Systèmes de deux points

TD Physique - Systèmes de deux points - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Systèmes de deux points
I - Système isolé de deux étoiles ⋆⋆
De nombreuses étoiles sont associées en couple (ou doublet) et ces étoiles dites doubles occupent une place de
choix dans l’astronomie d’observation, car elles offrent un moyen direct de mesure des masses stellaires. Les deux
étoiles formant le doublet S sont assimilées à deux points matériels M1 et M2 de masses respectives m1 et m2 en
mouvement dans un référentiel Rg galiléen. Chacun de ces deux éléments n’est soumis qu’à la force de gravitation
exercée par l’autre. L’étude de S est effectuée dans le référentiel R∗ du centre d’inertie I des deux masses. On
notera :
m1 m2
• la masse réduite µ =
m1 + m2
−−−−→
→
• la position relative de M2 par rapport à M1 −
r = M1 M2
−
d→
r
→
• la vitesse relative de M2 par rapport à M1 −
v =
dt
1 Rappeler la définition du référentiel barycentrique R∗ du système des deux étoiles. Est-il en général galiléen ?
Est-il galiléen avec les hypothèses adoptées pour l’étoile double ?
2 Rappeler brièvement le principe et l’intérêt de la réduction canonique du problème à deux corps.
3 Deux étoiles Alpha et Beta, composantes de l’étoile double, décrivent des orbites circulaires de centre I et de
rayons respectifs r1 et r2 . Exprimer la période orbitale T0 de chaque étoile en fonction de G, m1 , m2 et r = r1 + r2 .
Déterminer les masses m1 et m2 des deux étoiles sachant que G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg−2 , r1 = 1, 0.109 km,
r2 = 5, 0.108 km et T0 = 44, 5 années.
4 Faire un schéma représentant le système S en respectant le rapport des masses m1 et m2 .
II - Système pseudo isolé de deux particules liées par un ressort ⋆⋆
→
→
→
Le référentiel du laboratoire Rg (O; −
ex , −
ey , −
ez ) est supposé galiléen.
Deux particules ponctuelles M1 et M2 de masses respectives m1 = 2 m et m2 = m sont liées par un ressort de
masse négligeable, de constante de raideur k et de longueur à vide ℓ0 . Elles sont astreintes à glisser sans frottement
le long d’un axe (Ox), leurs positions respectives étant repérées par les abscisses x1 et x2 .
−
→
ez
−
→
g
−
→
−
→
ey ex
O
k
M1
M2
x
x1
X
x2
À l’instant t = 0, les vitesses et positions initiales des deux particules dans Rg sont ẋ1 (0) = v1 (0) = 0, ẋ2 (0) =
v2 (0) = 0, x1 (0) = 0, x2 (0) = ℓ0 + D. La position relative de la particule M2 par rapport à la particule M1 est
notée X(t) = x2 (t) − x1 (t).
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TD Physique - Systèmes de deux points
1 Déterminer la vitesse du centre de masse G du système S des deux particules. Le référentiel barycentrique R∗
des deux particules est-il galiléen ?
2 Pour l’étude du mouvement dans R∗ , exprimer les caractéristiques du mobile réduit M. Exprimer GM 1 = x∗1
et GM 2 = x∗2 en fonction de X.
3 Par une étude dynamique, exprimer x∗1 et x∗2 dans R∗ . Déterminer les équations horaires x1 (t) et x2 (t) dans le
référentiel du laboratoire.
4 Déduire de la question précédente l’équation horaire du mouvement de la particule M2 lorsque la particule M1
est fixée à l’origine O du référentiel du laboratoire.
5 Revenons au cas où la particule M1 est libre de se déplacer. Donner l’énergie cinétique du système S dans le
référentiel barycentrique et son énergie cinétique dans le référentiel du laboratoire.
6 Quelle est l’énergie potentielle du sytème ?
7 Déduire de l’énergie mécanique barycentrique l’équation différentielle du mouvement du mobile réduit vérifiée
par X(t).
III - Oscillations d’un système à deux degrés de liberté ⋆⋆
→
→
→
Le référentiel terrestre R (O; −
ex , −
ey , −
ez ) est supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est uniforme et la
résistance de l’air négligeable.
−
→
y
g
M1
O
x
ℓ
θ
−
→
ey
−
→
→
ez −
ex
M2
Un pendule est constitué d’un point matériel M2 de masse m2 relié par une tige rigide sans masse de longueur
ℓ à un point matériel M1 mobile, de masse m1 et pouvant glisser sans frottement sur l’axe horizontal (Ox), sans
vitesse initiale. La position de M2 par rapport à M1 est repérée par l’angle θ et la position de M1 sur l’axe (Ox)
par l’abscisse x.
À l’instant initial t = 0, la particule M2 est abandonnée sans vitesse initiale d’un angle θ0 dans le plan (Oxy).
Elle reste dans ce plan tout au long de son mouvement étudié dans le cas des petites oscillations où θ et θ̇ sont des
infiniment petits d’ordre 1.
1 Intégrale première de la quantité de mouvement : en appliquant le théorème de la quantité de mouvement au
système {M1 , tige, M2 }, déterminer ẋ en fonction de ℓ, m1 , m2 et θ̇.
2 Intégrale première de l’énergie : à partir de l’énergie mécanique du système, déterminer la pulsation ω des
petites oscillations du pendule.
3 Retrouver l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ(t) en appliquant le théorème du moment cinétique à M2 dans le référentiel R1 de la particule M1 .
4 Retrouver cette équation en raisonnant dans le référentiel barycentrique R∗ et en introduisant le mobile réduit.
5 Analyser la situation où m1 ≫ m2 .
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