Systèmes de deux points

TD Physique - Systèmes de deux points - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Systèmes de deux points
I - Système isolé de deux étoiles ⋆⋆
De nombreuses étoiles sont associées en couple (ou doublet) et ces étoiles dites doubles occupent une place de
choix dans l’astronomie d’observation, car elles offrent un moyen direct de mesure des masses stellaires. Les deux
étoiles formant le doublet S sont assimilées à deux points matériels M1et M2de masses respectives m1et m2en
mouvement dans un référentiel Rggaliléen. Chacun de ces deux éléments n’est soumis qu’à la force de gravitation
exercée par l’autre. L’étude de S est effectuée dans le référentiel R∗du centre d’inertie I des deux masses. On
notera :
•la masse réduite µ=m1m2
m1+m2
•la position relative de M2par rapport à M1
−→
r=−−−−→ M1M2
•la vitesse relative de M2par rapport à M1
−→
v=d−→
r
dt
1Rappeler la définition du référentiel barycentrique R∗du système des deux étoiles. Est-il en général galiléen ?
Est-il galiléen avec les hypothèses adoptées pour l’étoile double ?
2Rappeler brièvement le principe et l’intérêt de la réduction canonique du problème à deux corps.
3Deux étoiles Alpha et Beta, composantes de l’étoile double, décrivent des orbites circulaires de centre I et de
rayons respectifs r1et r2. Exprimer la période orbitale T0de chaque étoile en fonction de G,m1,m2et r=r1+r2.
Déterminer les masses m1et m2des deux étoiles sachant que G= 6,67.10−11 N.m2.kg−2,r1= 1,0.109km,
r2= 5,0.108km et T0= 44,5années.
4Faire un schéma représentant le système S en respectant le rapport des masses m1et m2.
II - Système pseudo isolé de deux particules liées par un ressort ⋆⋆
Le référentiel du laboratoire Rg(O;−→ ex,−→ ey,−→ ez)est supposé galiléen.
Deux particules ponctuelles M1et M2de masses respectives m1= 2 met m2=msont liées par un ressort de
masse négligeable, de constante de raideur ket de longueur à vide ℓ0. Elles sont astreintes à glisser sans frottement
le long d’un axe (Ox), leurs positions respectives étant repérées par les abscisses x1et x2.
−→
ey
−→
ez
−→
ex
−→
g
M2 M1k
x
x1X
x2
À l’instant t= 0, les vitesses et positions initiales des deux particules dans Rgsont ˙x1(0) = v1(0) = 0,˙x2(0) =
v2(0) = 0,x1(0) = 0,x2(0) = ℓ0+D. La position relative de la particule M2par rapport à la particule M1est
notée X(t) = x2(t)−x1(t).
1

TD Physique - Systèmes de deux points
1Déterminer la vitesse du centre de masse G du système S des deux particules. Le référentiel barycentrique R∗
des deux particules est-il galiléen ?
2Pour l’étude du mouvement dans R∗, exprimer les caractéristiques du mobile réduit M. Exprimer GM 1=x∗
1
et GM2=x∗
2en fonction de X.
3Par une étude dynamique, exprimer x∗
1et x∗ 2dans R∗. Déterminer les équations horaires x1(t)et x2(t)dans le
référentiel du laboratoire.
4Déduire de la question précédente l’équation horaire du mouvement de la particule M2lorsque la particule M1
est fixée à l’origine O du référentiel du laboratoire.
5Revenons au cas où la particule M1est libre de se déplacer. Donner l’énergie cinétique du système S dans le
référentiel barycentrique et son énergie cinétique dans le référentiel du laboratoire.
6Quelle est l’énergie potentielle du sytème ?
7Déduire de l’énergie mécanique barycentrique l’équation différentielle du mouvement du mobile réduit vérifiée
par X(t).
III - Oscillations d’un système à deux degrés de liberté ⋆⋆
Le référentiel terrestre R(O;−→ ex,−→ ey,−→ ez)est supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est uniforme et la
résistance de l’air négligeable.
−→
g
θ
ℓ
M2
y
x
M1
−→
ez
−→
ex
−→
ey
Un pendule est constitué d’un point matériel M2de masse m2relié par une tige rigide sans masse de longueur
ℓà un point matériel M1mobile, de masse m1et pouvant glisser sans frottement sur l’axe horizontal (Ox), sans
vitesse initiale. La position de M2par rapport à M1est repérée par l’angle θet la position de M1sur l’axe (Ox)
par l’abscisse x.
À l’instant initial t= 0, la particule M2est abandonnée sans vitesse initiale d’un angle θ0dans le plan (Oxy).
Elle reste dans ce plan tout au long de son mouvement étudié dans le cas des petites oscillations où θet ˙ θsont des
infiniment petits d’ordre 1.
1Intégrale première de la quantité de mouvement : en appliquant le théorème de la quantité de mouvement au
système {M1, tige, M2}, déterminer ˙xen fonction de ℓ,m1,m2et ˙ θ.
2Intégrale première de l’énergie : à partir de l’énergie mécanique du système, déterminer la pulsation ωdes
petites oscillations du pendule.
3Retrouver l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ(t)en appliquant le théorème du moment ciné-
tique à M2dans le référentiel R1de la particule M1.
4Retrouver cette équation en raisonnant dans le référentiel barycentrique R∗et en introduisant le mobile réduit.
5Analyser la situation où m1≫m2.
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