SUITES D’INTEGRALES CLASSIQUES RETOUR AU MENU INTEGRALES RETOUR ACCUEIL Remarque méthodologique importante pour les sujets de concours : Soit In l’intégrale d’une fonction fn d’une numérique d’une variable réelle x ; n est généralement un exposant de x, de ln x ou d’une fonction trigonométrique (cf. : ci-après). L’étude d’une suite d’intégrales consiste à exprimer In en fonction de In-1 ou de In-2 (la précision est fournie par l’énoncé). Pour résoudre un tel problème, il convient, notamment si n est un exposant, de procéder à une intégration par parties. En effet : en utilisant la formule d’intégration par parties : u' v = uv - uv ' , on constate que si v est une fonction dont l’exposant est n alors v’ est une fonction dont l’exposant est n-1 [(xn)’ = nxn-1]. En outre, pour obtenir une relation entre In et In-2, il convient de partir d’une expression de fn en fonction de n-1 par factorisation. 2 cas sont alors envisageables : 1er cas : In s’exprime en fonction de In-1. On est alors ramené à un problème classique de suite récurrente et il est possible d’exprimer In en fonction de n… …en listant tous les termes (In, In-1,…, I1, I0) dans l’esprit de la démonstration de l’expression d’une suite récurrente du programme en fonction de n. 2ème cas : In s’exprime en fonction de In-2. On doit alors calculer In en procédant à une distinction selon la parité de n. En d’autres termes, on calcule I2k (n est pair) et I2k+1 (n est impair)… …en listant dans l’esprit de la démonstration de l’expression d’une suite récurrente du programme en fonction de n : d’une part tous les termes pairs : I2k, I2k-2,…, I2, I0 ; d’autre part tous les termes impairs I2k+1, I2k-1,…, I3, I1. Exemples d’application Etude de la suite d’intégrale la plus classique : In = 0 x n e ax dx où a *+ 1°) Calculer I0 2°) Exprimer In en fonction de In-1 3°) En déduire In en fonction de n 1 1 ax 1 1 ax ax 0 0 e dx = = a e 0 = a e 0 - a (0-1) = a 1 2°) Intégrons par parties en posant : u’ = e-ax u = - e-ax et v = xn v’=nxn-1. Dès lors : a 1 1 In = - e ax x n - e ax nx n 1 dx . Or on sait que 0 a a 0 1°) I0 = x 0 e ax dx = lim x n e ax = 0 quand x (formule du programme pouvant être utilisée sans démonstration) et pour x =0 la fonction uv(x) est aussi égale à 0. Donc : n n In= x n 1e ax dx . Conclusion : In = In-1. 0 a a 3°) Ecrivons tous les termes de In à I1 : In In-1 n a n 1 = a = In-1. In-2 In-2 … I2 I1 2 a 1 = a = I1 I0. En multipliant membre à membre, presque tous les termes disparaissent ; il reste finalement : n n 1 2 1 n! n! 1 n! In = … I0 = n I0 = n . Finalement : In = n 1 a a a a a a a a Etude de Jn = 2 0 cos n xdx . 1°) Calculer J0 et J1 2°) Exprimer Jn en fonction de Jn-2 3°) En déduire J2k et J2k+1 1°) J0 = 2°) Jn = 2 0 2 0 cos xdx = 0 2 0 et J1 = 1dx = ( - 0) = 2 2 2 0 cosxdx = sin x 02 = 1-0=1. cos n1 x. cos xdx . Intégrons par parties en posant : u’= cosx u = sinx et v=cosn-1x v’= -(n-1)cosn-2x.sinx. Dès lors : Jn = sin x. cos n 1 x 2 0 + (n-1) cos 2 0 n2 x. sin x. sin x.dx = 0-0+(n-1) sin2x + cos2x =1 donc sin2x = 1 – cos2x et finalement Jn = (n-1) En développant : Jn = (n-1)( 2 0 cos n2 x.dx - 2 0 2 0 cos n2 x. sin 2 x.dx . Or cos n2 x.(1 cos 2 x).dx . 2 0 cos n x.dx ) = (n-1)(Jn-2 – Jn). Donc, en regroupant les termes en Jn : Jn(1+n-1) = (n-1)Jn-2 et finalement : Jn = n 1 Jn-2 n 3°) Pour exprimer J2k, écrivons tous les termes pairs : J2k = J2k-2 = 2k 1 J2k-2 2k 2k 3 J2k-4 2k 2 J2k-4 … J4 = 3 4 J2 1 J0 . 2 En multipliant membre à membre, presque tous les termes disparaissent ; il reste finalement : J2 J2k = = 1.3....(2k 3)( 2k 1) J0. 2.4....(2k ) Remarque importante Cette expression, TRES CLASSIQUE, peut être simplifiée. Pour cela, on remarque qu’il manque au numérateur tous les termes pairs pour faire apparaître une factorielle. Il suffit alors de les intégrer à condition d’en faire de même au dénominateur. Les termes pairs étant précisément au dénominateur, leur intégration au numérateur sous forme multiplicative conduit à élever le dénominateur au carré. A noter que, s’il est vrai qu’il manque les termes impairs au dénominateur pour faire apparaître une factorielle à savoir (2k) !, il n’est pas nécessaire de les intégrer car la décomposition de chaque terme (2x1)(2x2)…(2xk) revient à écrire 2k.k ! Par conséquent J2k = J2k = 1.2.3.4....(2k 3)( 2k 2)( 2k 1)( 2k ) ( 2k )! = k 2 et finalement : 2 2 ( 2 k!) 2 [2.4....(2k )] ( 2k )! 2 ( k!) 2 2 k 1 Pour exprimer J2k+1, écrivons tous les termes pairs : J2k+1 = J2k-1 = 2k J2k-1 2k 1 2k 2 J2k-3 2k 1 J2k-3 … J5 = 4 5 J3 2 J0 . 3 En multipliant membre à membre, presque tous les termes disparaissent ; il reste finalement : J3 = 2.4.....(2k ) J1. Introduisons, de façon multiplicative les termes pairs au 3.5....(2k 1) dénominateur pour faire apparaître une factorielle et faisons de même au numérateur. Dès lors : J2k+1 = J2k+1 [2.4.....(2k )] 2 [( 2 x1)( 2 x2)...( 2 xk)] 2 = .1 = . 2.3.4.5....(2k ).(2k 1) (2k 1)! 2 2 k (k!) 2 Conclusion : J2k+1 = (2k 1) RETOUR EN HAUT RETOUR AU MENU INTEGRALES RETOUR ACCUEIL