CORRECTION INTERRO proba cond

NOM : _____________________________
IE. Probabilités conditionnelles
TSTMG
Ex1.
A et B désignent deux événements de l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire tels
que
= 0,7,
= 0,1 et ̅
= 0,2.
1. Compète l’arbre des probabilités ci-contre.
̅ et de ̅
2. À l’aide de l’arbre, déterminer la valeur de
.
̅ =1−
= 1 − 0,7 = 0,3
= 1 − 0,2 = 0,8
̅
3.
∩
= 0,7 × 0,1 = 0,07
̅∩
et
= 0,3 × 0,8 = 0,24
4. En déduire
=
.
∩
+
̅∩
= 0,07 + 0,24 = 0,31
Ex2. 100 élèves de terminale STMG se répartissent de la façon suivante.
filles garçons total
pratiquent un sport
30
50
80
ne pratiquent aucun sport 12
8
20
total
42
58
100
On rencontre au hasard un des 100 élèves.
Tous les élèves ont la même probabilité d’être rencontrés.
On considère les événements suivants :
F : « l’élève rencontré est une fille. »
G: « l’élève rencontré est un garçon. »
S : « l’élève rencontré pratique un sport. »
: « l’élève rencontré ne pratique aucun sport. »
1. Traduire par une phrase l’événement ∩ ̅, puis en calculer sa probabilité.
∩ ̅ : « l’élève choisi est un garçon qui ne pratique pas le sport. »
∩ ̅ =
= 0,08
2. Déterminer les probabilités conditionnelles
=
= 0,375 ;
̅
et
=
!
̅
.
= 0,4
3. On choisit un élève parmi les garçons ; calculer la probabilité qu’il pratique un sport.
#
"
!#
= # = !$ ≈ 0,862
4. Complète l’arbre des probabilités ci-dessous.
50
58
8
58
30
42
12
42
Ex3. Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.
Une étude statistique a permis de constater que 10 % des articles fabriqués sont défectueux. Un article est
considéré comme défectueux lorsqu’il a au moins un défaut, c’est-à-dire soit le défaut ', soit le défaut (
soit les deux défauts.
Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au millième.
Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b.
On note : A l’évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut a » ;
B l’évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut b » ;
̅ et les évènements contraires respectifs de A et B.
On donne les probabilités suivantes : p(A) = 0,05 ; p(B) = 0,06.
1. On considère l’événement ∪ .
Décrire cet événement à l’aide d’une phrase, puis donner sa probabilité.
∪
: « l’article prélevé a un moins un défaut. »
∪
= 0,1
2. On considère l’événement ̅ ∩ décrit par la phrase :
« un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut ».
Calculer la probabilité de cet évènement.
L’événement contraire de « aucun défaut « est « au moins un défaut »
donc l’événement contraire de
̅∩
=1−
∪
̅∩
est
∪
= 1 − 0,1 = 0,9
2. Calculer la probabilité de l’évènement : « un article prélevé au hasard présente les deux défauts ».
∪
=
+
−
∩
0,1 = 0,05 + 0,06 −
∩
⇔ 0,11 −
∩
= 0,1
⇔
∩
= 0,11 − 0,1 = 0,01
3. On admet que
∩
= 0,01.
On prélève au hasard un article parmi ceux qui présentent le défaut a.
Calculer la probabilité que cet article présente également le défaut b.
=
,
∩,
=
,
, #
= 0,2
4. Complète le tableau de probabilité ci-dessous.
total
5.
=
-
,
∩-
=
, -
, .
,$.
=
0,01
0,04
0,05
!
./
total
0,06
0,94
1
0 = 0,2 ;
= 0,4 et
≈ 0,043
Ex4.
On considère deux événements E et F tels que
1. Calculer 0 ∩
0∪
= 0 +
⇔0,2 + 0,4 − 0 ∩
̅
0,05
0,9
0,95
− 0∩
= 0,5
⇔ 0,6 − 0 ∩
= 0,5
donc 0 ∩
= 0,6 − 0,5 = 0,1
2. En déduire les probabilités conditionnelles
2
3
=
0 =
, 2∩3
, 2
, 2∩3
, 3
=
=
,
,!
,
,.
= 0,5 ;
= 0,25
2
et
3
0 .
0∪
= 0,5.