Exercices 20

MPSI CHAPITRE 20
EXERCICES
20-1 Tige tombant sur le sol
On étudie la chute d'un système S composé d'une tige sans masse et de deux masses m placées aux extrémités de la tige,
aux points A et B. Le point A est en contact avec le sol, sur lequel il se déplace sans frottement.
Le point B est lâché avec une vitesse initiale nulle depuis un angle (0
[
2
;0] 
par rapport à l'horizontale (O;
x
e
) liée au
référentiel terrestre R g(O;
x
e
,
y
e
,
z
e
) supposé galiléen. Le point O se trouve, à t = 0, à la verticale du centre d'inertie G du
système.
.
x
e
y
e
z
eO
A(m)
B(m)
G
.
x
e
y
e
z
eO
A(m)
B(m)
G
1) Déterminer les caractéristiques du mouvement du centre d'inertie G du système S.
2) Déterminer l'équation différentielle du mouvement d'inconnue (t). (On appliquera le théorème du centre de masse et le
théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique)
Déterminer l'accélération de G juste au moment où le point B de la tige touche le sol.
3) Déterminer la vitesse de G au moment où la tige touche le sol. (On appliquera le théorème de l'énergie mécanique et on
pourra appliquer le second théorème de Kœnig pour faciliter le calcul de l'énergie cinétique).
20-2 Étoile double
On considère un système matériel S constitué de deux corps ponctuels M1 et M2 de masses m1 et m2 en interaction
gravitationnelle. On suppose que S est un système isolé, étudié dans le référentiel galiléen R g d'origine O. On appelle K le centre
d'inertie du système S.
1) Appliquer la deuxième loi de Newton à M1 puis à M2 dans R g.
2) Montrer que le référentiel barycentrique R * du système S est galiléen.
3) Définir la particule réduite (ou mobile équivalent) M ainsi que l'équation différentielle vérifiée par son vecteur position.
4) Montrer que l'énergie mécanique barycentrique de la particule réduite M est celle du système S dans R *.
5) Montrer que le moment cinétique barycentrique de la particule réduite M est celui du système S dans R *.
6) On considère une étoile double composée de deux astres assimilés à deux points matériels formant un système isolé en
mouvements quasi circulaires autour du centre d'inertie K de l'étoile double.
Données:
• Le rayon de la trajectoire de M2 est 4 fois plus grand que celui de la trajectoire de M1.
• La distance entre les deux astres est 10.109 km.
• La période de révolution de l'étoile double est 100 ans. En déduire les masses m1 et m2 de M1 et M2.
20-3 Expérience de Rutherford (1911)
Une cible formée par une feuille d'or de très faible épaisseur (0,5 µm) est bombardée par des particules  provenant d'un
morceau de radium. Les particules sont reçues sur un écran au sulfure de zinc où elles provoquent une scintillation qui permet de
mesurer les déviations qu'elles ont subies. L'expérience montre que l'immense majorité des particules traversent la cible sans être
déviées, alors que certaines d'entre elles subissent une déviation parfois supérieure à 90°.
Les particules  interagissent par les forces électrostatiques avec la distribution de charges de la matière. On savait à
l'époque que la charge négative était portée par des particules légères, les électrons, de masse environ 8 000 fois plus faible que
celle d'une particule . Il s'ensuit que, dans le référentiel du laboratoire, les déviations angulaires produites par leurs collisions sont
très faibles, même si l'on tient compte des vitesses plausibles des électrons dans la matière. Au contraire la distribution de charge
positive, à laquelle est associé l'essentiel de la masse, doit pouvoir produire des déviations importantes.

*
*
*
*
*
plomb
radium
or
écran
ZnS
*
*
*
*
*
plomb
radium
or
écran
ZnS
Rutherford a supposé que ces fortes déviations étaient donc dues à la répulsion électrostatique entre les particules α et la
partie de l'atome chargée positivement; d'autre part, le fait que ces déviations soient rares, en dépit du grand nombre de couches
atomiques traversées, suggère que cette charge positive est répartie dans une petite région de l'espace :le noyau de l'atome.
Données numériques :
unité de masse atomique : u = 1,67.10–27 kg charge élémentaire : e = 1,602.10–19 C
permittivité du vide : 0 = 8,854.10–12 F.m–1 vitesse initiale des particules  : v02 = 17.106 m.s–1
particules  (
24
2He
) : Z2 = 2 , A2 = 4. noyaux d'or (
79197
79Au
) : Z1 = 79 ; A1 = 197
1) On considère une charge q1 fixe en O et une particule de masse m, de charge q2 arrivant de l'infini avec une vitesse
0
v
dont la trajectoire passe à la distance b (paramètre d'impact) du point O.
On prend l'axe Ox dans la direction de
0
v
et en sens inverse.
Le point M est repéré par ses coordonnées polaires dans le plan
0
v,O
par OM = r et
 OM,ex
= . À t = 0, r =∞,
 = 0 et
 0
vv
. On pose
r
1
u
et
2
00
21
mv4
qq
.
a) Démontrer que le mouvement de M est un mouvement à accélération centrale de constante des aires C = b v0.
b) Démontrer que u est de la forme
)cos(A
b
u0
2
(avec A > 0). Que représente 0 ?
c) Calculer A et 0 en fonction de  et b.
d) On note  la déviation subie par la particule. Exprimer
2
tan
avec  et b.
e) On note d = OS la distance la plus courte de la particule  au point O au cours de son trajet. Exprimer d avec  et b.
O
S
r
M
b
x
0
v
m
v
O
S
r
M
b
x
0
v
m
v

Exprimer avec  la valeur minimale dm de d après avoir précisé pour quelle valeur de b elle est obtenue et à quelle
valeur de  elle correspond.
f) Exprimer la norme vm de la vitesse de M au point S avec v0,  et b.
Vers quelle limite tend vm quand b tend vers 0 ?
2) On tient compte maintenant de ce que la masse du noyau d'or est mise en mouvement à l'approche de la particule .
Le mobile M étudié précédemment est en fait le mobile équivalent au système {M1,M2} formé par le noyau d'or et la
particule  et O est le barycentre des masses de ce système.
a) Exprimer  avec A1, A2, Z1, Z2, u, v02, 0 et e
b) Montrer que le paramètre d'impact réel (distance entre la trajectoire initiale de la particule  et le noyau d'or) est bien b.
c) Exprimer et calculer numériquement la valeur minimale de la distance entre M1 et M2 au cours du mouvement lorsque
celle-ci est la plus petite possible.
20-4 Modèle de Bohr des atomes hydrogénoïdes (complément à l'exercice 18-3)
m représentant la masse de l'électron, dans l'hypothèse du noyau fixe en O et de l'électron tournant sur une orbite
circulaire avec un moment cinétique en O quantifié par L0 =
2
h
n
, on a obtenu dans l'exercice 18-3 l'expression de l'énergie
électronique :
2
2
0
2
4
nh8
me
E
.
(Les valeurs des constantes universelles nécessaires sont données dans l'exercice 18-3).
1) En déduire l'expression et la valeur numérique de la constante de Rydberg limite R∞ qui correspond au cas où la masse du
noyau de l'hydrogénoïde est infiniment plus grande que celle de l'électron.
2) La masse du noyau
 )1Z(A
ZX
de l'hydrogénoïde est environ m' = Au (u représentant l'unité de masse atomique, masse
approchée d'un proton ou d'un neutron , u = 1,67.10–27 kg).
Exprimer la constante de Rydberg RX de cet hydrogénoïde avec R∞, A, u et m.
3) Calculer numériquement RX pour
H
1
1
,
H
2
1
,
He
4
2
et
36
3Li
. Comparer à R∞, que constate-t-on ?