Les nombres complexes

Cosinus et sinus
remarquables
Angle Cosinus
0
1

3
6
2

2
4
2
1

2
3
0

2
2
-1
2
3
3
- 2
4
2
5
- 3
6
2
-1

3
-
6
2
2
-
4
2
1
-
2
3
0
-
2
-1
- 2
2
3
- 3
4
- 5
6
- 2
2
- 3
2
Sinus
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
2
- 2
2
- 3
2
-1
- 3
2
- 2
2
-1
2
Formules
cos (-x)=cos x
sin (-x)=-sin x
cos (  -x)=-cos x
sin (  -x)=sin x
cos (  +x)=-cos x
sin (  +x)=-sin x
cos (  -x)=sin x
2
sin (  -x)=cos x
2
Nombres complexes
i²=-1
Forme algébrique
z=a+ i b
Re(z)=a
Im(z)=b
Identités remarquables
(a+ i b)(a- i b)=a²+b²
(a+ i b)²=a²+2ab i -b²
(a- i b)²=a²-2ab i -b²
Conjugué
z aib
Formules
z  z ' z  z '
z z 'z*z '
1 1
z z
zz
z' z '
z n z n
Equations du second degré
ax²+bx+c=0
 =b²-4ac
* Δ>0, donc  existe
2 solutions réelles :
 b 
2a
 b 
2a
r= x² y²
θ est tel que :


cos(θ)= x
r
y
sin(θ)=
r
Image
M(a;b) est le point image du
complexe z=a+ i b
Affixe
Le complexe z=a+ i b est
l’affixe du point M(a;b)
* Δ=0
1 solution réelle :
 b
2a
* Δ<0, -Δ>0 donc 
existe
2 solutions complexes
conjuguées
 bi 
2a
 bi 
2a
Le module et un argument
du nombre complexe
z=a+ i b sont respectivement
les coordonnées polaires du
point M(a;b)
Module de z : |z|
Argument de z : arg(z)
Conversions de coordonnées
z=r(cos(θ)+ i sin(θ))
r>0
De polaires à cartésiennes
A(r;θ)=A(rcos(θ);rsin(θ))
De cartésiennes à polaires
A(x;y)
Module et argument
Forme trigonométrique
Formules
z=r(cos(θ)+ i sin(θ))
z’=r’(cos(θ’)+ i sin(θ’))
zz’=rr’(cos(θ+θ’)+ i sin(θ+θ’))
1 =  1  (cos(-θ)+ i sin(-θ))
z r
z =  r  (cos(θ-θ’)+ i sin(θz'  r ' 
θ’))
 |zz’|=|z|*|z’|
arg(zz’)=arg(z)+arg(z’)
 1=1
z z
arg( 1 )=-arg(z)
z
z = z
z' z'

arg( z )=arg(z)-arg(z’)
z'
|zn|=|z|n
arg(zn)=n*arg(z)

Forme exponentielle
zrei
r(cos()isin( ))rei
Exponentielles remarquables
i
e 2 i
ei 1
i 
e 2 i
i 3
2e 4 1i
etc…
Formules
Soient r et r’  R et  et
 ’ R
rei*r'ei"rr'ei( ")
1 1ei
rei r
rei r i( ")
 e
r'ei" r'
(rei )nr nein
Formules d’Euler
ei ei
2
ei ei
sin( )
2i
cos()
Formules de Moivre
(cos()isin( ))ncos(n)isin( n)
(cos()isin( ))n(ei )n
cos(n)isin( n)ein
Nombres complexes et
géométrie
Le point A a pour affixe zA
Le point B a pour affixe zB
Le point I milieu de [AB] a
pour affixe : zI  zA zB
2

zA B zB zA
G barycentre de
(A;  )(B;  ) :   0
z  zB
zG  A
 
|zM|=OM
|zB-zA|=AB


arg z M   u ; O M
 
arg z B  z A   u ; A B
 
 z z 
arg A B   D C; B A
 zC  z D 
 z   
arg u   v ; u 
 zv 






Transformations du plan
Translation :

Soit u un vecteur du plan. La

translation de vecteur u est la
transformation du plan qui, à
tout point M, associe le point
 
M’ tel que MM '  u .
Ecriture complexe d’une
translation : z’=z+b (où b  C

et b affixe de u )
Homothétie :
Soit k  R* et I un point du
plan. L’homothétie de centre I
et de rapport k est la
transformation du plan qui, à
tout point M, associe le point


M’ tel que IM '  kIM .
Ecriture complexe d’une
homothétie : z  k z  z I  z I


Rotation :
Soit I un point du plan et 
un réel. La rotation de
centre I et d’angle  est la
transformation du plan qui,
à tout point M, associe le
point M’ tel que IM’=IM et


( IM ; IM ' )  
Ecriture complexe d’une
rotation :
z  ei ( z  zI )  zI