Les nombres complexes

Cosinus et sinus
remarquables
Angle
Cosinus
Sinus
0
1
0
6
2
3
2
1
4
2
2
2
2
3
2
1
2
3
2
0
1
3
2
-
2
1
2
3
4
3
-
2
2
2
2
6
5
-
2
3
2
1
-1
0
-
6
2
3
-
2
1
-
4
2
2
-
2
2
-
3
2
1
-
2
3
-
2
0
-1
-
3
2
-
2
1
-
2
3
-
4
3
-
2
2
-
2
2
-
6
5
-
2
3
-
2
1
Formules
cos (-x)=cos x
sin (-x)=-sin x
cos ( -x)=-cos x
sin ( -x)=sin x
cos ( +x)=-cos x
sin ( +x)=-sin x
cos (
2
-x)=sin x
sin (
2
-x)=cos x
Nombres complexes
i²=-1
Forme algébrique
z=a+
i
b
Re(z)=a
Im(z)=b
Identités remarquables
(a+
i
b)(a-
i
b)=a²+b²
(a+
i
b)²=a²+2ab
i
-b²
(a-
i
b)²=a²-2ab
i
-b²
Conjugué
ibaz 
Formules
'' zzzz 
'*' zzzz 

zz 11
'' z
z
z
z
n
nzz 
Equations du second degré
ax²+bx+c=0
=b²-4ac
* Δ>0, donc existe
2 solutions réelles :
a
b2
a
b2
* Δ=0
1 solution réelle :
a
b
2
* Δ<0, -Δ>0 donc
existe
2 solutions complexes
conjuguées
a
ib 2
a
ib 2
Conversions de coordonnées
De polaires à cartésiennes
A(r;θ)=A(rcos(θ);rsin(θ))
De cartésiennes à polaires
A(x;y)
r=
²² yx 
θ est tel que :
 cos(θ)=
r
x
 sin(θ)=
r
y
Image
M(a;b) est le point image du
complexe z=a+
i
b
Affixe
Le complexe z=a+
i
b est
l’affixe du point M(a;b)
Module et argument
Le module et un argument
du nombre complexe
z=a+
i
b sont respectivement
les coordonnées polaires du
point M(a;b)
Module de z : |z|
Argument de z : arg(z)
Forme trigonométrique
z=r(cos(θ)+
i
sin(θ))
r>0
Formules
z=r(cos(θ)+
i
sin(θ))
z’=r’(cos(θ’)+
i
sin(θ’))

zz’=rr’(cos(θ+θ’)+
i
sin(θ+θ’))
z
1
=
r
1
(cos(-θ)+
i
sin(-θ))
'z
z
=
'r
r
(cos(θ-θ’)+
i
sin(θ-
θ’))
 |zz’|=|z|*|z’|
arg(zz’)=arg(z)+arg(z’)
z
1
=
z
1
arg(
z
1
)=-arg(z)
'z
z
=
'z
z
arg(
'z
z
)=arg(z)-arg(z’)
 |zn|=|z|n
arg(zn)=n*arg(z)
Forme exponentielle
i
rez
i
reir  ))sin()(cos(
Exponentielles remarquables
iei
2
1
i
e
ie i
2
iei 12 4
3
etc…
Formules
Soient r et r’
R
et et
’
R
)"(
"''*
i
ii errerre
i
ie
rre 
11
)"(
"''
i
i
ie
r
r
er
re
innni erre )(
Formules d’Euler
2
)cos(
ii ee 
i
ee ii
2
)sin(
Formules de Moivre
)sin()cos())sin()(cos( nini n
nin ei )())sin()(cos(
in
enin  )sin()cos(
Nombres complexes et
géométrie
Le point A a pour affixe zA
Le point B a pour affixe zB

Le point I milieu de [AB] a
pour affixe :
2B
A
Izz
z
A
B
BA zzz 
G barycentre de
(A; )(B; ) :
0
B
A
Gzz
z
|zM|=OM
|zB-zA|=AB
MOuzM
;arg 
BAuzz AB
;arg 
ABCD
zz zz
DC
BA ;arg 
uv
z
z
v
u
;arg 
Transformations du plan
Translation :
Soit
u
un vecteur du plan. La
translation de vecteur
u
est la
transformation du plan qui, à
tout point M, associe le point
M’ tel que
uMM 
'
.
Ecriture complexe d’une
translation : z’=z+b (où b C
et b affixe de
u
)
Homothétie :
Soit k R* et I un point du
plan. L’homothétie de centre I
et de rapport k est la
transformation du plan qui, à
tout point M, associe le point
M’ tel que
MIkMI 
'
.
Ecriture complexe d’une
homothétie :
II zzzkz 
Rotation :
Soit I un point du plan et
un réel. La rotation de
centre I et d’angle est la
transformation du plan qui,
à tout point M, associe le
point M’ tel que IM’=IM et
)';( 
MIMI
Ecriture complexe d’une
rotation :
II
izzzez 
)(