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F
Fo on nc ct ti io on n e ex xp po on ne en nt ti ie el ll le e
I. Définition de la fonction exponentielle
1) Définition
On appelle fonction exponentielle, notée exp, l’unique fonction dérivable vérifiant :
1)0exp(
)xexp()x(exp' R de x tout Pour
On note e le nombre exp(1).
Remarque :
La fonction exp est continue sur ℝ puisqu’elle est dérivable sur ℝ.
2) Théorème
Pour tout réel x, exp(x) > 0.
Dem que exp(x) > 0
Pour alléger les notations on note f la fonction exponentielle.
Soit la fonction F(x) = f(x).f(-x).
F est définie et dérivable sur ℝ.
F’(x) = f’(x) f(-x) – f’(-x)f(x) = 0 (car f(x) = f’(x) et f’(-x) = f(-x))
Donc F’(x) = 0 pour tout réel x de ℝ, alors F est constante sur ℝ.
Donc F(x) = F(0) = 1.
Ainsi pour tout réel x, on a f(x) f(-x) = 1
Donc pour tout réel x, f(x) ≠ 0.
Supposons qu’il existe un réel a tel que f(a) < 0, alors f(a) f(0) < 0. Donc d’après le théorème
des valeurs intermédiaires dans l’intervalle [a ; 0] ou [0 ; a] ( suivant le signe de a ), il existe
un réel c tel que f(c) = 0. Ce qui est impossible.
Il en résulte que pour tout réel x, f(x) > 0 ou exp(x) > 0.
DEMONSTRATION DE L’UNICITE
Soit f la fonction exp.
Pour tout réel x, on a f(x) f(-x) = 1.
Supposons qu’il existe une autre fonction g définie sur ℝ telle que g’ = g et g(0) = 1.
Soit la fonction h définie sur ℝ par h(x) = g(x) f(-x).
La fonction h est dérivable sur ℝ et h’(x) = g’(x)f(-x) – f’(-x)g(x).
Or g’(x) = g(x) et f’(-x) = f(-x) donc h’(x) = 0 pour tout réel x.
Donc sur l’intervalle ℝ, h est constante et pour tout réel x, h(x) = h(0) = 1.Puisque pour tout
réel x, f(x)f(-x) = 1 et g(x)f(-x) = 1 donc f(x)f(-x) = g(x)f(-x).
Or f(-x)≠ 0 ( théorème précédent ) d’où par division, pour tout réel x, f(x) = g(x).
Il en résulte que f = g. D’où l’unicité de la fonction exponentielle.
Donc, la fonction exponentielle notée exp :
 Est définie et dérivable sur ℝ.

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 Exp(0) = 1
 Pour tout réel x, exp(x) > 0.
 Pour tout réel x, exp’(x) = exp(x).
Exercice 1 feuille
II. Propriétés algébriques
1) Théorème :
Pour tous réels a et b :
exp(a+b) = exp(a) exp(b).
exp(-a) =
)aexp(
1
exp(a – b) =
)bexp(
)aexp(
pour tout n de ℤ, exp(na) =
n
))a(exp(
Dem :
exp(a+b) = exp(a) exp(b).
exp(x)  0
Soit f(x) = .
)xexp(
)yxexp( 
où y est un réel quelconque.
f’(x) = …… = 0
Donc f est constante, donc f(x) = f(0) = exp(y)
D’où exp(x+y) = exp(x).exp(y)/
exp(-a) =
)aexp(
1
Pour tout a de ℝ, exp(a)exp(-a) = exp(a+(-a)) = exp(0) = 1.
D’où exp(-a) =
)aexp(
1
exp(a – b) =
)bexp(
)aexp(
Pour tous réels a et b, exp(a-b) exp(b) = exp(a-b+b) = exp(a)
D’où exp(a – b) =
)bexp(
)aexp(
pour tout n de ℤ, exp(na) =
n
))a(exp(
La dem nécessite un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on note Pn la proposition « exp(nx) = [exp(x)]n;.
P0 est vraie.
Supposons Pn vraie.
Or exp[(n+1)x] = exp(nx+x) = exp(nx) exp(x) ….
La proposition est vraie au rang n+1.
De plus exp(-nx) =
n
n)]x[exp(
)]x[exp(
1
)nxexp(
1
Donc, la propriété est vraie pour tout n entier relatif.

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2) Autre notation
L’image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre réel noté e.
D’après le théorème précédent, exp(n) =
nn e))1(exp( 
Par extension à tout nombre réel x, on note exp(x) =
x
e
.
On lit « exponentielle de x » ou « e exposant x ».
Avec cette nouvelle notation, on a :
1e0
;
ee1
;
e
1
e1
 Pour tous réels a et b
baba eee 
;
b
b
e
1
e
;
ba
b
ae
e
e
;
 Pour tout entier relatif n,
nxnx e)e( 
Ex 2-3-4 feuille
Ex 21-22-23-24-25 p.180-181
III. Etude de la fonction exponentielle
1) Sens de variation
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Dem :
On sait que pour tout x de ℝ, exp’(x) = exp(x).
Or exp(x) > 0.
Ainsi, la fonction exp, ayant une dérivée strictement positive sur ℝ, est strictement
croissante sur ℝ.
2) Limites en +
õ
et en -
õ
x
xelim
= +
õ
x
e
lim x
x
= +õ
Dem : comparaison de ex et x.
h(x) = ex – x
h’(x) = ex – 1
h est croissante sur ]0 ; +
õ
[
h(0) = 1, donc h(x) >0
ex – x > 0
ex > x
puis comparaison des limites
Dem : Soit h la fonction définie sur ℝ+*;
par h(x) =
2
x
e2
x
.
h est dérivable et h’(x) =
xex
, d’après la dem
précédente, pour x>0, h’(x)>0, donc h croissante, donc
h(x)>h(0) = 1>0, d’où
2
x
x
ex
on en déduit par comparaison de fonctions que
x
e
lim x
x
x
xelim
= 0
x
xxelim
= 0
Dem :
x
x
e
1
e
)x(lim x
et
x
xelim
donc
par le théorème sur les
compositions de fonctions
Dem :
x
x
e
x
xe 
D’après le théorème sur les limites de fonctions
composées,
x
e
lim x
x
d’où
0
e
x
lim x
x
et ainsi

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composées, on a
x
xelim
et ainsi
0elim x
x
.
x
xxelim
= 0.
Ex 5 feuille
Ex 41-42-43 p.182
3) Variation de la fonction exponentielle
x
0
1
+
( exp x )’
+
ex
+
õ
e
1
0
4) Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction
admet pour asymptote l’axe (xx’) en -õ.
Une équation de la tangente au point
d’abscisse 0 est y = x + 1.
1
x
1e
lim x
0x 
1)0(exp'
0x
ee
lim
x
1e
lim 0x
0x
x
0x 
Ex 44-45 p.182
Ex 47 à 55 p.182
5) Equations et inéquations
 Quel que soit le réel m strictement positif, l’équation
mex
admet une unique solution
dans ℝ.
ba ee 
équivaut à a = b
ba ee 
équivaut à a < b.
Ex 6-7 feuille
Ex 13 à 20 p.180
Ex 27 à 34 p.181

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IV. Exponentielle d’une fonction
1) Dérivée de eu
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la fonction définie
par f(x) =
)x(u
e
est dérivable sur I et pour tout x de I, f’(x) =
)x(u
e)x('u
Dem : fonction composée
Exemple :
f(x) = e2x
g(x) =
2
x
e
Ex 37-39-39 p.181
Ex 46 à 55 p.182
2) Limites
3) Des fonctions eu particulières
La modélisation de nombreux problèmes, en probabilité, en statistique ou en biologie amène à
l’étude de fonctions de la forme
kx
ex 
ou
2
kx
ex 
, avec k constante positive.
a) Fonctions
kx
kex:f 
Ces fonctions sont positives.
kx
kke)x('f 
Ces fonctions sont décroissantes sur ℝ.
On démontre facilement que
0elim kx
x
et
kx
xelim
.
(xx’) est asymptote à la courbe en +∞.
Tableau de variations
x
-∞
+∞
)x(f'
k
+
k
f
+∞
0
Représentation graphique
b) Fonctions
2
kx
kex:f 
Ces fonctions sont positives et paires
2
kx
kkxe2)x('f 
La dérivée a le signe de –x.
On démontre facilement que
0elim 2
kx
x
et
0elim 2
kx
x
.
(xx’) est asymptote à la courbe en +∞.