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Classe: 2e1
Corrigé du Contrôle de mathématiques
du jeudi 19 mars
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Question de cours (3 points)
1. Énoncer le théorème du toit.
Réponse: Si deux plans sécants sont parallèles à une droite leur intersection est parallèle à cette droite.
2. Énoncer le théorème relatif à l'intersection d'un plan P avec deux plans parallèles Q et R.
Réponse: Si deux plans Q et R sont parallèles tout plans P qui est sécant à l'un est sécant à l'autre et les intersections
sont deux droites parallèles.
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Exercice 1 (9 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;Å;i,Å;j).
On donne: les points A(3 ; -1) , B(-2 ; 4) et les droites D:y = 2x - 3 et :y = -x + 1.
1. Faire une figure.
2.
Déterminer l'équation réduite de la droite (AB).
y  yA
Le coefficient directeur de la droite (AB) est: m = B
= Error!= -1.
xB  x A
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme: y = -x + p. Comme A appartient à cette droite ses coordonnées vérifient
cette équation d'où: -1 = -3 + p, ce qui donne p = 2: (AB): y = x + 2
3. Déterminer l'équation réduite de la droite (d) passant par le point A et parallèle à la droite D.
Comme les droites D et (d) sont parallèles, elles ont le même coefficient directeur m = 2.
L'équation réduite de la droite (d) est de la forme: y = 2x + p. Comme A appartient à cette droite ses coordonnées vérifient
cette équation d'où: -1 = 6 + p, ce qui donne p = -7: (AB): y = 2x - 7.
4. Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites D et .
Les coordonnées (x;y) du point I doivent vérifier les équations des deux droites. Le couple (x;y) est solution du système:
4

x
 y  2x  3

 y  2x  3
 y  2x  3
 y  2x  3


3
 
 
 
 
.

4
1
x

 y  x 1
2 x  3   x  1
3x  4


y

3


3
Les droites D et  se coupent en I(Error! ; -Error!).
5. Déterminer la fonction linéaire f dont la courbe représentative est parallèle à la droite D.
Le coefficient de la fonction f est égal au coefficient directeur de la droite D, a = 2.
La fonction f est donc définie par: f(x) = 2x.
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Exercice 2 (2 points)
La facture d'électricité mensuelle des abonnés d'une ville V est calculée de la manière suivante: un montant fixe
additionné à un montant variable proportionnel à la consommation.
Un premier abonné consomme 300 kWh par mois et paie 20 $. Un deuxième abonné consomme 450 kWh par mois et
paie 21,5 $. Déterminer la fonction f qui exprime le montant d'une facture, en $, en fonction de la consommation en kWh.
Solution: Soit f la fonction qui exprime le montant d'une facture, en $, en fonction de la consommation en kWh. f est une
fonction affine définie par: f(x) = ax + b, où x est exprimée en kWh et f(x) est exprimée en $.
On a: f(300) = 20 et f(450) = 21,5.
-1
f (300)  f (450)
20  21, 5
On en déduit que a =
=
=
= 0,01. Il en résulte que: f(x) = 0,01x + b.
5;-150
300  450
300  450
Comme f(300) = 20 , 20 = 0,01300 + b ce qui donne b = 17.
D'où: f(x) = 0,01x + 17.
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Exercice 3 (6 points)
1. Dresser un tableau de signes de la fonction g définie par: g(x) = Error!.
x
-2
Error!
-
+
2-3x
+
+
0
x+2
0
+
+
g(x)
||
+
0
2. Résoudre l'inéquation: (3x+2)²-(1-2x)²  0.
 (3x+2)²-(1-2x)²  0  [(3x+2) + (1-2x)][(3x+2) - (1-2x)]  0  (x+3)(5x+1)  0.
 Tableau de signes:
x
-3
-
+
Error!
x+3
0
+
+
5x+1
0
+
(x+3)(5x+1
+
0
0
+
)
L'ensemble solution de l'inéquation est: S = [-3 ; -Error!].
3. Résoudre l'inéquation: Error!> 2.
 Error!> 2  Error!- 2 > 0  Error! > 0
 Error! > 0.
 Tableau de signes:
x
1
3
-
+
-x+3
+
+
0
x-1
0
+
+
||
+
0
Error!
L'ensemble solution de l'inéquation est: S = ]1 ; 3].
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