Suites d`intégrales - la prepa parallele

SUITES D’INTEGRALES CLASSIQUES
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Remarque méthodologique importante pour les sujets de concours :
Soit In l’intégrale d’une fonction fn d’une numérique d’une variable réelle x ; n est
généralement un exposant de x, de ln x ou d’une fonction trigonométrique (cf. : ci-après).
L’étude d’une suite d’intégrales consiste à exprimer In en fonction de In-1 ou de In-2 (la
précision est fournie par l’énoncé). Pour résoudre un tel problème, il convient, notamment si n
est un exposant, de procéder à une intégration par parties. En effet : en utilisant la formule
d’intégration par parties :
vu'
= uv -
'uv
, on constate que si v est une fonction dont
l’exposant est n alors v’ est une fonction dont l’exposant est n-1 [(xn)’ = nxn-1]. En outre, pour
obtenir une relation entre In et In-2, il convient de partir d’une expression de fn en fonction de
n-1 par factorisation.
2 cas sont alors envisageables :
1er cas : In s’exprime en fonction de In-1. On est alors ramené à un problème classique de suite
récurrente et il est possible d’exprimer In en fonction de n…
…en listant tous les termes (In, In-1,…, I1, I0) dans l’esprit de la démonstration de l’expression
d’une suite récurrente du programme en fonction de n.
2ème cas : In s’exprime en fonction de In-2. On doit alors calculer In en procédant à une
distinction selon la parité de n. En d’autres termes, on calcule I2k (n est pair) et I2k+1 (n est
impair)…
…en listant dans l’esprit de la démonstration de l’expression d’une suite récurrente du
programme en fonction de n :
 d’une part tous les termes pairs : I2k, I2k-2,…, I2, I0 ;
 d’autre part tous les termes impairs I2k+1, I2k-1,…, I3, I1.

Exemples d’application
Etude de la suite d’intégrale la plus classique : In =
0dxex axn
où a *+
1°) Calculer I0
2°) Exprimer In en fonction de In-1
3°) En déduire In en fonction de n
1°) I0 =
0
0dxex ax
=
0dxeax
= =
0
1ax
e
a
=
a
1
0 ax
e
-
a
1
(0-1) =
a
1
2°) Intégrons par parties en posant : u’ = e-ax u = -
a
1
e-ax et v = xn v’=nxn-1. Dès lors :
In =
0
a
1
-naxxe
-
dxnxe
anax 1
0
1
. Or on sait que
lim
axnex 
= 0 quand x (formule du programme pouvant être utilisée sans
démonstration) et pour x =0 la fonction uv(x) est aussi égale à 0. Donc :
In=
dxex
a
naxn
0
1
. Conclusion : In =
a
n
In-1.
3°) Ecrivons tous les termes de In à I1 :
In =
a
n
In-1.
In-1 =
a
n1
In-2
In-2
…
I2 =
a
2
I1
I1 =
a
1
I0.
En multipliant membre à membre, presque tous les termes disparaissent ; il reste finalement :
In =
a
n
a
n1
…
a
2
a
1
I0 =
n
a
n!
I0 =
n
a
n!
a
1
. Finalement : In =
1
!
n
an
Etude de Jn =
xdx
n
2
0cos
.
1°) Calculer J0 et J1
2°) Exprimer Jn en fonction de Jn-2
3°) En déduire J2k et J2k+1

1°) J0 =
xdx
2
0
0
cos
=
dx
2
01
= (
2
- 0) =
2
et J1 =
xdx
2
0cos
=
2
0
sin x
= 1-0=1.
2°) Jn =
xdxx
ncos.cos
2
0
1
. Intégrons par parties en posant :
u’= cosx u = sinx et v=cosn-1x v’= -(n-1)cosn-2x.sinx. Dès lors :
Jn =
xx n1 cos.sin 
2
0
+ (n-1)
dxxxx
n.sin.sin.cos
2
0
2
= 0-0+(n-1)
dxxx
n.sin.cos 2
2
0
2
. Or
sin2x + cos2x =1 donc sin2x = 1 – cos2x et finalement Jn = (n-1)
dxxx
n).cos1.(cos 2
2
0
2
.
En développant : Jn = (n-1)(
dxx
n.cos
2
0
2
-
dxx
n.cos
2
0
) = (n-1)(Jn-2 – Jn). Donc, en
regroupant les termes en Jn :
Jn(1+n-1) = (n-1)Jn-2 et finalement : Jn =
n
n1
Jn-2
3°) Pour exprimer J2k, écrivons tous les termes pairs :
J2k =
k
k
212 
J2k-2
J2k-2 =
22 32 k
k
J2k-4
J2k-4
…
J4 =
4
3
J2
J2 =
2
1
J0.
En multipliant membre à membre, presque tous les termes disparaissent ; il reste finalement :
J2k =
)2....(4.2 )12)(32....(3.1 kkk 
J0.
Remarque importante
Cette expression, TRES CLASSIQUE, peut être simplifiée. Pour cela, on remarque qu’il
manque au numérateur tous les termes pairs pour faire apparaître une factorielle. Il suffit alors
de les intégrer à condition d’en faire de même au dénominateur.
Les termes pairs étant précisément au dénominateur, leur intégration au numérateur sous
forme multiplicative conduit à élever le dénominateur au carré.
A noter que, s’il est vrai qu’il manque les termes impairs au dénominateur pour faire
apparaître une factorielle à savoir (2k) !, il n’est pas nécessaire de les intégrer car la
décomposition de chaque terme (2x1)(2x2)…(2xk) revient à écrire 2k.k !

Par conséquent J2k =
2
)]2....(4.2[ )2)(12)(22)(32....(4.3.2.1 kkkkk 
2
=
2
)!2( )!2( k
k
k
2
et finalement :
J2k =
212 )!(2 )!2( k
k
k
Pour exprimer J2k+1, écrivons tous les termes pairs :
J2k+1 =
122 kk
J2k-1
J2k-1 =
12 22 k
k
J2k-3
J2k-3
…
J5 =
5
4
J3
J3 =
3
2
J0.
En multipliant membre à membre, presque tous les termes disparaissent ; il reste finalement :
J2k+1 =
)12(....5.3 )2.....(4.2 kk
J1. Introduisons, de façon multiplicative les termes pairs au
dénominateur pour faire apparaître une factorielle et faisons de même au numérateur. Dès
lors :
J2k+1 =
)12().2....(5.4.3.2 )]2.....(4.2[ 2 kk k
.1 =
)!12( )]2)...(22)(12[( 2 kxkxx
.
Conclusion : J2k+1 =
)12( )!(2 22 kk
k
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