CALCUL D'AIRE APPROCHE DE LA NOTION D'INTÉGRALE PARTIE I : Étude d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré Un mobile est animé dans un plan d'une vitesse constante v0 = 3 m/s (m.s-1). A la date t0 = 0 , et durant 10 s, il est soumis à une accélération constante a = 0,25 m.s-2 ( m/s²). Le mouvement ( toujours situé dans le même plan ) est alors un mouvement rectiligne uniformément accéléré. L'équation de la vitesse instantanée v est : v = a.t + v0 ( t en s ; a en m.s-2 ; v et v0 en m/s) I-1. Donner l'équation de la vitesse instantanée du mouvement décrit ci-dessus. …………………………………………… I-2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. t (s ) 0 2 5 8 10 v (m/s) I-3. On associe à l'équation de la vitesse instantanée la fonction numérique v de la variable t définie sur l'intervalle [ 0 ; 10 ] par : v(t) = 0,25.t + 3 v A l'aide du tableau de valeurs, donner la représentation graphique probable de cette fonction dans le repère orthonormal d’unité graphique 1 cm. 1 O t 1 1 I-4. Déterminer graphiquement une valeur approchée de l'abscisse du point d'ordonnée 4,5. Les traits de construction seront visibles. ( ……… ; 4,5 ) I-5. Résoudre l'équation d’inconnue t : 0,25 t + 3 = 4,5 La solution confirme - t - elle votre réponse à la question I-4 ? ………… I-6. Répondre à la question : " En combien de temps le mobile aura – t – il atteint une vitesse instantanée de 4,5 m/s ? " ………………… PARTIE II : Calcul d'aire II-1. Placer sur le graphique les points T1 et T2 de coordonnées : T1 ( 2 ; 0 ) T2 ( 8 ; 0 ) II-2. Tracer les droites d'équation x = 2 et x = 8 . Elles coupent respectivement la représentation graphique de la fonction v en A et B. Noter ces points II-3. La surface limitée par la représentation graphique de la fonction v, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=8 est le trapèze rectangle T1ABT2 . Hachurer ce trapèze. II-4. Compter le nombre de carrés d'aire 1 cm² contenus entièrement dans le trapèze. v 1 cm² 1 O 1 t réponse : ……………… Compter le nombre de carrés d'aire 1 cm² contenus entièrement ou partiellement dans le trapèze. réponse : ……………… Donner un encadrement de l'aire S du trapèze T1ABT2 : …………………… < S < …………………… II-5. Donner la mesure en cm des côtés T1A , T2B et T1T2 . Vous pouvez vous aider du tableau I - 2 T1A = …………… T2B = ……………… T1T2 = ………………… II-6. Calculer l'aire S du trapèze T1ABT2 . rappel : Aire du trapèze grande base S = petite base x hauteur 2 ( .............. + .............. ) x .............. 2 Aire du trapèze : …………………… cm² 2 = ………………… PARTIE III : Calcul à l'aide de l'équation horaire L'équation horaire d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré exprime en fonction du temps, la distance d parcourue par le mobile dans l'intervalle de temps [ 0 ; t ] . Pour notre exemple elle s'écrit : d = 0,125.t² + 3.t ( t en s ; d en m ) III-1. Calculer la distance parcourue dans l'intervalle de temps [ 0 ; 2 ] . III-2. Calculer la distance parcourue dans l'intervalle de temps [ 0 ; 8 ] . III-3. En déduire la distance parcourue dans l'intervalle de temps [ 2 ; 8 ] . III-4. Comparer le nombre donnant la distance (en m) parcourue dans l'intervalle de temps [ 2 ; 8 ] avec le nombre donnant l'aire du trapèze (en cm²) III-5. Avant d'aborder le problème avec le professeur réfléchir à la question suivante : Dans notre étude : 1 cm² - sur l'axe des abscisse 1 cm représente 1 - sur l'axe des ordonnées 1 cm représente 1 v 1 O 1 t Donc 1 cm² représente 1 x 1 = 1 unité d'aire " Qu'en est - il dans le cas où l'on prend les unités graphiques ci-dessous ? " v 1 cm² 5 O 0,5 t 3