sujet 4

Mécanique (Mines de Douai 1991)
Un cylindre de révolution, d'axe vertical et de rayon R, repose sur un plan horizontal et fixe par
rapport à un référentiel galiléen (Ox, Oy, Oz).
On attache une extrémité d'un fil parfaitement flexible, infiniment mince et de masse négligeable, à
la base du cylindre et on l'enroule plusieurs fois dans le sens trigonométrique autour de cette base.
L'autre extrémité du fil est fixée à une particule matérielle M de masse m astreinte à glisser sans
frottement sur le plan horizontal. La partie IM non enroulée du fil est tendue.
On donne : R = 0,2 m ; m = 0,04 kg ; Lo = I0M0 = 0,5 m.
A) À l'instant initial t = 0, on communique à la particule matérielle M, qui est alors en M0, une vitesse v0
horizontale, perpendiculaire à I0M0 et orientée comme l'indiquent les deux schémas ci-dessous.
On donne : v0 = 0,1 m.s–1.
z
O
x
y
I0
I
M0
M
L0
L
R
ur
u
v
0
On admet que le fil, inextensible, reste tendu au cours du mouvement. À l'instant t, on appelle 
l'angle dont s'est enroulé le fil et L la longueur IM du fil non encore enroulé.
1) Donner la relation entre L, L0, R et .
2) Exprimer
OM
avec les vecteurs unitaires
ur
et
u
, en fonction de L0, R et .
3) En déduire l'expression de la vitesse
v
de la particule M avec les vecteurs unitaires
ur
et
u
.
4) Montrer que la norme v de la vitesse reste constante au cours du mouvement.
5) Déduire des questions 3) et 4) la relation entre
d
dt
, , L0, R et v0.
6) Exprimer  en fonction de t, L0, R et v0.
7) Déterminer l'instant final tf pour lequel le fil est entièrement enroulé autour du cylindre.
8) a) Déterminer la tension T du fil en fonction de t, m, L0, R et v0.
b) En réalité, il y a rupture du fil dès que la tension T dépasse la valeur Trup = 5.10–3 N.
Déterminer l'instant trup et l'angle rup lorsque intervient la rupture du fil.
9) Après que le fil s'est rompu, la particule M heurte-t-elle le cylindre, et, si oui, à quel instant ?

B) On reprend le dispositif initial décrit dans l'introduction.
Le cylindre est alors animé, par rapport au référentiel galiléen (Ox, Oy, Oz), d'un mouvement de
rotation autour de son axe vertical Oz, dans le sens horaire, à la vitesse angulaire  constante. Un dispositif
non représenté maintient la particule M fixe par rapport au cylindre, (elle glisse donc sur le plan horizontal
(Ox,Oy)).
À l'instant t = 0, le point I0 du fil se trouve sur l'axe Ox et le dispositif libère la particule M. Soit le
référentiel (Oxc, Oyc, Oz) lié au cylindre et coïncidant, à l'instant t = 0, avec le référentiel (Ox, Oy, Oz).
O z x
y
O z x
y
yc
xc
I0
L0
M0
ur
u
yc
xc
M
I
1) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour la particule M par rapport au référentiel
(Oxc,Oyc,Oz) lié au cylindre.
2) En projetant cette relation suivant
ur
, donner l'équation différentielle vérifiée par  fonction de t,
(on pourra montrer que la dérivée par rapport au temps de
Ld
dt
est une constante).
3) a) Exprimer  en fonction de t, R, L0 et .
b) Calculer l'instant t1 pour lequel le fil s'est déroulé d'un tour.
On donne  = 1,2 rad.s–1.
4) Établir la relation donnant la tension T du fil en fonction de t, R, m, L0 et .