Conjugué d`un nombre complexe

Bertaux Mickaël
Butelet Alexandre Pour le 9 Janvier 2009
Devoir maison n°5
Exercice I
1.
03432,033,0'03432,033,0':  yyyyE
L’équation
E
a pour solution sur
 ; 0
les fonctions qui s’écrivent
33,0
03432,0
:33,0  t ektc 
avec
k
réel c'est-à-dire les
fonctions
104,0: 33,0  t ektc 
avec
k
réel
2.
On cherche la solution de
E
telle que
00 c
c’est à dire
104,00104,0
033,0   kek
d’où
104,0k
On en déduit que la fonction
104,0104,0: 33,0  t etc 
est solution de
E
vérifiant
00 c
Exercice II
1':
0yyE
1tan1':  yyE
1.
1'1':
0 yyyyE
L’équation
0
E
a pour solutions les fonctions qui s’écrivent
1 x ekx 
avec
k
réel.
2.
Pour tout
x
réel,
xxgxf cos
donc
xxgxxgxf sincos'' 
Ef desolution
0
desolution
1'
coscoscos'
cossincossincos'
cos
cos cossin
cos'
coscostancos'
coscostan1'
costan1'
Eg
xgxg
xxxgxxg
xxgxxxgxxgxxg
x
xxxgx
xxgxf
xxxgxxxgxf
xxxgxxf
xff
3.
1 desolution 0 x ekxgEg
avec
k
réel
de plus d’après l’énoncé on sait
xxgxf cos
c’est à dire
x
xf
xg cos
donc
1cos1
cos   xx ekxxfek x
xf
Finalement les solutions de
E
sont les fonctions qui s’écrivent
 1cos x ekxx 
avec
k
réel.

Page 2
4.
On cherche la solution de
E
telle que
00 f
c’est à dire
01cos 0  ekx
1
coscos01cosor 0
k
xxkekx
d’où
1k
Finalement la solution de
E
telle que
00 f
est la fonction
 11cos x exx 
c'est-à-dire
x
exxx  coscos
.
Exercice III
1.
x
Df
023
2 xx
1 et 2 sont racines évidentes de
23
2 xx
d’où le tableau de signes suivant :
x
1
2
23
2 xx
+
0
−
0
+
On en déduit Df
 ; 21 ;
2.
xf
xx
xxx
xxxf
23
23969
23333
2
2
2
donc la droite d’équation
2
3
x
est un axe de symétrie de Cf
3.
Chercher le nombre dérivé de la fonction
f
au voisinage de 2 revient à calculer la limite du taux de variations entre 2 et
h
lorsque
h
tend vers 0
hhh
hhhh
h
hh
fhf
h
h
hh
2
0
2
0
2
00
lim
23644
lim
02232
lim
222
lim
4.
23
2 xxxf
Pour tout
x
de
 ; 2
232
32
'2 xx
x
xf
d’après 1. on sait
023
2 xx
sur
 ; 2
donc
xf '
est du signe de
32 x
d’où le tableau de signes suivant :

Page 3
x
2
Signe de
32 x
1
+
D’après le tableau de signes, on peut dire que
f
est croissante sur
 ; 2
5.
Pour tout
x
de
 ; 21 ;
 2
22 23
123 x
x
xxx
2
223
1lim x
x
x
x
et
X Xlim
(d’après le théorème de limite de fonctions composées)
donc
 flim
6.
Sur l’intervalle
1 ; 
on obtient le tableau suivant :
Signe de
xf '
1
Sens de variation
de
xf '
0
puis sur
 ; 2
on a le tableau suivant :
Signe de
xf '
2
Sens de variation
de
xf '
7.
2
3
23
4
12
3
23
4
9
2
3
2
3
23
2
3
23
2
3
2
3
23
2
3
23
2
3
23
2
3
23
2
3
23
2
3
2
2
22
2
2
2
22
2
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxxxf
or d’après 5. on sait
23lim 2xx x
donc
2
3
23lim 2xxx
x
on en déduit
0
2
3
23
4
1
lim 2
xxx x
d’où
0
2
3
lim 
xxf x
0

Page 4
ce qui signifie que la droite
d
d’équation
2
3
 xy
est asymptote à la courbe C au voisinage de
8.
Tracer la courbe avec Archimède.
Exercice IV
11
2 xxxf
1.
1
2x
est une fonction polynôme donc elle est définie et dérivable sur R.
x
est dérivable si et seulement si
0x
donc sur
 ; 0
on en déduit que
1x
est dérivable si et seulement si
01x
ce
qui signifie que
1x
est dérivable sur
 ; 1
.
En somme
xf
est une fonction dérivable au moins sur
 ; 1
Pour tout
x
de
 ; 1
,
12
145
12
114
12
11212
12
1
12'
2
2
2
2
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
x
xxxf
donc
12
145
'2 x
xx
xf
de plus sur
 ; 1
,
012 x
donc
xf '
est du signe de
145 2 xx
1
est racine évidente de
145 2 xx
appelons-là
1
x
or on sait que le produit des racines d’un polynôme du second degré
(s’écrivant
cbxax 
2
) vaut
a
c
d’où
5
1
5
1
12221  xx
a
c
xx
Finalement
1
et
5
1
sont les racines de
145 2 xx
d’où le tableau de signes :
x
1
5
1
Signe
de
xf '
0
−
0
+
2.
Chercher le nombre dérivé de la fonction
f
au voisinage de
1
revient à calculer la limite du taux de variations entre
1
et
h
lorsque
h
tend vers 0
hhhh
hhhfhf
h
hh
12
lim
111
lim
111
lim
2
0
2
00

Page 5
3.
1lim
et
1lim 2
x
x
x
x
donc
 flim
4.
D’après 1. on sait grâce au tableau de signe de
xf '
que la fonction
f
est décroissante sur
5
1
; 1
et croissante sur
 ;
5
1
Dressons le tableau de variation de
f
sur
 ; 1
x
1
a
5
1
b
1
Sens de
variation de
f
5
1
f
5.
D’après le tableau de variation de
f
et d’après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que
l’équation
2
1
xf
admet dans
 ; 1
exactement deux solutions que l’on peut appeler
a
et
b
.
D’après la calculatrice,
525,0a
790,0b
Exercice V
Partie A
Partie B
Partie C
Partie D
0
2
1
0
2
1