reconnaitre 1 fonction lineaire

RECONNAITRE 1 FONCTION LINEAIRE
1 fonction linéaire correspond à une situation de proportionnalité
Nombre de
baguettes
Prix à payer (en €)
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,32
0,64
0,96
1,28
1,6
1,92
2,24
2,56
le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité, car on passe de la première à la
deuxième ligne en multipliant toujours par le même nombre, à savoir 0,64. Ce nombre est le
coefficient de proportionnalité du tableau, on l'appelle le coefficient de la fonction
linéaire
.
Définition
Étant donné un nombre a,
=le procédé de calcul qui, à tout nombre x, associe le nombre ax est une fonction linéaire de
=le processus ou je multiplie par a
coefficient a
Notations
On désigne souvent les fonctions par les lettres f, g ou h.
On écrit f : x
ax.
Cela signifie : f est la fonction linéaire qui, à tout nombre x, associe le nombre ax, appelé
image de x par la fonction f.
Par exemple, si f est la fonction linéaire
, alors f (x) = 4x. Au lieu d'écrire
peut écrire f (1) = 4 pour exprimer le fait que 4 est l'image de 1 par la fonction f.
, on
On écrit aussi : soit f définie par f(x) = ax.
f est une fonction et x est le nombre dont on cherche l'image par f.
f(x) est donc l'image de x.
Exemple
Soit f définie par f(x) = 1,45x. On veut calculer l'image de -3,2 par f.
On calcule 1,45 × (-3,2) et on écrit : f(-3,2) = -4,64.
Application à la proportionnalité
À toute situation de proportionnalité correspond une fonction linéaire. Ainsi, au tableau de
proportionnalité ci-dessous correspond la fonction linéaire f, définie par : f(x) = 2,6x.
DETERMINER 1 FONCTION LINEAIRE
pour déterminer une fonction linéaire, il suffit de trouver son coefficient.
On connaît l’image d’1 nombre non nul donné
f est la fonction linéaire telle que -12 a pour image 28.
Déterminer f.
f étant définie par une relation de la forme f(x) = ax, il s'agit de calculer a.
f(-12) = 28 ; donc a × (-12) = 28, on obtient alors :
a=
=-
=-
.
Conclusion : f est définie par f(x) = -
x.
A partir d’ 1 graphique
Exemple : on veut déterminer la fonction linéaire représentée sur la figure par la droite D.
On détermine par lecture graphique les coordonnées d'un point M (distinct de O) de la
droite : ici M a pour coordonnées (–5 ; 3).
Notons
la fonction linéaire à déterminer. Dire que le point M est sur la droite qui
représente cette fonction linéaire, c'est dire que
. D'autre part, en remplaçant x par
–5 dans l'écriture
, on obtient
.
En identifiant ces deux écritures, on obtient : a × (–5) = 3, soit a = 3 ÷ (–5) = –0,6.
La fonction linéaire cherchée est donc :
.
FONCTION AFFINE
Nombre de minutes de connexion
Prix payé (en €)
0
1
2
3
4
5
6
0,02
0,22
0,42
0,62
0,82
1,02
1,22
Pour calculer le prix payé (en €), il faut multiplier le nombre de minutes de connexion par 0,20 puis ajouter
0,02.
Si on appelle x le nombre de minutes de connexion, le prix payé (en €) sera donc égal à : 0,20x + 0,02.
Par conséquent, la fonction qui au nombre x de minutes de connexion fait correspondre le prix payé est :
Les fonctions de ce type sont appelées fonctions affines.
Définition
Soit a et b deux nombres fixés ; la fonction qui à un nombre x fait correspondre le nombre ax + b est appelée
fonction affine ; cette fonction est notée
. = processus où je multiplie par a et j’ajoute b
Ainsi, la fonction
est une fonction affine. A = 2 et b = 5
Questions classiques
Question 1 : déterminer les images de 4, et –2,4 par la fonction affine
Pour x = 4, on a
Pour
, soit
, on a
, soit
Pour x = –2,4, on a
.
; l'image de 4 est 22.
; l'image de est
, soit
.
; l'image de –2,4 est –10.
Question 2 : parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont affines et préciser alors
les valeurs de a et de b si ces fonctions affines sont notées sous la forme
.
;
La fonction
La fonction
La fonction
La fonction
;
;
;
;
.
est affine : a = –6 et b = –2.
est affine : a = 12 et b = 0. Cette fonction est aussi linéaire.
est affine :
et b = –5,2.
est affine : a = 0 et b = 5,4. Il s'agit d'une fonction constante.
Les deux autres fonctions ne sont pas affines.
Représenter graphiquement une fonction affine
PROPRIETE
Dans un plan muni d'un repère (O ; I ; J), la représentation graphique de la fonction affine
x
ax + b est la droite d'équation : y = ax + b.
a est le coefficient directeur de la droite et b est son ordonnée à l'origine.
L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point où la droite d'équation y = ax + b coupe l'axe des
ordonnées. En effet, pour x = 0, on obtient y = a × 0 + b, soit y = b ; cela correspond au point de
coordonnées (0 ; b) sur le graphique, comme le montre la figure 2.
Soit la fonction affine f définie par f(x) = 2x - 1.
Sa représentation graphique est la droite D d'équation y = 2x - 1.
Pour construire D, deux points suffisent ; par exemple :
A (-1 ; -3) et B (1 ; 1).
A (-1 ; -3) appartient à D ; donc f(-1) = -3.
De même, f(1) = 1.
CAS PARTICULIERS
On a f(x) = b.
La fonction f est constante :
sa représentation graphique est une droite d'équation : y = b.
Cette droite est parallèle à l'axe des abscisses.
On a f(x) = ax.
La fonction f est linéaire :
sa représentation graphique est une droite d'équation : y = ax, qui passe par l'origine du
repère.
DETERMINER 1 FONCTION AFFINE PAR CALCUL
On connaît les images de deux nombres donnés
Appuyons-nous sur un exemple : il s'agit de déterminer la fonction affine telle que
Toute application affine est de la forme
et
Pour x = 2, on obtient :
.
. Calculons a et b.
Pour cela, on écrit que pour x = 4, on obtient
En identifiant les écritures
et
.
, on obtient l'équation : 4a + b = 5.
.
En identifiant les écritures
et
, on obtient l'équation : 2a + b = –1.
On doit donc résoudre un système de deux équations dont les inconnues sont a et b :
Résolvons ce système par substitution ; on obtient successivement :
;
;
;
La fonction affine cherchée est donc :
;
;
.
.
Déterminer une fonction affine par un graphique
on veut déterminer la fonction affine représentée sur la figure par la droite D.
Désignons par
la fonction affine à déterminer.
Par lecture graphique, on détermine l'ordonnée à l'origine de la droite D, c'est-à-dire la valeur de b :
on lit ici b = 3.
La fonction affine cherchée est donc du type
; il reste à déterminer la valeur de a.
Pour cela, on détermine les coordonnées d'un point M de la droite par lecture graphique : soit M le
point de coordonnées (2 ; 7).
Dire que ce point est sur la droite qui représente la fonction affine, c'est dire que
D'autre part, en remplaçant x par 2 dans l'écriture
En identifiant ces deux écritures, on obtient : 2a + 3 = 7.
Cette équation équivaut successivement à :
2a = 7 – 3
2a = 4
a=2
La fonction affine cherchée est donc :
.
, on obtient :
.
.