Application du produit scalaire

1
Lycée : Jean XXIII Mr Nasser
APPLICATIONS DU PRODUIT
SCALAIRE
I. Théorème de la médiane
Propriété : Soit deux points A et B et I le milieu du segment [AB].
Pour tout point M, on a :
MA2MB22MI2AB2
2
Démonstration :
22
22
22
22
2 2 2 2
2 2 2
2
2 . 2 .
2 2 .
1
2 2 .0 2
MA MB MA MB
MA MB
MI IA MI IB
MI MI IA IA MI MI IB IB
MI MI IA IB IA IB
MI MI AB
22
2
2
1
2
22
AB
AB
MI
Exemple :
On souhaite calculer la longueur de la médiane issue de C.
D'après le théorème de la médiane, on a :
CA2CB22CK2AB2
2
, donc :
2
2 2 2
2
22
1
22
18
75
22
21
AB
CK CA CB
Donc :
CK 21
.
3) Théorème d'Al Kashi
Théorème : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure :
2 2 2 2 cosa b c bc A  
Démonstration :

2
Lycée : Jean XXIII Mr Nasser
. cos cosAB AC AB AC A bc A   
et
2 2 2 2 2 2
11
.22 AB AC AB AC BC b c a     
donc :
2 2 2
1cos
2b c a bc A  
soit :
2 2 2 2 cosa b c bc A  
II. Equation de droite et équation de cercle
On se place dans un repère orthonormé
;;O i j
du plan.
1) Equation de droite de vecteur normal donné
Définition : Soit une droite d.
On appelle vecteur normal à une droite d, un vecteur non nul orthogonal à un vecteur
directeur de d.
Exemple :
Soit la droite d d'équation cartésienne
2x3y60
.
Un vecteur directeur de d est :
3;2u
.
Un vecteur normal
;n a b
de d est tel que :
.0un
Soit :
3a2b0
.
a = -2 et b = 3 conviennent, ainsi le vecteur
2;3n
est un vecteur normal de d.
Propriétés : - Une droite de vecteur normal
;n a b
admet une équation cartésienne de la
forme
ax by c0
où c est un nombre réel à déterminer.
- Réciproquement, la droite d d'équation cartésienne
ax by c0
admet le vecteur
;n a b
pour vecteur normal.
Démonstrations :
- Soit un point A
;
AA
xy
de la droite d.

3
Lycée : Jean XXIII Mr Nasser
M
;xy
est un point de d si et seulement si
A
A
xx
AM yy
et
a
nb
sont orthogonaux.
Soit :
.0AM n 
Soit encore :
0
AA
a x x b y y   
ax by axAbyA0
.
- Si
ax by c0
est une équation cartésienne de d alors
;u b a
est un vecteur directeur
de d.
Le vecteur
a
nb
vérifie :
baab0
. Donc les vecteurs
u
et
n
sont orthogonaux.
Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal
Dans un repère orthonormé
;;O i j
du plan, on considère la droite d passant par le point
5;4A
et dont un vecteur normal est le vecteur
3; 1n
.
Déterminer une équation cartésienne de la droite d.
Comme
3; 1n
est un vecteur normal de d, une équation cartésienne de d est de la forme
3xyc0
.
Le point
5;4A
appartient à la droite d, donc :
3 5 4 0c    
et donc :
c19
.
Une équation cartésienne de d est :
3xy19 0
2) Equation de cercle
Propriété : Une équation du cercle de centre
;
AA
A x y
et de rayon r est :
22
2
AA
x x y y r   
Démonstration :
Tout point
;M x y
appartient au cercle de centre
;
AA
A x y
et de rayon r si et seulement
AM2r2
.
Méthode : Déterminer une équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé
;;O i j
du plan, on considère le cercle C de centre
4; 1A
et
passant par le point
3;5B
.
Déterminer une équation du cercle C.

4
Lycée : Jean XXIII Mr Nasser
Commençons par déterminer le carré du rayon du cercle C :
2
2
22
3 4 5 1 37r AB      
Une équation cartésienne du cercle C est alors :
22
4 1 37xy   
.
Méthode : Déterminer les caractéristiques d'un cercle
Dans un repère orthonormé
;;O i j
du plan, on considère l'ensemble d'équation :
x2y22x10y17 0
.
Démontrer que l'ensemble est un cercle dont on déterminera les caractéristiques (centre,
rayon).
22
22
22
22
2 10 17 0
2 10 17 0
1 1 5 25 17 0
1 5 9
x y x y
x x y y
xy
xy
L'ensemble est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3.
III. Formules de trigonométrie
1) Formules d'addition
Propriété : Soit a et b deux nombres réels quelconques. On a :
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
Démonstration :
- 1ère formule :
On considère un repère orthonormé
;;O i j
du
plan et le cercle trigonométrique de centre O.
u
et
v
sont deux vecteurs de norme 1 tels que
:
;i u a
et
;i v b
.
On a alors :
cos
sin
a
ua
et
cos
sin
b
vb
.
Ainsi :
. cos cos sin sinuv a b a b
.
On a également :

5
Lycée : Jean XXIII Mr Nasser
. cos ;
1 1 cos cos
u v u v u v
b a a b
D'où
cos cos cos sin sina b a b a b  
.
- 2e formule :
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sina b a b a b a b a b a b         
- 3e formule :
sin cos 2
cos 2
cos cos sin sin
22
sin cos cos sin
a b a b
ab
a b a b
a b a b
- 4e formule :
sin sin sin cos cos sin sincos cos sina b a b a b a b b a b         
Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition
Calculer
cos5
12
et
sin5
12
.
5
cos cos
12 4 6
cos cos sin sin
4 6 4 6
2 3 2 1
2 2 2 2
62
4
5
sin sin
12 4 6
sin cos cos sin
4 6 4 6
2 3 2 1
2 2 2 2
62
4
2) Formules de duplication
Propriété : Soit a un nombre réel quelconque. On a :
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2cos sin
a a a a a
a a a
Démonstrations :
Cas particulier des 2e et 4e formules d'addition dans le cas où
ab
:
22
cos 2 cos sin
sin 2 2cos sin
a a a
a a a
On a également :
cos2asin2a1
donc :
cos2asin2a2cos2a112sin2a