
θ
x’
x’
dx
et que x = r . θ
On a vu que v =
dt
r.dθ
donc v =
dt
donc v = r . ω
Tous les points autour du corps auront la même vitesse. Dans un mouvement
angulaire, la vitesse v est la vitesse tangentielle et dépend de la vitesse par
rapport au centre de rotation.
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
2
ac
v
0 Δθ
ac
v
Vitesse angulaire instantanée :
dθ
ω =
dt
Vitesse angulaire moyenne :
Δθ
ω =
Δt
Si la vitesse angulaire d’un corps varie, cela veut dire qu’il y a une accélération
angulaire.
Accélération moyenne :
Δω
α =
Δt
Accélération instantanée :
Δω
α =
d²θ
=
Δt
dt²
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
3
Accélération tangentielle :
dv
aT =
r . dω
= r.α
=
dt
car v = r . ω
dt
Si le mouvement angulaire est uniforme, il devrait ne pas y avoir d’accélération,
donc c’est que l’accélération tangentielle sera nulle car la vitesse sera constante.
Ceci dit, le corps en mouvement va quand même posséder une accélération
centripète (accélération dirigée vers l’axe de rotation) Elle est due au
changement de direction du vecteur vitesse.
r² ω²
v²
ac =
= r . ω²
=
r
r
Comparaison des mouvements de translation et de rotation :
Grandeur
Position
déplacement
Translation
Rotation
Relation
x
θ
x = r.θ
Vitesse
v
ω
v = r.ω
Accélération
a = a t + ac
α
ac = ω² . r
at = r . α
Remarque :
Lorsqu’un corps tourne autour d’un axe, celui-ci a tendance à s’écarter de sa
trajectoire car il est soumis à la force centrifuge. Si on veut maintenir ce corps
sur sa trajectoire, on va exercer une force centripète. Cette force centripète sera
égale à la force centrifuge en intensité mais elle aura un sens opposé à la force
centrifuge.
θ = rad
fc = m . ac
ω = rad/s
α = rad/s²
v²
fc = m .
= m . r . ω²
r
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
Exemple :
4
Analyse du swing en golf.
Au cours du swing on considère que le système biomécanique S formé des
membres supérieurs et du club de golf (longueur de S : 1,60 m) a un mouvement
de rotation par rapport à un axe situé au milieu des épaules.
En position 1 de départ (club en position haute, vitesse nulle) le système S fait
un angle θ de 120° avec la verticale. La vitesse linéaire (ou tangentielle) de
l’extrémité du club au moment où il frappe la balle (position 2 verticale ; θ = 0°)
est égale à 10 m/s.
La durée du geste (position 1 à position 2 est égale à 0,1 s.
- Calculer la vitesse angulaire moyenne du système S au cours du geste.
- Calculer la valeur de la vitesse angulaire du système S en position 2.
- Calculer l’accélération angulaire moyenne du système S au cours du
geste. Tous les résultats seront donnés en unités internationales.
Δθ
ω =
120 - 0
=
Δt
= 1200 °/s
0,1
ω = 1200 . π / 180 = 20,93 rad/s
ω = v / r = 10 / 1,60 = 6,25 rad/s
Δω
α =
6,25 - 0
=
Δt
= 62,5 rad/s²
0,1
II. LE MOMENT D’INERTIE
Quand un corps est en mouvement rectiligne, c’est la masse du corps en
mouvement qui va représenter l’inertie au mouvement ou la résistance. Plus la
masse du corps sera importante, plus l’objet sera difficile à déplacer.
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
5
C’est la même chose lors d’un mouvement angulaire.
Dans le mouvement angulaire, la masse ne constitue pas le seul facteur qui
constitue l’inertie du mouvement : il y a aussi la distribution de la masse.
A. CALCUL DU MOMENT D’INERTIE POUR UNE MASSE
PONCTUELLE
Soit un point de masse m qui se trouve à l’extrémité d’une ficelle et qui tourne
sans frottement sur un plan horizontal.
Les forces qui agissent sont le poids et la réaction de la surface.
Ces deux forces par rapport à l’intensité sont égales mais opposées et par rapport
à l’axe, le moment du poids et le moment de la réaction vont se compenser.
Le corps, effectuant un mouvement circulaire, est soumis à une force centrifuge.
fc = T(ficelle)
T produit l’accélération centripète.
Remarque : MT et MFC sont nuls car ils passent par le centre de rotation
(extrémité de la ficelle).
Si on ajoute à ce système une force Fa, le système n’est plus en équilibre.
ΣF = m.a
Σ F = P + Rs + fc + T + Fa = m . a
Fa = m . a
Fa = m . a = m . r . α
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
6
Σ M F/o = M P/o + M Rs/o + M fc/o + M T/o + M Fa/o
M F/o = - Fa ^ r
M F/o = - Fa . r = - m . r . α . r = - (m . r²) α = - I . α
La quantité m.r² est le moment d’inertie de la masse ponctuelle de notre point
m = I. En fonction de la position du moment de rotation on aura une inertie qui
sera différente.
On peut donc écrire :
ΣF = m.a
mouvement de translation
ΣM = I.α
mouvement de rotation
Cas particulier : la statique.
Si a = 0 et α = 0
pas de mouvement ou un mouvement uniforme.
Alors Σ F = 0 et Σ M = 0
B. L’EVALUATION DU MOUVEMENT D’INERTIE D’UN CORPS
On divise un corps en n éléments de masses m1, m2, … mn et de rayons r1, r2, …
rn (distance par rapport à l’axe de rotation)
I1 = m1 . r²1
I2 = m2 . r²2
....................
In = mn . r²n
n
Itotal = Σ I
(moment d’inertie total du corps)
1
Rq : Plus r sera grand plus I total sera grand et tout dépend aussi du corps et de la
position de l’axe par rapport au corps.
C. CALCUL DU MOMENT D’INERTIE D’UN SEGMENT
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
7
Selon un axe de rotation passant par le centre de gravité.
I = I0 + I1
I = m.r²0 + m.d²
I = m (r²0 + d²)
tel que I0 = m . r²0 et I1 = m . d²
I0 correspond au moment d’inertie par rapport au centre de gravité.
d correspond à la distance entre les deux axes (entre axe passant par centre de
gravité et axe choisi)
Exemple :
Soit un homme de 65 kg dont la cuisse mesure 42 cm.
La distance entre le centre de gravité de sa cuisse et son articulation de hanche
étant donnée par d = 0,433 x longueur de cuisse, calculer le moment d’inertie du
segment cuisse lorsque l’axe de rotation passe : premièrement par le centre de
gravité du segment considéré, deuxièmement par la hanche.
1)
I0 = m . r²0
I0 = (0,1 x 65) x (0,323 x 42 x 10-2)²
I0 = 0,120 kg.m²
2)
Première solution :
I
I
I
I
=
=
=
=
I0 + I1
I0 + m.d²
0,120 + (0,1 x 65) x (0,433 x 42 x 10-2)
0,335 kg.m²
Deuxième solution : (avec table)
I = m.r²
I = (0,1 x 65) x (0,54 x 42 x 10-2)
I = 0,334 kg.m²
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
8
III. LE MOMENT CINETIQUE
F = m.a
F . Δt = m . a . Δt
Δv
F . Δt = m .
. Δt
Δt
F . Δt = m . Δv
ΣM = I.α
Σ M . Δt = I . α . Δt
Δω
avec α =
Δt
Σ M . Δt = I . Δω
F . Δt = m . Δv
On a donc :
Σ M . Δt = I . Δω
Or p = m . v
et L = I . ω
(L : moment cinétique)
L = I.ω
L = m . r² . ω
A. LE TRANSFERT DU MOMENT CINETIQUE
On peut transformer ce moment d’une partie du corps à une autre.
B. LA NUTATION
C’est transférer une partie du moment cinétique d’un plan à un autre ou d’un axe
de rotation à un autre.
Ex : salto + vrille.
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
Début : rotation autour d’un axe transversal (a) puis rotation et asymétrie des
bras.
Bras : diminution du moment d’inertie : le sujet part pour effectuer sa vrille (b).
Soit l’axe (c) qui correspond à la combinaison entre (a) et (b).
IV. APPLICATION
Le lancer du marteau :
Prise d’élan :
Le lancer est en rotation.
Bilan des forces :
Fc : force centrifuge.
R
P
Si équilibre
ΣF = 0
ΣM= 0
MP/0 + MFc/0 + MR/0 = 0
- P . d2 + Fc . d1 + 0 = 0
P . d2 = Fc . d1
V. ROLE DES FROTTEMENTS LORS D’UN MOUVEMENT
ANGULAIRE
Un cycliste lors d’un virage : il doit se pencher vers l’intérieur pour ne pas
déraper.
P + R + fc = 0
R = - P – fc
9
Chapitre n° 8 : Le mouvement circulaire.
10
Pour éviter le dérapage, on a deux possibilités :
- Ralentir : pour diminuer Fc.
- Se pencher : pour augmenter les frottements entre la roue et la route.
Il existe une force de frottement limite telle que cette force soit égale à l’opposé
de la force centrifuge.
ft = - fc
La force de frottement crée l’accélération centripète : sa valeur maximale
dépend du coefficient de frottement statique maximum.
A chaque moment, la roue est immobile par rapport à la route.
Lors d’un dérapage, ft est déterminée par le coefficient de frottement cinétique
(difficulté de récupérer l’adhérence du véhicule)
Fc
m . v²
Tan α =
=
P
1
×
R
m.g
v²
Tan α =
R.g
ω² . R
Tan α =
g
Rx compense déjà un certain degré de force centrifuge. On relève dans les
virages, mais il faut déjà une certaine vitesse.