LEXIQUE Chance risque Aléatoire Hasard Expérience aléatoire

LEXIQUE
CHANCE RISQUE
ALEATOIRE
HASARD
EXPERIENCE ALEATOIRE
PROTOCOLE EXPERIMENTAL
ISSUE
ÉCHANTILLON
DISTRIBUTION DE FREQUENCES
MODELISATION
MODELE PROBABILISTE
ÉVENEMENT
LOI DE PROBABILITE
PROBABILITE
DENOMBREMENT
POSSIBLE, IMPOSSIBLE, PLAUSIBLE, PROBABLE
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de cadere, tomber, choir.
Au XII°, chaance désignait la manière dont tombent les dés.
1. Manière favorable ou défavorable selon laquelle un évènement se produit.
2. Possibilité de se produire par hasard.
3. Heureux hasard, sort favorable.
Dans le langage courant, des expressions comme "il y a de fortes chances que…",
"quand on lance une pièce, il y a une chance sur deux d'obtenir Pile" renvoient à une
notion de probabilité. Les employer en cours de mathématiques risque de placer l'élève
dans un cadre non rationnel, celui de sort favorable ou défavorable, qui n'est pas adapté
pour le calcul de probabilité.
Vient peut être du latin resecare, couper ou du grec byzantin rhizicon, hasard.
1. Danger éventuel plus ou moins prévisible.
2. Eventualité d'un évènement ne dépendant pas exclusivement de la volonté des parties
et pouvant causer la perte d'un objet ou tout autre dommage.
3. Fait de s'exposer à un danger.
Le calcul de probabilités découle de tentatives de gestion de phénomènes aléatoires et on ne peut
parler de probabilités que dans le cadre de tels phénomènes.
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Aléatoire vient du latin alea : coup de dé.
Est dit aléatoire un phénomène considéré comme relevant du hasard.
Le mot hasard vient de l'arabe al-zahr, qui signifie jeu de dés.
Dans le langage courant, les expressions employant le mot hasard sont nombreuses et en
révèlent différentes acceptions parmi lesquelles : incertitude, danger, chance, malchance,
accident, coïncidence, destin, absence d'anticipation, absence d'intention… C'est un
hasard dont on subit les effets.
Certains courants de pensée mettent en doute l'existence du hasard.
« Le hasard, ce sont les lois que nous ne connaissons pas. », Émile BOREL
« Le hasard n'existe pas, tout a une cause et une raison d'être. », Ostad ELAHI
« Il n'y a pas de hasard, il n'y a que des rendez-vous. », Paul ÉLUARD
« Partout où le hasard semble jouer à la surface, il est toujours sous l'empire de
lois internes cachées, et il ne s'agit que de les découvrir. », Friedrich ENGELS
« Une chose n'est appelée contingente qu'en raison de l'insuffisance de notre
connaissance. », Baruch SPINOZA
Le hasard est nié dans l'approche déterministe : tout phénomène a une ou plusieurs
causes provenant de phénomènes antérieurs. C'est l'insuffisance de nos connaissances
et/ou notre incapacité à tenir compte de multiples paramètres qui fait qu'un phénomène
sera qualifié d'aléatoire.
En mathématiques, d'après Dominique Lahanier-Reuter (Conceptions du Hasard et
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enseignement des probabilités et statistiques, PUF, 1999) on peut distinguer aujourd'hui
cinq conceptions du hasard.
Le ≪hasard du tirage au sort≫, né au milieu du XVII° avec les travaux de Pascal et
Fermat, a pour problème fondateur le problème des partis (posé pour la première fois en
1494). Les situations modélisées sont celles des jeux de hasard, c'est-à-dire des
phénomènes aléatoires discrets pour lesquels on peut faire la description exhaustive de
tous les cas possibles. Le hasard n’y est pas défini, il est une des règles du jeu, il est
mobilisable à volonté. Le cadre d'étude est l'arithmétique (dénombrement,
combinatoire, récurrence finie).
Les trois conceptions suivantes ont pour cadre théorique l'analyse et font référence aux
"théorèmes limites" :
- les ≪Lois des grands nombres≫ établissent les conditions sous lesquelles la moyenne
de la somme de n variables indépendantes centrées sur leur espérance mathématique
converge en loi.
- le ≪Théorème de la limite centrale≫ établit les conditions pour que le rapport de cette
somme à l’écart-type converge en loi vers la loi normale N (0,1).
Le ≪hasard bénin≫ est celui qui, invoqué dans les travaux de Bernoulli (1713), De
Moivre (1733), Laplace (1812), obéit à ces théorèmes limites.
Il s'agit du hasard usuel que l'on peut modéliser par Pile ou Face ; il est reproductible ;
sur un nombre fini d'épreuves, les résultats peuvent paraître anarchiques mais si le
nombre d’épreuves devient suffisamment grand, des régularités apparaissent.
C'est un hasard "raisonnable", il révèle le comportement macroscopique, garantit un
certain déterminisme à une échelle supérieure ; il va être une aide, un outil dans le
domaine scientifique.
Le « hasard lent≫ nommé ainsi par Mandelbrot (début XX°) concerne les phénomènes
aléatoires qui obéissent aux théorèmes limites mais de façon si lente qu’ils n’apportent
pas grand-chose, au niveau macroscopique, sur la connaissance globale du phénomène
étudié (par exemple : variables exponentielles de variables gaussiennes).
Le ≪hasard sauvage≫ d'abord étudié par Lévy (1937), Lorenz (1960) concerne les
phénomènes qui n’obéissent pas aux théorèmes limites, ceux dont l’espérance est infinie
(processus de Cauchy), ou ceux qui sont très sensibles aux conditions initiales comme les
phénomènes boursiers, turbulences, rythmes, phénomènes météorologiques, ceux qui
débouchent sur la théorie du chaos. Leurs fluctuations sont aléatoires mais ne sont pas
bénignes. L’aléatoire au niveau microscopique se traduit par un aléatoire au niveau
macroscopique.
Le recours aux outils de l'analyse va permettre de comprendre les liens entre phénomènes
microscopiques et phénomènes macroscopiques. Ainsi, le hasard n’est plus perçu comme
un principe extérieur, une règle du jeu, mais comme une caractéristique de certains
phénomènes observables, que le mathématicien cherche à modéliser.
Le ≪ hasard formel≫, étudié depuis les années 1960, a pour cadre théorique la théorie
de l'information (entropie, logique formelle, algorithme, langage binaire). Le hasard
devient objet de recherche. Le projet est d’étudier la structure interne de suites aléatoires
(contingentes) et de mesurer la quantité de hasard qu’elles contiennent.
On définit la complexité d’une suite comme la longueur minimale en nombre de bits du
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programme dont l’exécution produirait cette suite et on dit qu'une suite est aléatoire si sa
complexité est "approximativement égale" à sa longueur.
C'est le domaine des paradoxes. D’après le théorème de Gödell, il est impossible
d’exhiber une suite aléatoire.
On considère aujourd'hui que l'homme est incapable de produire par lui-même du hasard.
La production de hasard passe par l'utilisation d'un générateur de hasard, objet usuel
(pièce, dé, urne…) ou fonction d'un instrument TIC. Les nombres "aléatoires" fournis par
la touche RANDOM des calculatrices, ou la fonction ALEA des tableurs ne sont en fait que
des nombres pseudo-aléatoires produits par des algorithmes donnant des suites
périodiques de périodes extrêmement longues, indétectables à notre échelle.
Dans les énoncés d'exercices de mathématiques, l'expression consacrée "tirer un objet au
hasard", appelle comme interprétation "chaque objet à la même probabilité d'être choisi".
De ce fait, le mot hasard est associé à l'équiprobabilité, ce qui peut constituer un obstacle
didactique : on observe souvent des élèves qui, dressant une liste d'éventualités,
attribuent à chacune la même probabilité.
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Une expérience aléatoire est un processus où le hasard intervient pour produire un
résultat parmi d’autres possibles. Ce processus est reproductible dans les mêmes
conditions (au moins par la pensée) et est susceptible d’être décrit par un protocole
expérimental dont la notion d'expérience aléatoire est indissociable.
Le protocole expérimental est l’ensemble des instructions à suivre pour pouvoir
affirmer que l’on a réalisé l'expérience aléatoire. Il doit :
▪ décrire clairement et avec précision les conditions de réalisation de l'expérience de
façon à la caractériser ; c'est ce qui permet de "répéter l'expérience dans les mêmes
conditions".
▪ présenter la liste des issues (conformément au programme de 3°, on considère que
cette liste est finie).
Le respect du protocole garantit que l'issue de chaque expérience ne peut être ni
prévue, ni calculée, ni influencée : à notre échelle, elle dépend du hasard. C'est la
reproductibilité du protocole qui permet de reproduire l'expérience ; c'est la nonprédictibilité du résultat qui confère à l'expérience son caractère aléatoire.
Chaque répétition de l’expérience aléatoire dans les conditions du protocole
expérimental s’appelle une « épreuve ».
On parle d'issue dans la représentation pseudo-concrète d'une expérience aléatoire. Par
exemple, pour le jet d'un dé, les issues retenues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6 (on exclut dé cassé).
Lorsqu'on a répété une expérience aléatoire n fois, les n issues constituent un échantillon
de taille n*.
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de eschandillon, de scandaculum, échelle, jauge
1. Etalon de mesure
2. Petite quantité d'une marchandise que l'on montre pour donner une idée de
l'ensemble.
( Les échantillons sont gracieusement offerts par les marques pour vous faire découvrir
leurs produits et sont valables dans la limite de leurs stocks disponibles et d'une
demande par foyer.)
3. Fraction d'une population destinée à être étudiée par sondage.
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En mathématique, un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions
de la même expérience aléatoire.
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Pour un échantillon donné, la distribution de fréquences est la donnée des issues et de
leurs fréquences.
Distribution de fréquences sur un ensemble fini
Issue
1  2
r
Fréquence f1 f2
fr
1
Pour une expérience aléatoire, deux échantillons de même taille n'ont pas
nécessairement la même distribution de fréquences : c'est la fluctuation
d'échantillonnage.
La démarche probabiliste passe par une modélisation de l'expérience aléatoire qui
débouche sur la définition d'un modèle sous forme de loi de probabilité où on parle
d'éventualités et de leurs probabilités, qui sont des réels positifs de somme 1
quantifiant leur possibilité de réalisation.
Loi de probabilité ou distribution de probabilité
Éventualité
Probabilité
1
p1
2
p2
n
pn
1
Une expérience aléatoire peut être associée à plusieurs modèles, plus ou moins
pertinents ; un modèle pertinent est "assez" simple pour permettre des calculs et leur
exploitation et "assez" juste pour être en cohérence avec la réalité, c'est-à-dire que les
distributions de fréquences obtenues pour des échantillons de taille importante sont en
général proches de la loi de probabilité de ce modèle.
Par exemple, dans le lancer d'une pièce équilibrée, on pourrait adopter la loi de
probabilité :
Éventualité P
F
Probabilité 0,5001 0,4999 1
sans doute plus " juste" pour une pièce plus creuse du côté Pile, mais peu opératoire
pour les calculs. De plus, ce modèle donnerait des résultats très peu différents de celui
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qui est conventionnellement adopté :
Éventualité P
F
1
Probabilité 0,5
0,5
Aborder les probabilités par la loi de probabilité souligne l'importance des probabilités
élémentaires les unes par rapport aux autres, il y aurait peu de sens à les définir chacune
isolément.
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Traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories
mathématiques puis généralement en sens inverse la traduction des résultats
mathématiques obtenus en prédictions ou opérations dans le monde réel.
Représentation mathématique d’un phénomène physique, économique, humain …réalisé
afin de pouvoir mieux utiliser celui-ci.
(Larousse)
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Du verbe latin : evenire (venir) a remplacé event vers 1507.
L’Académie française indique l’orthographe « événement » dans sa 3e édition (1740). En
1990, le rapport sur les rectifications orthographiques préconise « évènement » afin de
respecter sa prononciation ; l’ancienne accentuation « événement » reste tolérée.
1. Fait auquel vient aboutir une situation
2. Qui arrive et qui a quelque importance pour l'homme.
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En mathématiques, le mot évènement est utilisé dans plusieurs contextes.
▪ Dans la description de l’expérience aléatoire réelle, un évènement est une assertion qui,
au vu du résultat de l'expérience aléatoire, se révèlera vraie ou fausse. Par exemple,
pour le jet d'un dé, on peut s'intéresser à l'évènement "la face supérieure du dé montre
un nombre pair".
▪ Dans la représentation pseudo-concrète de l’expérience, un évènement est un ensemble
d’issues possibles. Par exemple, pour le jet d'un dé, l'évènement "obtenir un nombre
pair" devient {2 , 4 , 6}.
Une fois l'expérience réalisée, l’issue observée, si elle appartient à cet ensemble, réalise
cet évènement.
▪ Dans le modèle probabiliste, un évènement est un sous-ensemble de l'ensemble Ω des
éventualités, appelé univers
Par exemple, pour le jet d'un dé équilibré, on peut choisir Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} et
{2 , 4 , 6} est un évènement.
Langage ensembliste
Langage probabiliste
Exemple : jet d'un dé
Ensemble Ω
A est une partie de Ω
Univers ou référentiel
A est un évènement
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A={1 ; 2 ; 3} est un
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A⊂Ω
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Partie pleine Ω
Évènement certain
Singleton {i}
Évènement élémentaire
B est l’ensemble vide
B=
C est la réunion de A et
de B
C = AB
D est l’intersection de A
et de B
D = AB
A et B sont disjoints
AB = 
A et B sont
complémentaires dans Ω
A = CΩB
B est l’évènement
impossible
évènement défini en
extension.
« Obtenir au plus 3 »
définit le même évènement
en compréhension.
"Obtenir un résultat
inférieur à 10".
B = {6} ou encore
« Obtenir 6» est un
évènement élémentaire.
« Obtenir plus de 7 » est
impossible.
C est l’évènement
« A ou B »
D est l’évènement
« A et B »
A et B sont des
évènements incompatibles
A et B sont des
évènements contraires
A = Error!
La donnée de la loi de probabilité permet de calculer la probabilité d'un évènement, à
l'aide des règles suivantes.
- P(Ω) = 1
- La probabilité d'un évènement A est la somme des probabilités des évènements
élémentaires qui le constituent. P(A) = Error!
(Dans un souci d'alléger le vocabulaire en classe de Troisième, on peut éviter de parler
d'évènement élémentaire, et dire "la probabilité d’un évènement est égale à la somme des
probabilités des éventualités qui le constituent".)
- Pour tout évènement A, P ;A = 1  P(A).
( )
- Si A et B sont incompatibles, P(A ou B) = P(A) + P(B)
Dans le cas où les évènements élémentaires ont la même probabilité, égale à Error! , la
probabilité d'un évènement A est Error!. Le calcul de probabilité se ramène dans ce
seul cas à du dénombrement.
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Du latin dinumerare (dis, numerare)
Action de dénombrer (des personnes, des choses), c'est-à-dire de faire le compte,
d'énoncer (chaque élément) en comptant.
Résultat de cette action.
Comptage, compte, énumération, inventaire, recensement. (d'après PETIT ROBERT 2007).
Quand la situation est complexe et que les opérations de base (addition, soustraction,
etc.) ne suffisent pas, on a recours à d'autres outils (tableaux, arbres, p-listes,
combinaisons, arrangements, permutations, p parmi n, n!…)
L'équiprobabilité est adoptée dans la plupart des cas pour des raisons de symétrie
évidentes (lancer d'un dé). Dans d'autres cas, on peut s'y ramener par un choix judicieux
de l'univers (lancer de deux dés et somme des faces). Pour d'autres situations, c'est
l'observation de la stabilisation des fréquences dans des épreuves répétées un nombre
croissant de fois qui peut guider dans le choix d'un modèle.
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de possibilis, de posse, pouvoir ;
Ce qui est virtuel, en puissance, ce qui est réalisable (sans que l'on sache si cette
réalisation est effective ou pas). Est possible ce qui n'est pas impossible.
En mathématique, un évènement impossible est un évènement qui ne peut pas être
réalisé. On ne parle pas d'évènement possible. On utilisait ce mot dans deux expressions
(vieillies) :
▪ "l'univers des possibles", où le mot désigne ce que l'on appelle aujourd'hui les
éventualités (cf. Loi de probabilité);
▪ la formule Error! à laquelle on préfère aujourd'hui Error! ou Error! .
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- de plausibilis de plaudere, applaudir.
- Se dit d'une thèse, une histoire, une interprétation, une explication, une excuse qui
semble pouvoir être admise, tenue pour vraie. Renvoie à la notion de vrai.
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- de probabilis
- Qui a de bonnes chances de se réaliser. Renvoie à une quantification, éventuellement
implicite.
- Non utilisé en mathématique.
- Non utilisé en mathématiques.
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