Corrigé de l`activité « Conjecturer et démontrer à l`aide de triangles

Corrigé du TP « Un problème de médiatrices »
1.
A
M
C
B
M'
2. Il semble que lorsque le point M parcourt le segment [AB], les médiatrices de tous les
segments [MM’] passent par un même point. Elles semblent concourantes.
3. Sur la figure précédente, on observe que les médiatrices des segments [MM’] sont
comprises entre deux droites extrêmes :
- L’une correspond au cas où M est en B ; alors BM = 0, donc on a CM’ = BM = 0,
donc M’ est en C ; par conséquent, dans ce cas [MM’] est le segment [BC]. On
place donc sur la figure la médiatrice de [BC].
- L’autre droite extrême correspond au cas où M est en A ; alors BM = BA.
Notons D le point de (AC) extérieur au segment [AC] tel que CD = BA. Quand
M est en A, M’ est en D. Dans ce cas, [MM’] est le segment [AD]. On place
donc sur la figure la médiatrice de [AD].
- On vient de construire deux médiatrices particulières, celle de [BC] et celle de
[AD]. On note O le point d’intersection de ces deux médiatrices.
4. Pour prouver la conjecture du 2), il faut maintenant prouver que la médiatrice de
chaque segment [MM’] passe par le point O que nous avons défini au 3).
Cela revient à prouver que pour chacune de ces médiatrices, OM = OM’.
5. Prouvons que les triangles ABO et DCO sont isométriques :
- O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC. (Tout point de la médiatrice
d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.)
- O est sur la médiatrice de [AD], donc OA = OD.
- AB = CD d’après la définition du point D.
Les deux triangles ABO et DCO ont donc leurs côtés deux à deux égaux, par
conséquent ces deux triangles sont isométriques.
Considérons maintenant un point M quelconque sur [AB] et le point M’ associé et
prouvons que les deux triangles BOM et COM’ sont isométriques :
- Comme les triangles ABO et DCO sont isométriques, leurs angles sont deux à
deux de mêmes mesures, par conséquent ABO  DCO donc MBO = M'CO .
- BM = CM’ d’après la définition du point M’.
- OB = OC car O est sur la médiatrice de [BC].
Les deux triangles BOM et COM’ ont donc un angle de même mesure compris
entre deux côtés deux à deux égaux, par conséquent ces deux triangles sont
isométriques.
Comme les deux triangles BOM et COM’ sont isométriques, on en déduit que leurs
côtés sont deux à deux égaux donc OM = OM’.
Et puisque OM = OM’, le point O est équidistant de M et de M’, donc il se trouve sur la
médiatrice de [MM’].
Conclusion : Pour tout point M du segment [AB], la médiatrice du segment [MM’]
passe par le point O défini au 3). Donc ces médiatrices sont concourantes.