Chapitre 5

MPSI Chapitre 5
LES OSCILLATEURS, PORTRAITS DE PHASE
5-1 L'oscillateur harmonique
5-1-1 Mouvement d'un point matériel sur une courbe au voisinage d'une position d'équilibre
stable Soit s l'abscisse curviligne d'un point matériel M, de masse m, mobile sur une courbe et soumis à
des forces conservatives et à des forces qui ne travaillent pas (donc de puissances nulles).
Soit Epm son énergie potentielle pour une position d'équilibre stable et sm l'abscisse curviligne
correspondante. On a
0
ds
dEp
m
et
0
ds
Epd
m
2
2
.
La formule de Taylor-Young permet d'écrire :
...
!3 )ss(
ds
Epd
!2 )ss(
ds
Epd
)ss(
ds
dEp
EpEp 3
m
m
3
3
2
m
m
2
2
m
m
m
, pour s voisin de sm, on
peut faire l'approximation suivante :
2)ss(
KEpEp 2
m
m
avec K =
0
ds
Epd
m
2
2
. Au voisinage de la
position d'équilibre, on a donc
)ss(sK
dt
dEp m
.
Mais la puissance développée par les forces conservatives est aussi la puissance totale puisque les
autres forces développent ici une puissance nulle :
dt
dEp
P
. En notant
F
la somme des forces que subit
le point matériel, on a
  ssmvamvF .. P
donc
)ss(sKssm m
.
La solution
0s 
(
t
) correspondant à l'absence de mouvement étant à éliminer, on a donc
l'équation différentielle :
0)ss(
m
K
sm
(avec K et m > 0).
En posant
m
K
0
et en prenant l'origine des abscisses curvilignes à la position d'équilibre stable
(sm = 0) : l'équation différentielle du mouvement au voisinage d'une position d'équilibre stable s'écrit
0ss 2
0
.
S'il se déplace sur un cercle de rayon R, avec
R
s
elle s'écrit aussi
0
2
0
.
Si le point se déplace sur une droite que l'on prend alors comme axe des x, l'équation s'écrit alors :
0xx 2
0
.
5-1-2 Oscillateur harmonique
Tout point matériel dont la loi horaire f : t X = f(t) (avec X = s, ou  ou x) est solution de
l'équation différentielle
0XX 2
0
est un oscillateur harmonique.
Un point matériel au voisinage d'une position d'équilibre stable est un oscillateur harmonique.
On a déjà vu qu'un point matériel lié à un ressort parfait dont l'autre extrémité est fixe et astreint à se
déplacer sans frottement sur la droite formée par l'axe du ressort est un oscillateur harmonique (que cet axe
soit horizontal ou vertical ou incliné, si le champ de pesanteur est uniforme) de pulsation
m
k
0
.

On a vu aussi qu'un pendule pesant simple est bien un oscillateur harmonique, de pulsation
L
g
0
mais seulement au voisinage de sa position d'équilibre.
La loi horaire de l'oscillateur harmonique, avec X = 0 à la position d'équilibre stable s'écrit donc, avec
des constantes A et  ou  et  déterminées par les conditions initiales :
)tcos(AX 0
ou
)tsin()tcos(X 00 
5-1-3 Aspect énergétique
Soit un point mobile sur une courbe et dont l'abscisse curviligne est solution de l'équation
différentielle
0)ss(s m
2
0
(au voisinage de sa position d'équilibre (s = sm) ou sur tout le domaine de
définition de s), c'est-à-dire un oscillateur harmonique. Sa loi horaire s'écrit s = sm + A cos(0 t + ) .
On a donc, dans le domaine où cette équation est vérifiée,
0)ss(sss m
2
0 
. En multipliant les
deux membres par m dt et en intégrant, on obtient
C
2
ss
m
2
s
m2
m
2
0
2
, soit Ec + f(s) = C (C est
une constante).
f(s) =
2
ss
m2
m
2
0
+B (avec B constante) est donc l'énergie potentielle du point matériel et
E0 = C + B est son énergie mécanique, constante. Pour s = sm, Ep = B donc B = Epm : énergie potentielle à la
position d'équilibre stable (choisie arbitrairement). On a donc
2)ss(m
Ep 2
m
2
0
+ Epm soit encore
m
2
mEp)ss(
2
K
Ep 
, avec K = m 02 =
2
2
ds
Epd
.
Si le mouvement est rectiligne, on notera x à la place de s et s'il est circulaire, de rayon R, on notera
s = R  et Ep =
2
m
2)(
2
KR 
.
L'allure de la courbe représentant Ep en fonction de s, x ou  reste la même : une parabole :
E0
Ep
Asm
s
O
sm
Asm
Epm

Le point se déplace dans un "puit de potentiel" (ou "cuvette de potentiel"). La condition Ep < E0
(énergie mécanique initiale) donne l'amplitude A du mouvement...
Bien entendu, un choix plus adéquat de l'origine des abscisses curvilignes (sm = 0) et de l'origine des
énergies potentielles (Epm = 0) ne fait que décaler la parabole en plaçant son sommet en O et il lui
correspond une énergie potentielle
2
s
2
K
Ep 
et une loi horaire s = A cos(0 t + ).
5-2 Portrait de phase
5-2-1 Définitions, propriétés des trajectoires de phase
On considère un point matériel à un seul degré de liberté. On notera ici X = s ou x ou  et
X
la
vitesse algébrique ou la vitesse angulaire suivant les cas.
L'état de ce point est caractérisé à un instant donné par le "point de phase" de coordonnées X et
X
.
Le point de phase se déplace au cours du temps dans le "plan de phase" sur sa "trajectoire de phase".
L'ensemble des trajectoires de phase pour les différentes conditions initiales possibles est le "portrait
de phase" du point matériel.
On remarque que pour
X
> 0, X est croissant et
pour
X
< 0, X est décroissant. Ceci donne le sens de
parcours du point de phase sur la trajectoire de phase.
D'autre part, si
X
= 0, X est extrémal donc la
tangente à la trajectoire de phase pour
X
= 0 est verticale.
Un tel point de phase est appelé point de rebroussement.
On a
X
X
dX
dt
dt
Xd
dX
Xd
Donc, la tangente à la
trajectoire de phase pour
X
= 0 est horizontale. Un tel
point de phase correspond au passage du point matériel par
une position d'équilibre.
Si la trajectoire de phase est une courbe fermée, le point matériel repasse aux mêmes positions avec
la même vitesse, il en résulte que le mouvement est périodique et la trajectoire de phase est parcourue dans
le sens inverse du sens trigonométrique ("sens des aiguilles d'une montre").
5-2-2 Portrait de phase de l'oscillateur harmonique
On obtient la trajectoire de phase de l'oscillateur d'équation différentielle
0XX 2
0
, avec des
conditions initiales X0 et
0
X
et de trois façons différentes :
- En résolvant l'équation différentielle : X = A cos(0 t + ) et
X
= – A 0 sin(0 t + ), avec A et 
calculables avec les conditions initiales : X0 = A cos() et
0
X
= – A 0 sin() d'où A =
2
0
2
0
2
0X
X
et
00
0
X
X
tanArc
si X0 > 0 et  =  –
00
0
X
X
tanArc
si X0 < 0. L'équation de la trajectoire de phase
s'obtient avec sin2(0 t + ) + cos2(0 t + ) = 1 d'où :
1
A
X
A
X2
2
0
.
X
X

- Avec l'équation différentielle : En multipliant par 2
X
dt les deux membres et en intégrant entre t = 0 et t :
0dtXX2dtXX2 t
0
2
0
t
0  
soit
0dXX2XdX2 X
X
2
0
X
X00
d'où
0XXXX 2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
,
avec
2
2
0
2
0
2
0
2
0AXX 
, on obtient
1
A
X
A
X2
2
0
.
- Avec l'énergie mécanique constante : Si X représente x ou s, (si c'est , il faut d'abord le multiplier par le
rayon du cercle).
Ec =
2
Xm 2
et Ep =
2
XK 2
, l'énergie mécanique est conservée donc Ec + Ep = Ec0 + Ep0. D'où
l'intégrale première du mouvement :
2
Xm 2
+
2
XK 2
=
2
Xm 2
0
+
2
XK 2
0
. En multipliant par
m
2
, avec
2
0
m
K
, on obtient
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2XXXX  
et finalement
1
A
X
A
X2
2
0
.
Cette relation entre X et
X
est représentée par une ellipse de demi-axes A sur l'axe des X et 0 A sur
l'axe des
X
. La trajectoire de phase d'un oscillateur harmonique est une ellipse dont les axes de symétrie
sont les axes des coordonnées X et
X
.
Le portrait de phase de l'oscillateur harmonique est un ensemble d'ellipses homothétiques dans
une homothétie de centre O car on passe de l'ellipse correspondant à l'amplitude A à celle qui correspond à
l'amplitude A' en multipliant les valeurs de X et de
X
par le rapport
A'A
.
Si l'on utilise les coordonnées X et
0
X
, pour avoir des grandeurs de même dimension (ou si l'on
adapte les échelles de telle façon que A et  A soient représentés par la même distance) , les trajectoires de
phase deviennent des cercles
X
A
A X0
0
/X 
A
A
00/X 
X
A
A X0
0
/X 
A
A
00/X 
X
A
A X0
X
A
0
A
0
0
X
X
A
A X0
X
A
0
A
0
0
X

5-2-3 Portrait de phase du pendule pesant simple
5-2-3-1 Définition, équation différentielle
Un pendule pesant simple est un point
matériel qui oscille sur un cercle vertical sous
l'action de son poids.
Il peut s'agir d'un point matériel
suspendu à un fil inextensible, de masse
négligeable dont l'autre extrémité est fixe, à
condition que la vitesse initiale ait une
direction convenable. Mais dans certaines
conditions, le fil peut se détendre et le point
matériel quitte sa trajectoire circulaire...
On évite ce problème de la tension du
fil en considérant un point lié à un cercle
vertical (anneau ou perle enfilés sur une tige
circulaire ou autres dispositifs équivalents).
On considérera ici le cas où le point
matériel n'est soumis, en plus de son poids,
qu'à la réaction normale du cercle sur lequel il
se déplace; on négligera donc ici tout
frottement.
L'équation différentielle du mouvement
s'obtient avec la conservation de l'énergie mécanique, ou avec la relation fondamentale de la dynamique, ou
avec le théorème du moment cinétique appliqué au point fixe O :
En notant L le rayon du cercle (longueur du fil, pour le pendule simple classique), le moment
cinétique en O est
   z
2
rO uLmuLmuLvmOM
donc
z
2
0uLm
td
d
.
La somme des moments en O des forces que subit M est :
   POMROM
O
.
Avec, à priori,
  zzrr uRuRR
, car il n'y a pas de frottement, et
 u)sin(u)cos(gmP r
donc
 uRLu)sin(LgmuRu)sin(gmuR)cos(gmuL zzzzrrrO
mais
O
O
td
d
donc Rz = 0 et
)sin(LgmLm 2
donc, en posant
L
g
0
on obtient l'équation différentielle du
mouvement du pendule pesant simple :
0)sin(
2
0
.
5-2-3-2 Cas des petites oscillations
Pour des mouvements de faible amplitude, sin()  et il s'agit d'un oscillateur harmonique. En
notant  l'amplitude on obtient la loi horaire  =  cos(0 t + ) la trajectoire de phase est une ellipse
d'équation
1
2
2
0
ou
22
2
2
0
avec
2
0
0
2
0
.
.
O z
M
x
y
θ
r
u
u
z
u
L
.
.
O z
M
x
y
θ
r
u
u
z
u.
.
O z
M
x
y
θ
r
u
u
z
u
L