CALCUL D`AIRE

CALCUL D'AIRE
APPROCHE DE LA NOTION D'INTÉGRALE
PARTIE I :
Étude d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré
Un mobile est animé dans un plan d'une vitesse constante v0 = 3 m/s (m.s-1).
A la date t0 = 0 , et durant 10 s, il est soumis à une accélération constante
a = 0,25 m.s-2 ( m/s²).
Le mouvement ( toujours situé dans le même plan ) est alors un mouvement rectiligne
uniformément accéléré.
L'équation de la vitesse instantanée v est :
v = a.t + v0 ( t en s ; a en m.s-2 ; v et v0 en m/s)
I-1. Donner l'équation de la vitesse instantanée du mouvement décrit ci-dessus.
……………………………………………
I-2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
t (s )
0
2
5
8
10
v (m/s)
I-3. On associe à l'équation de la vitesse instantanée la fonction numérique v de la variable t
définie sur l'intervalle [ 0 ; 10 ] par :
v(t) = 0,25.t + 3
v
A l'aide du tableau de valeurs,
donner la représentation graphique
probable de cette fonction dans le
repère orthonormal d’unité
graphique 1 cm.
1
O
t
1
1
I-4. Déterminer graphiquement une valeur approchée de l'abscisse du point d'ordonnée 4,5.
Les traits de construction seront visibles.
( ……… ; 4,5 )
I-5. Résoudre l'équation d’inconnue t :
0,25 t + 3 = 4,5
La solution confirme - t - elle votre réponse à la question I-4 ?
…………
I-6. Répondre à la question : " En combien de temps le mobile aura – t – il atteint une vitesse
instantanée de 4,5 m/s ? "
…………………
PARTIE II :
Calcul d'aire
II-1. Placer sur le graphique les points T1 et T2 de coordonnées : T1 ( 2 ; 0 ) T2 ( 8 ; 0 )
II-2. Tracer les droites d'équation x = 2 et x = 8 .
Elles coupent respectivement la représentation graphique de la fonction v en A et B.
Noter ces points
II-3. La surface limitée par la représentation graphique de la fonction v, l'axe des abscisses et
les droites d'équation x=2 et x=8 est le trapèze rectangle T1ABT2 . Hachurer ce trapèze.
II-4.
Compter le nombre de carrés d'aire 1 cm² contenus
entièrement dans le trapèze.
v
1 cm²
1
O
1
t
réponse : ………………
Compter le nombre de carrés d'aire 1 cm² contenus
entièrement ou partiellement dans le trapèze.
réponse : ………………
Donner un encadrement de l'aire S du trapèze T1ABT2 :
…………………… < S < ……………………
II-5. Donner la mesure en cm des côtés T1A , T2B et T1T2 .
Vous pouvez vous aider du tableau I - 2
T1A = …………… T2B = ……………… T1T2 = …………………
II-6. Calculer l'aire S du trapèze T1ABT2 .
rappel : Aire du trapèze 
 grande base
S =
 petite base  x hauteur
2
( .............. + .............. ) x ..............
2
Aire du trapèze : …………………… cm²
2
= …………………
PARTIE III :
Calcul à l'aide de l'équation horaire
L'équation horaire d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré exprime en fonction du
temps, la distance d parcourue par le mobile dans l'intervalle de temps [ 0 ; t ] .
Pour notre exemple elle s'écrit :
d = 0,125.t² + 3.t
( t en s ; d en m )
III-1. Calculer la distance parcourue dans l'intervalle de temps [ 0 ; 2 ] .
III-2. Calculer la distance parcourue dans l'intervalle de temps [ 0 ; 8 ] .
III-3. En déduire la distance parcourue dans l'intervalle de temps [ 2 ; 8 ] .
III-4. Comparer le nombre donnant la distance (en m) parcourue dans l'intervalle
de temps [ 2 ; 8 ] avec le nombre donnant l'aire du trapèze (en cm²)
III-5. Avant d'aborder le problème avec le professeur réfléchir à la question suivante :
Dans notre étude :
1 cm² - sur l'axe des abscisse 1 cm représente 1
- sur l'axe des ordonnées 1 cm représente 1
v
1
O
1
t
Donc 1 cm² représente 1 x 1 = 1 unité d'aire
" Qu'en est - il dans le cas où l'on prend les unités graphiques ci-dessous ? "
v
1 cm²
5
O
0,5
t
3