Point mobile dans un cylindre creux, avec et sans frottement

Point mobile dans un cylindre creux, avec et sans frottement.
Du point le plus bas Po d’un cylindre creux, de rayon R et d’axe horizontal, est lancée une particule de
masse m avec une vitesse horizontale
o
v
perpendiculaire à la génératrice passant par Po.
Cette particule , qui se déplace dans le plan de section droite du cylindre de centre O, est repérée à chaque
instant par l’angle
,
o
OP OP
. On désigne par g la valeur du champ de pesanteur, supposé constant.
Partie 1. La particule glisse sans frottement.
1. A l’aide de la seconde loi de Newton, exprimer, en fonction des données m, R, vo et g :
a. le carré
2
de la vitesse angulaire de P en fonction de son élongation angulaire .
On rappelle que :
d d d d
dt d dt d
b. la réaction
()N
du cylindre sur la particule M en P.
2. Calculer l’amplitude
M
de la particule pour
o
v gR
et pour
7
5
o
v gR
.
3. Pour quelles valeurs de la vitesse initiale
o
v
(exprimées en fonction de R et g), la particule sera-
t-elle animée d’un mouvement révolutif (toujours dans le même sens) ?
Partie 2. La particule glisse avec frottement.
La particule glisse maintenant avec frottement à l’intérieur du cylindre, avec un coefficient de
frottement
T
N
, où T et N sont les valeurs des composantes tangentielle et normale de la réaction du
cylindre sur M.
1. Etablir l’équation différentielle non linéaire du second ordre en
t
, qui fait intervenir les
seules données
, et gR
.
2. On donne
1
4
et
7
5
o
v gR
. On pose x =
2
.
Mettre l’équation différentielle précédente sous la forme :
( cos cos )
dx g
ax b c
dR
.
Déterminer les coefficients numériques a, b et c.
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
( cos sin ).
ag
x Ke A B
R
En
reportant cette solution dans l’équation différentielle en x, et en procédant par identification,
déterminer les coefficients A et B.
En considérant l’état initial déterminer l’expression de K.
Exprimer
2
en fonction de , g et R.
En déduire la loi
()N
.
3. Calculer la valeur maximale
'M
de l’élongation.
DTL1. 05/06.