5. Prouvons que les triangles ABO et DCO sont isométriques :
- O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC. (Tout point de la médiatrice
d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.)
- O est sur la médiatrice de [AD], donc OA = OD.
- AB = CD d’après la définition du point D.
Les deux triangles ABO et DCO ont donc leurs côtés deux à deux égaux, par
conséquent ces deux triangles sont isométriques.
Considérons maintenant un point M quelconque sur [AB] et le point M’ associé et
prouvons que les deux triangles BOM et COM’ sont isométriques :
- Comme les triangles ABO et DCO sont isométriques, leurs angles sont deux à
deux de mêmes mesures, par conséquent
donc
.
- BM = CM’ d’après la définition du point M’.
- OB = OC car O est sur la médiatrice de [BC].
Les deux triangles BOM et COM’ ont donc un angle de même mesure compris
entre deux côtés deux à deux égaux, par conséquent ces deux triangles sont
isométriques.
Comme les deux triangles BOM et COM’ sont isométriques, on en déduit que leurs
côtés sont deux à deux égaux donc OM = OM’.
Et puisque OM = OM’, le point O est équidistant de M et de M’, donc il se trouve sur la
médiatrice de [MM’].
Conclusion : Pour tout point M du segment [AB], la médiatrice du segment [MM’]
passe par le point O défini au 3). Donc ces médiatrices sont concourantes.