DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES SOMMAIRE : FICHE 1 :QU
publicité
DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES SOMMAIRE : FICHE 1 :QU’EST CE QUE LA DIDACTIQUE DES MATHEMAIQUES ? FICHE 2 : LES VARIABLES DIDACTIQUES FICHE 3 :L’EPISTEMOLOGIE FICHE 4 : LA DIALECTIQUE OUTIL-OBJET FICHE 5 : LES DIFERENTES CONCEPTIONS D’APPRENTISSAGE FICHE 6 : THEORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES (BROUSSEAU) FICHE 7 : LA SITUATION PROBLEME FICHE 8 : GESTION DE LA CLASSE FICHE 9 : LE CONTRAT DIDACTIQUE FICHE 10 : LES SITUATIONS A- DIDACTIQUES FICHE 11 : LA RESOLUTION DE PROBLEME FICHE 12 : LA CLASSIFICATION DES PROBLEMES FICHE 13 : LES ETAPES DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES FICHE 14 : LES PROBLEMES OUVERTS FICHE 15 : LA THEORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS FICHE 16 : LES STRUCTURES ADDITIVES FICHE 17 : CLASSIFICATION DES PROBLEMES DE PROPORTIONNALITE FICHE 18 : LES PROBLEMES DE MULTIPLICATION FICHE 19 : ANALYSE D’ERREURS VOCABULAIRE FICHE 1 :QU’EST CE QUE LA DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES ? -les acceptations associées à ce terme : ~méthode d’enseignement. ~moyen technique. ~pédagogie spéciale. ~art d’enseigner. -c’est un champ de recherche et non pas une méthode : importance de l’analyse des contenus. -c’est une science autonome s’inspirant : ~de la psychologie cognitive. ~de l’épistémologie. ~des sciences du langage. ~des sciences cognitives. -DEFINITION DE COMENIUS : ~synonyme savant de pédagogie. ~désigne « ce qui est propre à instruire ». ~connotation péjorative. -DEFINITION DE REGINE DOUADY : « La didactique des mathématiques est l’étude de processus de transmission et d’acquisition des différents contenus de cette science, et qui se propose d’écrire et d’expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre son enseignement et son apprentissage. Elle ne se réduit pas à chercher une bonne manière d’enseigner une notion fixée. » -DEFINITION DE GUY BROUSSEAU : « Science s’intéressant à la production et à la communication des connaissances mathématiques dans ce que cette production et cette communication ont de spécifique de ces connaissances. La didactique des mathématiquement étudie la façon dont les connaissances sont créées, communiquées et employées pour la satisfaction des besoins des hommes vivants en société. » -DEFINITION DE JOHSUA ET DUPIN : « La didactique d’une discipline est la science qui étudie, pour un domaine particulier, les phénomènes d’enseignements, les conditions de la transmission de la culture propre à une institution et les conditions de l’acquisition des connaissances par un apprenant. » -PROJET DE LA DIDACTIQUE : -théoriser les phénomènes d’enseignement et d’apprentissage Enseignement/formation. -rôles des variables conditionnant les apprentissages. Apprentissage scolaire/professionnel. Distinction enseignement/apprentissage. -LE TEMPS DIDACTIQUE : -Temps d’enseignement=temps légal. ~programmé sur l’année : séquences rythmées par des évaluations. ~spiralé dans une années et aux fils des années. : Pas de correspondance. -temps d’apprentissage=temps individuel. ~structuration complexe : intégrations successives, réorganisations perpétuelles après coups. ~discontinu. FICHE 2 : LES VARIABLES DIDACTIQUES -LES VARIABLES DE CONTEXTE : -les objectifs d’enseignement : ~conceptions des enseignants. ~rapports à la discipline. -l’élaboration des outils conceptuels : ~diversification des savoirs. ~phénomènes de mode. -origine et histoire des élèves : ~les apprentissages préalables. ~les critères sociologiques. ~l’état psychologique. -LES VARIABLES A DISPOSITION DE L’ENSEIGNANT : -type de cours ou activité : ~magistral, TD. ~résolution de problème, règle à apprendre. ~travail individuel, en groupe. -contrat entre l’enseignant et les élèves : ~rapports interpersonnels. ~attentes de l’enseignant. -type d’évaluation : ~formative : avec grille d’analyse, études des compétences. ~formatrice : grille d’évaluation faite par les élèves. ~sommative : note. -présentation des notions, adaptation, gestion des erreurs. -LES VARIABLES CONSTITUTIVES DU SAVOIR : -formation historique des concepts et des outils de base en mathématiquesépistémologie historique. -développement des concepts et intrication contemporaineépistémologie des mathématiques. -formation des concepts chez les enfantsépistémologie génétique. FICHE 3 :L’EPISTEMOLOGIE -DEFINITION : ~discipline philosophique qui a pour objet d’étude des méthodologie scientifiques (principes, hypothèses, résultats) et des théories de la genèse des connaissances humaines, elle traite de leur origine, de leur nature, de leur validité et de leur portée. ~ « L’épistémologie génétique traite du développement et de signification de la connaissance. » : Piaget. -EPISTEMOLOGIE ET OBJETS MATHEMATIQUES ~l’analyse épistémologique est nécessaire au mathématicien et au didacticien pour « l’aider à mettre en distance et sous contrôle les représentations épistémologiques des mathématiques induites par l’enseignement. » : Artigue. ~ « Aide à redonner de l’historicité aux concepts mathématiques que l’enseignement usuel tend à présenter comme objet universels à la foi dans le temps et dans l’espace. » ~aide à redonner également une historicité à des notions mathématiques comme celle de rigueur alors que l’enseignement usuel cultive une fiction d’une rigueur éternelle et parfaite des mathématiques. -EPISTEMOLOGIE ET SITUATIONS DIDACTIQUES : L’enseignement des mathématiques vise la transmission d’une culture. -EPISTEMOLOGIE ET OBSTACLES : « On connaît contre une connaissance antérieur, en détruisant des connaissances mal faîtes, en surmontant ce qui, dans l’esprit même, fait obstacle à la spiritualisation. » : Bachelard FICHE 4 : LA DIALECTIQUE OUTIL-OBJET (DOUADY) -en étudiant l’épistémologie des concepts mathématiques, on s’aperçoit qu’un concept est utilisé tantôt en tant qu’outil et tantôt en tant qu’objet d’étude de lui-même. -il n’est pas nécessaire d’étudier à fond l’objet-notion avant de l’utiliser comme outil. -application en didactique des mathématiques : dialectique outil-objet = échange entre outil et objet. -processus cyclique organisant les rôles respectifs de l’enseignant et des élèves : ~ancien. ~recherche : nouveau implicite. ~explication et institutionnalisation locale : côté maître. ~institutionnalisation. Statut d’objet. ~familiarisation, réinvestissement. ~complexification de la tâche ou nouveau problème. FICHE 5 : LES DIFFERENTES CONCEPTIONS D’APPRENTISSAGE -CONCEPTION TRANSMISSIVE : L’ENSEIGNEMENT TRADITIONNEL *origine : ~modèle de transmission de Shannon et Weaver =transmission télégraphique. ~au départ l’apprenant à la tête vide et le savoir s’imprime dans sa tête dès qu’il lui a été communiqué. *le modèle transmissive : ~la neutralité conceptuelle de l’élève. ~la non déformation du savoir transmis. *les rôles : ~l’enseignant doit expliquer clairement. ~l’élève : doit écouter attentivement. *les erreurs : sont dues à une écoute insuffisantes ou à une mauvaise explication. *les apports et les limites : ~importance de la structuration du message délivré par l’enseignant. ~les limites dépendent de la validité des deux présupposés:si une conception initiale inadéquate existe elle risque de ne pas être remise en cause et d’interférer avec la nouvelle connaissance ET ce qui est dit par l’enseignant n’est pas toujours entendu de la même façon par tous les élèves. *intérêt : le discours, le message de l’enseignant. -BEHAVIORISME : *origine : ~issue de la tradition philosophique empiriste : pas de connaissance pure et indépendant de l’expérience, pas d’idées innées, naturelles. ~rencontre deux courants scientifiques : physiologie animale (Pavlov), psychologie expérimentale (Thorndike, Skinner). *les modèles behavioristes : ~le conditionnement classique de Pavlov ~le conditionnement opérant de Skinner : les hommes agissent sur le monde, le transforme et sont transformés en retour par les conséquences de leurs actions. ~associationnisme : action- réaction. ~apprentissage par essai- erreur : lois de l’exercice et de l’effet de Thorndike. *conséquences pour l’enseignement:~implications pédagogiques: maximiser la possibilité de produire des actions qui doivent être renforcées dans un délai rapide, décomposer les compétences dont on veut doter les élèves en ses éléments constituants et les enseigner de manière systématique, organiser les exercices en classe selon une hiérarchie de complexité croissante. ~enseignement collectif+tests formatifs+remédiation. *les erreurs : considérées comme étant liées à des absences de renforcement et donc à un non apprentissage. Elle est évitée par l’enseignant sinon risque de laisser des traces indélébiles. *rôle de l’enseignant : ~employer volontairement des renforcements pour : favoriser l’acquisition de certains comportements observables, faire disparaître certains autres. ~construire et organiser les objectifs d’apprentissage : déterminer des objectifs d’apprentissage précis, sérier les objets (plan d’apprentissage). *les apports : ~approche intéressante pour explorer les conduites automatiques ou pour étudier des individus privés de langage. ~savoir c’est agir. ~l’enseignement est centré sur l’élève et pas seulement sur le savoir. ~permet de rationaliser l’enseignement, de pratiquer une évaluation sur des objectifs opérationnels. ~l’élève est en situation de réussite, a confiance en lui. ~modèle efficace à court/moyen terme pour l’acquisition d’automatismes. *les limites : ~tous les organismes n’apprennent pas de la même façon. ~les processus cognitifs interviennent dans l’apprentissage. ~les élèves ont beaucoup de mal à donner du sens à ce qu’on leur enseigne : ils réussissent les tâches successives proposées, mais ne comprennent pas forcément ce qu’ils ont fait et le lien entre les diverses connaissances. ~l’élève étant très guidé il a du mal lorsqu’il doit transféré ses connaissances. ~ce n’est pas parce que l’élève a réussi tous les objectifs intermédiaires qu’il a atteint l’objectif général. *intérêt : le feed back de l’enseignant, réponses des élèves. -LE MODELE GESTALISTE : -quelque chose se décoince et l’enfant comprend d’un coup. -la fin de la boite noire. -psychologie de la forme. Opposition au béhaviorisme. -remise en cause de l’apprentissage comme association simple : ~apprendre c’est organiser ou réorganiser différemment les éléments. ~rôle actif du sujet dans l’apprentissage. APPRENTISSAGE PAR RESTRUCTURATION (BRUTALE) DE LA PERCEPTION DE LA SITUATION (PRECURSEURS DU CONSTRUCTIVISME PIAGETIEN). *intérêt : la forme des informations disponibles. -MODELE CONSTRUCTIVISTE : L’APPRENTISSAGE DANS L’INTERACTION SUJET (APPRENANT)-OBJET (SAVOIR) : PIAGET Chez Piagetpas « élève » mais « enfant » car ce n’est pas de l’éducation mais de l’apprentissage. *les origines et la méthode : ~étudier le mode de construction des connaissances chez l’individu dans le but de rendre compte du mode de construction de la connaissance scientifique. ~méthode clinique : interrogation guidée pour mettre en évidence les raisonnements utilisés par les enfants. DEGAGER LA STRUCTURE CARACTERISTIQUE, LA LOGIQUE DES DIFFERENTS STADES DE DEVELOPPEMENT. *constructivisme : ~ « le sujet se construit en construisant son savoir. Penser, c’est être capable de s’adapter. » : Piaget. ~dépassement de l’opposition inné- acquis. ~le sujet construit ses connaissances en étant confronté à une réalité qui l’oblige à transformer ses schèmes d’action et/ou de cognition. ~l’enfant est un individu ayant son propre rythme d’évolution. ~contradiction avec les pédagogies attachées à des programmes précis et valables pour tous. ~apprentissage par l’action. *stades principaux : ~de l’intelligence sensori-motrice (0-2ans) : construction de l’objet permanent et de l’espace proche. ~stade des opérations concrètes (2-11ans) : construction des notions de quantités, de fonction symbolique, du langage, de la conservation, de la réversibilité, de l’inclusion, de la classification… ~stades des opérations formelles : passage à la pensée conceptuelle et socialisée, raisonnement hypothéticodéductif. *le modèle de l’apprentissage : ~l’intelligence est une adaptation. ~l’adaptation est une recherche d’un équilibre entre l’organisme et le milieu. ~l’adaptation se fait par assimilation et accommodation. *le mécanisme de l’apprentissage : ADAPTATION=équilibration entre ASSIMILATION : intégration des données du milieu dans des schèmes antérieurs (milieusujet) +ACCOMMODATION : modifications des schèmes du sujet en fonction des données (sujet milieu). *les apports : ~rapport de l’individu à l’environnement. ~typologies des apprentissages possibles en fonction des stades. *les limites : ~quel rôle pour le langage, l’affectif. ~pas de prise en compte des aspects sociaux de l’apprentissage : rôle de l’enseignant, rôle des pairs. *intérêt : l’organisation du milieu et actions des élèves. -MODELE SOCIO-CONSTRUCTIVISTE : VYGOTSKI *théorie de Vygotski : ~importance des agents culturels. ~rôle des interactions dans et pour l’environnement social et humain. *origine : ~pour chaque sujet, la possibilité d’agir sur l’autre et réciproquement est l’origine de la transformation de son activité. ~en coordonnant ses propres actions avec celles d’autrui, le sujet enrichit ses opérations. Rôle des conflits socio- cognitifs. *le rôle du langage : ~ « je parle donc je suis ». ~en se transformant en langage, la pensée se réorganise et se modifie. Le langage a une fonction constitutive de l’activité de pensée. ~le langage devient de plus en plus décontextualisé et abstrait, ce qui permet une pensée plus flexible. *les conditions de l’apprentissage : ~l’acquisition des connaissances passe par une interaction entre le sujet, la situation d’enseignement, et les acteurs de la situation. ~avantages : prise en compte des conceptions des élèves ET importance du langage et du social. *le rôle de l’enseignant : ~pendant la préparation des séances : expliciter les concepts que l’on veut que les élèves se forgent sur le concept, connaître les conceptions obstacles ce qui lui permet de définir les objectifs- obstacles, prendre en compte ces conceptions dans une situations problèmes. ~pendant la mise en place dans la classe : assure la dévolution du problème aux élèves, alterne les phases d’action, de formulation, de validation, d’institutionnalisation, anime le travail en groupe, institutionnalise les nouvelles connaissances, met en place un débat validé ensuite par les élèves, il organise des activités d’entraînement sur la nouvelle notion. *erreurs : « est constitutive du sens de la connaissance acquise » : Brousseau.Fait partie de la recherche du problème. Le professeur anticipe les erreurs et va organiser le débat pour qu’elles soient abordées et corrigées. *deux sortes de situations d’apprentissage : ~celle où l’enfant peut apprendre et faire seul certaines activités. ~celles où l’enfant ne peut apprendre et faire une activité qu’avec l’aide d’un adulte ou d’un pair plus âgé. *collaboration- étayage : ~médiation selon Vygotski : intervention de l’adulte centré sur l’interaction sujet- objet. ~interaction de tutelle de Bruner: fonctions régulatrices, l’enseignant est un médiateur, importances des activités conjointes, des échanges de significations marqués par la culture des un et des autres, double fonction du langage:communication et représentation. ~conflit socio- cognitif (Doise & Mugny) : une différence dans le fonctionnement des partenaires sociaux en présence peut déboucher sur des restructurations de chacun des membres de l’interaction. *rôle de l’enseignant pour l’étayage : ~décomposer l’activité en sous tâches afin de les rendre plus accessibles aux élèves. ~faire ressortir certaines caractéristiques de la tâche afin de mettre l’élève sur la voie de la résolution. ~l’aider à cheminer dans son raisonnement sans lui fournir la réponse à partir de ce qu’il a déjà effectué. ~l’aider à verbaliser ses procédures de résolution afin de lui faire prendre conscience : des stratégies à mettre en œuvre, de réinvestir ces stratégies. *intérêt : relation avec les autres acteurs du système éducatif FICHE 6 : THEORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUE (BROUSSEAU) -développement des points de vue socio- constructivistesméthodes actives privilégiant l’activité des élèves. -deux grands types d’innovations : situations problèmes ET problèmes ouverts. -analyse des processus d’apprentissage : ~quatre phases différentes dans lesquelles le savoir n’a pas la même fonction et l’élève n’a pas le même rapport au savoir. ~les temps dominants : action, formulation, validation, institutionnalisation. ~entre ces deux temps : échanges et régulation entre élèves/groupes et le savoir en jeu. Contrôle auto- régulé des apprentissages : dialectique. -DIALECTIQUE DE L’ACTION : -la situation d’action : ~pose à l’élève un problème dont la meilleur solution dans les conditions proposées est à la connaissance à enseigner. ~permet à l’élève d’agir sur elle et lui renvoie de l’information sur son action. -ce n’est pas uniquement une situation de manipulation libre ni imposée. -elle permet à l’élève de : ~juger le résultat de son action. ~ajuster l’action sans intervention de l’enseignant. -apprentissage par adaptation. -instauration d’un dialogue (dialectique). Création d’un modèle implicite. -DIALECTIQUE DE LA FORMULATION : -l’élève explicite son modèle implicite de manière à ce que cette formulation ait un sens : obtenir ou faire obtenir un résultat. -échange d’information : messages oraux/écrits, langage naïfs ou mathématiques avec d’autres élèves : émetteurs- récepteurs. Création d’un modèle explicite : formulé à l’aide de signes, de règles communes, connues ou nouvelles. -DIALECTIQUE DE LA VALIDATION : -formulation validation empirique insuffisante. -l’élève doit montrer pourquoi le modèle créé est valable, convaincre : argumentation, démonstration, réfutation. -l’élève proposant soumet un message mathématique, modèle de la situation comme assertion à un interlocuteur, opposant. Validation sémantique et syntaxique. -DIALECTIQUE D’INSTITUTIONNALISATION : -intégration de la nouvelle connaissance au patrimoine mathématique de la classe. -le professeur fixe conventionnellement et explicitement le statut cognitif du savoir. Les connaissances changent de statut : la nouvelle connaissance est étiquetée savoir officiel, les élèves peuvent la retenir et l’appliquer. -l’institutionnalisation : ~prématurée permet la construction du sens, nuit à l’apprentissage, met le maître et les élèves en difficulté. ~tardive renforce les interprétations inexactes, ralentit l’apprentissage, gêne les applications. ~est toujours négociée dans une dialectique. -des exercices d’entraînement, ‘application et de réinvestissement complète le processus. -DANS LA PRATIQUE : -les quatre phases ne succèdent pas régulièrement. -elles sont imbriquées : aller- retour. -il y a parfois des ruptures de contrat didactiques. - la théorie des situations comporte une part non négligeable d’ingénierie didactique. FICHE 7 : LA SITUATION PROBLEME -DEFINITION : C’est une situation d’enseignement dont l’objectif est de permettre aux élèves d’acquérir une nouvelle connaissance : savoir, savoir- faire, méthode, raisonnement… et s’appuie sur une conception socioconstructiviste de l’apprentissage/enseignement. -CARACTERISITQUES : -pour sa mise en place avoir repéré : ~une conception erronée liée à l’acquisition de la connaissance que l’on veut enseigner : à partir de l’analyse d’erreurs, obstacle épistémologiques et didactiques. ~ou une procédure correcte qui s’avère lourde ou source d’erreur. -les élèves doivent pouvoir s’engager dans la résolution du problème en mobilisant leurs conceptions erronées ou une procédure trop coûteuse. -les connaissances des élèves doivent être insuffisantes ou peu économique car l’objectif est l’acquisition d’une nouvelle connaissance.Tout élève même le moins bon doit faire quelque chose même faux. -les élèves doivent avoir un moyen de contrôler eux-mêmes leurs résultas : confrontation des résultats, conflit socio- cognitif.Deux moyens : ~soit par la situation elle-même (puzzle de Brousseau) soit par confrontation des résultats par les élèves eux-mêmes. -la connaissance à acquérir doit être l’outil le plus adapté pour la résolution de problème au niveau considéré : analyse a priori de la situation et choix de variables didactiques. -le problèmes peut avoir plusieurs cadres : géométrique, numérique ~les correspondances entre les cadres sont imparfaites chez les élèves. ~la communication entre cadres est un facteur de rééquilibration (parfois utilisation d’un cadre auxiliaire de représentation : utilisation de schéma, graphique). ~acquisitions différentes dans les cadres différentsfavoriser la construction des connaissances. -TYPES DE SITUATIONS PROBLEMES : -l’acquisition des connaissances passent par la confrontation à un obstacle en vue de la remise en cause d’une conception erroné. -l’acquisition des connaissances passe par la prise de conscience qu’une procédure exacte devient insuffisante car peu économique ou source d’erreur. -LIMITES : -discipline dont le domaine de validité est le vrai surtout en maths et physique. -pas pertinent pour tous les concepts. -gestion en classe complexe : temps, effectif. -pas de prise en compte de l’affectif : phase de déstabilisation. -AVANTAGES : -donnent un statut à l’erreur : ~prise en compte des conceptions de l’élève. ~prise en charge du problème posé par le sens des connaissances visées. -remise en cause de « la pédagogie des petites marches » :~adaptation des conceptions des élèves sans qu’ils prennent conscience de leurs insuffisances. ~amener les élèves à parfois franchir des grandes marches. FICHE 8 : GESTION DE LA CLASSE -effets de la situation différents suivants : ~travail en groupe ou individuel. ~aide ou non de l’enseignant. Variables de didactiques de la situation. -’élève doit acquérir de nouvelles connaissances : ~le problème doit devenir son problème. ~le professeur doit assurer la dévolution du problème à la classe. Choix d’une organisation qui permet aux élèves d’être pleinement responsables de la solution du problème et da la validation, et d’être autonomes dans la recherche de solution. -LES PHASES DE LA GESTION DE LA CLASSE : -phase d’action individuel puis en groupe : ~les élèves s’approprient le problème à partir de leurs connaissances anciennes. ~utilisation des procédures implicites. ~enjeu pour l’élève : réussir la tâche. ~enjeu pour l’enseignant : permettre aux élèves de s’approprier une procédure. -phase de formulation en groupe dans la mise en commun : ~les élèves explicitent oralement ou par écrit les procédures et les solutions. -phase de validation par les élèves : ~se convaincre et convaincre les autres que la solution est valable. -phase d’institutionnalisation par l’enseignant : ~identifier les nouveaux savoirs et savoir- faire. ~préciser les conventions de langage, les notations éventuelles. ~homogénéiser les connaissances de la classe. Préciser les savoirs construits ceux à retenir et leur forme. -phase de réinvestissement : ~aider les élèves à se familiariser avec les nouveaux acquis. ~faire fonctionner les acquis dans différentes situations : champ d’application d’une notion. -POIDS RELATIFS DES PHASES : En fonction de la notion, insistance sur des phases différentes. -acquisitions de concepts, de procédures. Réussir la tâche : situation d’action. -acquisition de vocabulaire. Réussir la communication : situation de formulation. -outils de preuve ou règles de débat. Convaincre les autres : situation de validation. FICHE 9 : LE CONTAT DIDACTIQUE ATTENTES DU PROFESSEUR ET DES ELEVES DANS LE CADRE DE L’ENSEIGNEMENT. -LES ATTENTES RECIPROQUES : -les enseignants attendent quelque chose des élèves. -les élèves attendent quelque chose de l’enseignant. Ce quelque chose traite de l’enseignement et de l’apprentissage. L’efficacité de la relation dépend de l’intelligence mutuelle des intentions de l’autre. -CONTRACT DIDACTIQUE /PEDAGOGIE : -le contrat didactique dépend toujours des connaissances en jeu. -les conséquences du contrat : ~le professeur est supposé créer des conditions suffisantes pour l’appropriation des connaissances et reconnaître cette appropriation quand elle se produit. ~l’élève est supposé satisfaire ces conditions. ~la relation didactique doit continuer coûte que coûte. -DEFINITION : Le contrat didactique est l’ensemble des comportements de l’enseignant qui sont attendus de l’élève, et l’ensemble des comportements de l’élève qui sont attendus de l’enseignant :-ensemble des règles implicites en grande partie. -détermination des rôles respectifs : ~de l’élève. ~de l’enseignant. ~dans la classe. ~par rapport au savoir. -INTERPRETATION : Les les élèves relèvent les conceptions suivantes : -un problème posé admet toujours une solution et une seule. -pour la trouver il faut utiliser toutes les données. -aucune autre indication n’est nécessaire. -la solution fait appel aux connaissances enseignées précédemment. Les enseignants ne peuvent pas donner des exercices impossibles à résoudre. -INTERET DU CONTRAT DIDACTIQUE : -il fait exister les conditions qui rendent nécessaires l’objet d’enseignement. -il est une aide pour l’élève sur les procédures à utiliser. -il est une aide pour l’enseignant : ~pour l’interprétation des réponses des élèves. ~pour la recherche du sens mathématique et social. -EFFETS PERVERS : *effet Jourdain : un comportement banal de l’élève est interprété comme la manifestation d’un savoir savant. *effet Topaze : lorsqu un élève rencontre une difficulté, l’effet Topaze consiste à surmonter à sa place, d’une manière ou d’une autre. *effet de l’attente incomprise : croire qu’une réponse attendue de la part de l’élève va de soi. -LES EFFETS AU NIVEAU DE LA CONCEPTION DES PROGRAMMES : *effet Denis=glissement métacognitif=effet Jourdain. ~la compréhension de la règle du jeu à appliquer exige la connaissance qu’on prétend enseigner. ~remplacer un problème dont le savoir mathématique à enseigner donne la solution par un problème dont la solution matérielle peut s’obtenir aisément. *effet Papy : ~effet Topaze sans aucun contenu mathématique. ~substitution d’une activité mathématique par une activité de manipulation de symboles. ~remplacer la construction mathématique d’un concept par une explication fondée sur la manipulation de symboles de substitutions dont l’usage analogique nécessite des nouvelles explications. ~l’emploi des notations analogues était supposé produire le même savoir que celui des notations mathématiques ordinaires. FICHE 10 : LES SITUATIONS A-DIDACTIQUE (BROUSSEAU) *les situations didactiques : ~situations qui servent à enseigner. ~une situation est didactique dès lors qu’un individu a l’intention d’enseigner à un autre individu un savoir donné. *situation non didactique : ~situation sans aucune finalité didactique et pour laquelle le rapport au savoir s’élabore comme un moyen économique d’action. *situation a- didactique : ~est la part de situation didactique dans laquelle l’intention d’enseigner n’est pas explicite au regard de l’élève : l’élève réagit comme si la situation était non didactique. C’est à lui de prendre des décisions, d’engager des stratégies, d’évaluer leur efficacité. ~Brousseau : « le maître se refuse à intervenir comme possesseur des connaissances qu’il veut voir apparaître. L’élève sait bien que le problème a été choisi pour lui faire acquérir une connaissance nouvelle, mais il doit savoir aussi que cette connaissance est entièrement justifiée par la logique interne de la situation. » ~Sensevy : « dans les situations a- didactique, les in tractions des élèves avec le milieu sont supposées suffisamment prégnantes et adéquates pour qu’ils puissent construire des connaissances, formuler des stratégies d’action, valider des savoirs en utilisant les rétroactions de ces milieux sans que leur activité ne soit orientée par la nécessité de satisfaire aux intentions supposées du professeur. » FICHE 11 : LA RESOLUTION DE PROBLEMES - une activité mathématique c’est : ~résoudre des problèmes, ~modéliser, ~argumenter, démontrer, valider, expliquer, ~passer à l’abstraction, généraliser, ~élaborer des théoriesla résolution de problèmes est la source des apprentissages. -INTERET DE LA RESOLUTION DE PROBLEME : ~dans les programmes: « élaborées comme des réponses efficaces à des problèmes, les premières notions mathématiques sot identifiées, puis étudiées dans le but d’être réutilisables pour résoudre de nouveaux problèmes. » ~au point de vue didactique et épistémologique (dialectique outil/objet) : « L’élaboration des connaissances se réalise au travers de la résolution de problèmes, leur maîtrise nécessite des moments d’explication et de synthèse, et leur efficacité est conditionnée par leur entraînement dans des exercices qui contribuent à leur mémorisation. » -POUR L’ELEVE : ~chercher car la solution n’est pas immédiate : faire des essais, se tromper, revenir en arrière, vérifier, utiliser ses connaissances, les mettre en lien. ~donner une réponse. ~rédiger la réponse et la procédure. ~convaincre les autres. -LE PROFESSEUR DOIT ACCEPTER : ~de laisser du temps pour chercher. ~de montrer que l’on peut chercher. ~de laisser chercher les élèves hésiter, se tromper, faire des essais. ~de ne pas exiger tout de suite une solution parfaite. ~de faire des liens entre les différents problèmes résolus pour montrer leur caractère plus général. -HYPOTHESES D’APPRENTISSAGES : ~influence de la discipline (aspect épistémologique) : les problèmes se sont construits à partir des problèmes. ~influence de Piaget : théorie constructiviste de l’apprentissage : on apprend en agissant sur e monde. ~influence de Vygotski : aspects sociaux des apprentissages : on apprend à travers les processus de communication. -PROGRESSION DES APPRENTISSAGES : ~cela suppose qu’on a défini des compétences à acquérir dans chaque cycle, puis dans chaque classe. ~d’où l’élaboration de progression des apprentissages à acquérir dans chaque cycle, puis dans chaque classe. ~importance des phases d’institutionnalisation. -RESOLUTION PERSONNELLE : ~provient de la réflexion d’un élève sur un problème et non d’une classe de problème. ~liée au problème : pas forcément générale. ~longue, peu adaptée à un autre problème. ~rédigée avec le langage de l’élève. -RESOLUTION EXPERTE : ~celle attendue par le maître à un moment donné. ~caractère de généralité. ~performante, rapide. ~en langage mathématique. -DE LA SOLUTION PERSONNELLE VERS LA SOLUTION EXPERTE : ~par des institutionnalisation. ~par le jeu sur des variables didactiques. ~par un travail portant sur les écrits des élèves : situation de communication. FICHE 12 : CLASSIFICATION DES PROBLEMES -A PARTIR DES OBJECTIFS PEDAGOGIQUES : ~problèmes dont la résolution vise la construction d’une nouvelle connaissance. ~problèmes de réinvestissement. ~problèmes plus complexes, dont la résolution nécessite de mobiliser plusieurs catégories de connaissances. ~problèmes pour chercher : problèmes ouverts. -A PARTIR DE FORME D’ENONCES : ~problèmes avec énoncés longs et souvent complexes. ~problèmes avec énoncés à compléter : chercher des informations ailleurs. ~problèmes avec illustration/ schéma ou non. - A PARTIR DES NOTIONS MATHEMATIQUES : ~problèmes pouvant être résolus avec une notion donnée. FICHE 13 : LES ETAPES DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES -LECTURE DE L’ENONCE : ~lire c’est comprendre, se construire une représentation de la situation décrite à partir de la sélection d’indices qui est fonction des premiers mots rencontrés dans l’énoncé, des consignes données, des expériences sociales et scolaires du lecteur. *connaissances en jeu dans la lecture d’un problème : ~connaissances mathématiques en jeu en cours de construction. ~d’autres connaissances mathématiques antérieurs au chapitre étudié. ~connaissance sur le contexte du problèmes. ~connaissances sur certains modes de représentation et leurs codes : graphiques, schémas, tableau. *les connaissances sur la langue : ~le vocabulaire, le repérage de la question ou de l’injonction. ~des éléments de vocabulaire spécifique aux mathématiques : sommet, agrandir, réduire, hypothèse, consécutifs, largeur, longueur… ~des tournures de phrase : complexes et spécifiques aux mathématiques. *les connaissances de type de contrat : ~des connaissances relatives au fonctionnement de la classe. ~des connaissances du type de contrat, souvent implicites et construites dans l’action. Elles peuvent être facilitatrices ou source d’erreurs et de difficultés : une seule solution, une seule solution avec les nombres présents dans l’énoncé, utiliser toutes les données, utiliser les dernières notions enseignées. *aide à la représentation du problème : ~on travail en même temps les compétences de lecture et représentation des problèmes avec la résolution de problèmes. ~le fait de résoudre un problème va permettre aux élèves de valider les hypothèses qu’ils ont faites quand ils lisent le problèmes et va entraîner les élèves à chercher, à revenir en arrière, à faire des essais. -ELABORATION- EXECUTION DE LA PROCEDURE : ~implicite. ~deux éléments essentiels : les problèmes de référence et leurs solutions et les schémas généraux de procédures reconnues comme adaptés pour la classes de problèmes. -AU BOUT DE PROBLEME : ~il est important pour que chaque élève ait fait l’expérience plusieurs fois d’aller au bout de la résolution d’un problème : pour qu’il construisent des connaissances mathématiques, pour le plaisir de chercher et de trouver, pour qu’il change sa représentation des mathématiques. -MULTIREPRESENTATION (JEAN JULOT) : Il s’agit de donner un même problèmes : structures mathématiques et données semblables, avec des habillages et des contextes différents. L’élève a donc plusieurs problèmes à résoudre et il doit choisir le problème qu’il veut résoudre en premier. Les performances sont améliorées. FICHE 14 : LES PROBLEMES OUVERTS -CARACTERITIQUES : ~énoncé court. ~l’énoncé ne donne ni la méthode ni la solution. ~le problème se trouve dans un domaine conceptuel familier aux élèves. -DANS LES PROGRAMMES : ~au cycle 2 : « analyser des problèmes de recherche simples. » ~au cycle 3 : « élaborer une démarche originale dans un véritable problème de recherche, c’est-à-dire un problème pour lequel on ne dispose d’aucune solution déjà éprouvée. » -SITUATION- PROBLEME CONTRE PROBLEME OUVERT : *situation- problème : ~pour élaborer une connaissance nouvelle. ~a une portée plus générale que la seule situation. ~la connaissance est destinée à être institutionnalisé. *problème ouvert : ~pour chercher une solution originale, personnelle. ~utiliser les moyens du bord. ~la solution générale n’est pas envisageable pour les élèves. -INTERETS DES PROBLEMES OUVERTS : ~activité comparable à celle du mathématicien : caractères inédit, solution inconnue. ~objectifs d’ordre méthodologique : essayer, formuler et tester des conjectures, organiser sa démarche, mettre en œuvre une méthode originale, vérifier la solution, argumenter. ~objectifs d’ordre mathématique :-l’élève ne résout pas un problème sans faire fonctionner des savoirs mathématiques. -pour l’élève : réinvestir ses connaissances dans un autre cadre que celui du problème scolaire. -pour le professeur : analyser a priori les savoirs mobilisables dans ce problème, puis a posteriori les savoirs effectivement mobilisés. ~exploiter les différences entre les élèves : différenciation. ~expérimenter la résolution de problèmes :-chercher plutôt que trouver. -prendre des initiatives : essayer pour voir. -être responsable de la solution. -MISE EN ŒUVRE : ~temps de familiarisation avec le problème. ~temps de recherche individuel : appropriation du problème. ~temps de travail en groupe : comparaison et explicitation des méthodes et des solutions, élaboration et formulation d’une solution commune. ~temps d’échange et de débat des solutions en collectif. ~temps de synthèse sur les aspects méthodologiques et mathématiques : réinvestissement. -DANS LES CLASSES : ~caractère inhabituel de ces problèmes, en rupture avec la plupart des pratiques existantes. ~la pratique du problème ouvert permet d’installer un type de contrat didactique avec la classe. ~difficultés à percevoir les objectifs spécifiques : pour un problème donné, plusieurs objectifs sont possibles. ~peu de manuels proposent de tels énoncés. -RECOMMANDATIONS : ~la difficulté du problème ne réside pas dans la compréhension de la situation. ~la phase de recherche doit appartenir aux élèves : dévolution. ~la mise en commun est avant tout une phase d’échanges et de débat autour des méthodes et solutions apportées par les élèves. ~la même situation peut être re-proposée aux élèves : modifications. FICHE 15 : LA THEORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS (VERGNAUD) -OBJECTIFS : ~fournir un cadre qui permet de comprendre les filiations et les ruptures entre les connaissances. ~rendre compte du processus de conceptualisation des structures mathématiques. -DEFINITIONS : ~le champ conceptuel: « un espace de problèmes ou de situationsproblèmes dont le traitement implique des concepts et des procédures de plusieurs types en étroite connexion, ainsi que les représentations langagières et symboliques susceptibles d’être utilisées pour les représenter. » ~le schème : « l’organisation invariante de la conduite pour une classe de problèmes donnés. » « C’est dans les schèmes qu’il faut chercher les connaissances en acte du sujet, c’est-à-dire les éléments cognitifs qui permettent à ‘action du sujet d’être opératoire ». -LES CONCEPTES : ~ne se réduit pas à sa définition. ~c’est à travers des situations et des problèmes à résoudre qu’un concept acquiert du sens pour l’élève. ~deux classes de situations :- celles pour lesquelles le sujet dispose des compétences nécessaires. - celles pour lesquelles le sujet ne dispose pas des compétences nécessaires : exploration, réflexion.Fonctionnement différent des schèmes. ~c’est un triplet de trois ensembles : exemple de l’addition. -S : l’ensemble des situations qui donnent du sens au concept : la référence : six situations additives. -I : l’ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationnalité des schèmes : le signifié : vrai : la commutativité, l’associativité; le faux : l’ordre d’addition des chiffres des nombres est indifférent. -F : l’ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement : le signifiant : « plus », « et », « + » et autres synonymes. -LES SCHEMES : *le fonctionnement : ~situations pour lesquelles le sujet dispose de compétences : conduites automatisées, organisation autour d’un schème uniqueautomatisme. ~situations pour lesquelles le sujet ne dispose pas des compétences nécessaires : amorçage successif de différents schèmes, compétition entre les schèmes, accommodation des schèmesdécouverte. *évolution : ~schème inefficace dans certaines situations : changement ou modification de schème. ~les schèmes sont au cœur du processus d’adaptation des structures cognitives (Piaget) : accommodation=on réorganise son savoir, acculturation=on rajoute. Les schèmes reposent sur une conceptualisation implicite. FICHE 16 : LES STRUCTURES ADDITITVES (VERGNAUD) SEUL LES QUATRE PREMIERES SONT ENSEIGNEES EN PRIMAIRE. -COMPOSITION DE MESURE : Deux mesures se composent en une troisième A, B, C est trois mesures. Deux sous types. -TRANSFORMATION D’UNE MESURE : Une transformation opère sur une mesure pour donner une mesureA et C sont deux mesures, B est une transformation, un nombre relatif. Six sous types. -COMPARAISONS QUANTIFIEE ENTRE DEUX MESURES : Relation de comparaison entre deux mesuresA et C est deux mesures, B est une relation, un nombre relatif. Six sous types. -COMPOSITION DE TRANSFORMATIONS : Deux transformations se composent en une transformation : les états de départ et final sont inconnusC=A-B ou B+A. Vingt quatre sous types. -TRANSFORMATION D’UNE RELATION : Une transformation opère sur une relation : un état relatif pour donner une relation : un état relatif. Vingt quatre sous types. -COMPOSITION DE RELATION : Deux relations : états relatifs se composent pour donner une relation. -FACTEURS DE DIFFICULTE DES PROBLEMES : ~soustractions impossibles. ~difficulté du calcul nécessaire à la résolution. ~ordre et présentation des informations. ~place de la question. ~type de contenu et relations envisagées. FICHE 17 : CLASSIFICTION DES PROBLEMES DE PROPORTIONNALITE -PROPORTION SIMPLE AVEC PRESENCE DE L’UNITE : 1 C B D ~problème de multiplication : on donne B et C, on cherche D : 1 C B? ~problème de division- partition : on donne B et D, on cherche C, recherche de la valeur d’une part : 1 ? BD ~problème de division- quotition : on donne C et D et on cherche B, recherche du nombre de parts : 1 C ?D -PROBLEMES DE PROPORTIONNALITE : CHAMP CONCEPTUEL : Une situation d’achat peut donner lieu à un problème reconnu comme relevant de la multiplication/de la division/de la proportionnalité. -PROBLEME DE PROPORTIONNALITE : REPRESENTATION DE CES PROBLEMES : Un tableau mettant en évidence les deux grandeurs en jeu : nombre d’objets et prix. Structures multiplicatives, problèmes pouvant être résolus en utilisant une multiplication, une division ou une situation de multiplications et divisions. Trois notions : multiplication, division et proportionnalité qui ne sont pas indépendantes. Enseignement de la proportionnalité : pas enseignement du remplissage du tableau. -PROPORTION SIMPLE SANS PRESENCE DE L’UNITE : A C B D Différents problèmes possibles de proportionnalité : ~problème de reconnaissance de proportionnalité. ~problème de quatrième proportionnelle. ~problème de comparaison. ~problème de passage d’un cadre à l’autre (grandeur, numérique, graphique). Ces problèmes ne peuvent pas être résolus avec le seul produit ou quotient de deux nombres : ~utilisation du coefficient de proportionnalité : pas de produit en croix en primaire, pas avant la 4ème. ~retour à l’unité : règle de trois. ~lorsque les variables didactiques s’y prêtent les élèves utilisent EN ACTE deux propriété :- linéarité multiple - linéarité additive. -PROPORTION DOUBLE : A (C, E)valeur indépendante B (D, F) Problèmes dans lesquels une grandeur varie proportionnellement à deux grandeurs indépendantes. -PROPORTION SIMPLE COMPOSEE : A C E B D F Problèmes dans lesquels une grandeur varie proportionnellement à un autre qui varie elle-même proportionnellement à une troisième. -PROBLEMES DE TYPE « FOIS MOINS/PLUS » : OBJET A a OBJET B b ~ce ne sont pas des problèmes de proportionnalité. ~il s’agit d’une relation entre l’objet A et l’objet B, relation quantitative. ~quantification de la relation « combien de fois moins/plus ». -PRODUIT DE MESURES : Problèmes schématisables par un tableau à double entrée ou par l’aire d’un rectangle ou par un arbre de dénombrement. FICHE 18 : LES PROBLEMES DE MULTIPLICATION -LES TYPES DE PROCEDURES : ~elles sont fonction des outils de calcul disponibles. ~elles sont fonction des connaissances disponibles et mobilisables des élèves. ~elles sont fonction des valeurs relatives de X et Y. - Y ET X PETITS : ~procédure utilisant le support d’un dessin/schéma. ~structure additive. ~procédure multiplicative : reconnaissance de la multiplication puis calcul mental par référence à la table de multiplication. -Y GRAND ET X PETIT ~les procédures utilisant un dessin deviennent coûteuses. ~les procédures de types additives sont efficaces quand l’addition de nombres à deux/trois chiffres est maîtrisée. ~la procédure multiplicative est très efficace quand la technique est maîtrisée ou si l’élève dispose de la calculatrice. -Y ET X SONT GRANDS : ~les procédures utilisant les support d’un dessin est inutilisable. ~les procédures de types additives sont très difficiles : des moyens permettent toute fois d’alléger les calculs : utilisation de double ou de produits partiels par 10. ~la procédure multiplicative est la plus efficace. -LES VARIABLES DIDACTIQUES : ~le type de problème : le type proportion est plus réussi que le type produit de mesure. ~les types de nombres utilisés. ~la taille des nombres en jeu. ~les outils de calcul disponibles. ~le type de contexte du problème. ~la manière dont l’énoncé est formulé. FICHE 19 : ANALYSE D’ERREURS Quelle procédure l’élève a-t-il mise en place ? Quelles sont les origines de cette procédure ? -LIMITATION DE L’ELEVE : ~stade de développement. ~surcharge cognitive. ~représentation que l’élève a de mathématiques et de lui-même comme mathématicien. -CONCEPTION QUE L’ELEVE S’EST CONSTRUITES A PROPOS DU CONCEPT EN JEU : ~origine épistémologique. ~origine didactique. -REGLE DU CONTRAT DIDACTIQUE : ~règle qui peut être un obstacle. ~règle non appropriée. VOCABULAIRE : -APPRENDRE : expression qui renvoie à une activité d’apprentissage = saisir, comprendredu côté de l’élève. -ENSEIGNER : expression qui renvoie à une activité d’enseignement = placer un signe, laisser une marque du côté du maître. -LES SAVOIRS (CHEVALLARD) :~le savoir savant : découvertes et théories homologuées par les chercheurs, savoirs universitaires. ~le savoir à enseigner : les programmes. ~le savoir enseigné : linéarisé, décomposé, discours de l’enseignant.Théorie de la transposition didactique. -HYPOTHESE CONSTRUCTIVISTE : les élèves construisent leurs propres connaissances et le sens de ses connaissances. -HYPOTHESE EPISTEMOLOGIQUE : les problèmes et les situations sont à la source de la signification des connaissances mathématiques. -LA NOOSPHERE : composé des décideurs politiques, des gestionnaires de l’administration, les représentants de la discipline enseignée, les parents d’élèves… Son rôle : évolution du système didactique : objectifs d’enseignement, savoir à enseigner, participation à la transposition didactique, formation des enseignants. -CHRONOGENESE : temps d’apprentissage et d’enseignement. Il faut savoir découper le savoir pour le rendre enseignable dans un temps donné. -TOPOGENESE : place de chacun vis-à-vis du savoir : qui a la responsabilité du savoir dans la classe. -PPO : Pédagogie Par Objectif. -ZONE PROXIMALE DE DEVELOPPEMENT : différence entre le niveau de résolution de problèmes sous la direction de et avec l’adulte et celui atteint seul. (Socio- constructivisme). -LA DEVOLUTION : ~« est l’acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d’apprentissage ou un problème et accepte lui- même les conséquences de ce transfert » : Brousseau. ~processus par lequel le professeur fait en sorte que les élèves assument leur part de responsabilité dans l’apprentissage. ~les ratés de la dévolution peuvent être interprétés en termes de contrat didactique. -L’INSTITUTIONNALISATION : ~ « la prise en compte officielle par l’élève de l’objet de la connaissance et par le maître, de l’apprentissage de l’élève est un phénomène social très important et une phase essentielle du processus didactique : cette double reconnaissance est l’objet de l’institutionnalisation. » : Brousseau ~c’est le processus dans et par lequel le professeur signifie aux élèves les savoirs ou les pratiques qu’il leur faut retenir comme les enjeux de l’apprentissage attendu. -COMMUTATIVITE : l’ordre des termes qu’on ajoute n’a pas d’importance : a+b=b+a. -ASSOCIATIVITE : trois nombres quelconques a+ (b+c)= (a+b)=c. -ANALYSE DIDACTIQUE : hypothèse sur ce que pense l’élève. -LA THEORIE DES SITUATIONS (BROUSSAUD) : qui se base sur le fait que certaines situations d’enseignement peuvent favoriser l’acquisition de nouvelles connaissances si l’on fait un choix judicieux du contexte d’apprentissage (travail en groupe), des supports (énoncés des activité, moyen matériel et du contrat didactique adopté (ensemble des règles de vie dans la classe explicite/implicite). -LA THEORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS (VERGNAUD) : qui s’intéresse au pré acquis nécessaire au nouveau apprentissage à la façon dont les connaissances doivent se succéder en harmonie avec la maturité cognitive de l’apprenant et au conception de l’élève et des spécialistes en situation d’activité mathématique. -LA THEORIE DE LA TRNSPOSITION DIDACTIQUE (CHEVALLARD) : Met en évidence les transformations des savoirs savants à enseigné puis en savoir enseigner : légitimité sociale, contrainte temporelle, découpage disciplinaire. -PROBLEME COMPLEXE : problème que l’élève doit savoir résoudre : plusieurs calculs, parenthèse, virgule… -PROBLEME DE RECHERCHE : l’élève doit développer des procédures personnelles : invente leur méthode pour arriver au résultat. ~objectif : rechercher la solution par soi même, faire des essais, les corriger, valider les réponses par soi même.
