SUJET

NIVEAU COLLEGE
LA DIVISION EUCLIDIENNE
Proposer des activités au niveau collège mettant en œuvre la
division euclidienne.
Indiquer où et comment cette notion est réutilisée jusqu’en
terminale.
1°) Rappel : définition de la division euclidienne
La division euclidienne d’un nombre entier a par un entier non
nul b donne un couple de nombres entiers q et r tels que :
a=b×q+r
avec 0Âr<b.
2°) Activités proposées
Activité 1 : niveau 6°
Objectif : donner un sens à la division euclidienne, faire la
différence entre la division euclidienne et la division
décimale.
Activité 2 : niveau 3°
Objectif : acquérir le sens de la recherche du PGCD de deux
nombres à l’aide d’un exemple concret.
Activité 3 : Niveau lycée
- En 2nde : utilisation de la division euclidienne et la
trigonométrie
Exemple : placer 2 points sur un cercle trigonométrique
associés respectivement à Error! etError!. Le point A est
confondu avec le point repéré par Error!, le point B est
confondu avec le point repéré par -Error!.
 19=3×5+4 est-elle une division euclidienne ?
oui si le quotient est 5.
 Champ d’application de la Division Euclidienne ? de la
Division Décimale ?
↔les nombres entiers.
↔les nombres
réels.
La D.E. implique la notion d’arithmétique (sur É au collège,
sur Î en TS).
Elle s’étend à la division des polynômes en lycée.
La D.D. est le domaine de la mesure.
D’où la distinction entre deux mondes : ↔ discret : monde
numérique
↔ continu : monde
analogique
Le monde qui nous entoure est analogique : on le discrétise
en échantillonnant.
Un nombre est un système de position. Toute la numération
repose sur la D.E.
 Détails du programme :
En CM2, les élèves pressentent
En 6e étude détaillée
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En
En
En
EN
En

5e et 4e, applications.
3e, étude détaillée+PGCD
2nde, étude des ensembles de nombres
1ère L, étude concrète (pavage)
TS spé, arithmétique et congruence.
Démonstration de la division Euclidienne sur É
Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul.
Existence du couple (q ; r)
Considérons l'ensemble E des entiers naturels n tels que a < bn.
E =
{n  É / a < bn }.
Puisque b est non nul, on sait d'après la propriété d'Archimède que
l'ensemble E est non vide.
E est donc une partie non vide de É, E a donc un plus petit élément.
Ce plus petit élément p n'est pas nul, car 0 n'appartient pas à E.
On a donc p à 1.
Posons q = p - 1 . Alors
q  É
D'autre part
q  E. (le plus petit élément de E est p
et q < p)
Puisque q  E, on a
bq  a
et comme p  E, on a aussi a < bp
c'est-à-dire a < b(q + 1).
On a donc trouvé un entier naturel q tel que
bq  a < b(q + 1).
Posons
r = a - bq , on a r  IN
et a = bq + r.
et d'autre part bq  a < b(q + 1)

bq  a < bq + b 
0 Â a - bq
< b

0 Â r < b .
Il existe donc un couple (q ; r) d'entiers naturels tel que
a = bq + r
et r < b.
Unicité du couple (q ; r)
Pour démontrer que ce couple est unique, supposons qu'il existe un deuxième couple (q' ; r') vérifiant
les mêmes conditions.
on a bq + r = bq' + r'  b(q - q') = r' - r .
Alors
0 r < b
donc
-b < -r  0
et
0  r' < b
On en déduit alors que -b < r' - r < b c'est-à-dire
|r' - r| < b
D'autre part r' - r = b(q - q'), donc r' - r est un multiple de b .
Si r' - r était non nul, alors on aurait |r' - r|  | b | c'est-à-dire |r' - r|  b ce qui est en contradiction
avec l'inégalité démontrée précédemment.
On a donc nécessairement r' - r = 0 et par conséquent b(q' - q) = 0, donc q' - q = 0
On obtient alors
r' = r et q' = q.
Le couple (q ; r) est donc unique.
 Démonstration de la division euclidienne sur Î
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Si a est un entier positif ou nul, la propriété a déjà été justifiée.
Considérons un entier a négatif.
Existence
a étant négatif, on considère son opposé -a qui est un entier naturel.
D'après le résultat démontré sur les entiers naturels,
il existe un unique couple (q ; r) , q  IN et r  IN tel que : a = bq + r et r < b
Donc -a = -bq - r = b(-q) - r .
Si r = 0, alors -r = 0 donc -r  IN , et le couple (-q ; -r) répond à la question
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Si r  0 , le couple (-q ; -r) ne répond pas à la question car -r  IN.
On peut alors écrire -a = b(-q - 1) + b - r
On pose q' = -q - 1 et r' = b - r
q'  ZZ ; vérifions que r'  IN.
b et r étant des entiers, b - r est un entier, donc b - r  ZZ.
De plus r  0 et 0 £ r < b , donc 0 < r < b donc -b < -r < 0 donc b - b < b - r < b
donc 0 < b - r < b donc b - r  N et b - r < b
Le couple (-q-1 ; b - r) répond donc à la question.
Unicité
L'unicité du couple se démontre exactement de la même façon
que pour une division euclidienne dans IN
 Démonstration du théorème de Bezout
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux  il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Supposons qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Soit D le PGCD de a et b, alors D divise a et D divise b, donc D divise au + bv . Donc D divise 1. Donc
D = 1.
On en déduit alors que a et b sont premiers entre eux.
Supposons que a et b sont premiers entre eux.
Considérons l'ensemble E des entiers naturels non nuls de la forme au + bv avec u  ZZ et v  ZZ
.
E n'est pas vide (E contient a ou -a, E contient b ou -b, E contient 2a + 3b ou -2a - 3b ...), donc E a un
plus petit élément m.
On peut écrire m = au1 + bv1 avec u1  ZZ et v1  ZZ.
Écrivons la division euclidienne de a par m : a = mq + r avec r  IN et 0 £ r < m .
Donc a = (au1 + bv1)q + r , d'où r = a - (au1 + bv1)q = a(1 - u1 q) + b(-v1 q)
Donc r est un entier naturel de la forme au + bv avec u  ZZ et v  ZZ et d'autre part r < m.
Comme m est le plus petit élément de E, on en déduit que r = 0, c'est-à-dire que a est divisible par m.
De même on démontrerait que b est divisible par m.
Donc m est un diviseur commun à a et b.
Comme a et b sont premiers entre eux, on en déduit que m = 1.
On a donc 1 = au1 + bv1 avec u1  ZZ et v1  ZZ .
 Démonstration de l’algorithme d’Euclide
Soient (a,b)☻Î×Error!
On suppose que a=b×q+r
où 0Âr<b
- Soit d un diviseur commun à a et à b.
Alors d divise a, d divise b et par suite d divise a−bq,
soit d divise r.
Donc d est un diviseur commun à b et à r.
- Soit d un diviseur commun à b et à r,
alors d divise b, d divise r, et par suite d divise bq+r,
soit d divise a.
Donc d est un diviseur commun à a et à b.
L’ensemble des diviseurs communs à a et à b est le même que
l’ensemble des diviseurs communs à b et à r. Les deux
ensembles sont les mêmes, ils possèdent tous deux un plus
grand élément.
Donc PGCD(a,b)=PGCD(b,r)
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 Obstacles rencontrés par les élèves :
- Les contraintes sont souvent oubliées : ex : r<b, ou nb
entiers.
63=12×5+3
D=d ×q+ r
si r=0, il s’agit de multiples.
Si on représente cette division sur une droite graduée, il y
a bijection entre la droite graduée et la D.E.
La D.D. a un lien avec le théorème de Thalès.