E 6 : Prendre max 10° et l = constante ( entre 50 et 80 cm )

TP P 5 : Le Pendule Pesant
1. Rappel des formules du pendule pesant (pendule simple)
C 1 : Période :
T  2
l
g
si max est petit

2
 max
l
T  2 (1 
) si max est grand
g
16
( max est exprimé en radians )
2t
 ) si max est petit
T
1 2 d 2
C 3 : Energie cinétique : E K  ml ( )
2
dt
C 4 : Energie potentielle : E P  mgl (1  cos ) avec E P  0 pour  = 0 (c'est à dire à l'équilibre )
C 2 : Equation horaire :    max sin(
C 5 : Energie mécanique : E m  E P  E K
2. Influence de m, l, θmax sur la période T
simple:mise en évidence expérimentale.
d’un pendule
2.1. Relation entre T et m.
E 6 : Prendre max  10° et l = constante ( entre 50 et 80 cm )
Faire varier la masse m , et mesurer à chaque fois 10 périodes T .
m(g)
20
40
60
80
100
T(s)
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
E 7 : Tracer T = f ( m ) à l’aide de REGRESSI
1
Par un défaut technique (nous avions un chronomètre mécanique et non électronique), nos mesures de T
sont très approximatives.
On remarque que la période est constante quelle que soit la masse m, la période est invariante :
la durée de la période est indépendante de la masse m.
2.2. Relation entre T et l.
E 8 : Prendre m = 50 g (ou une autre masse) et max  10°.
Faire varier l , et mesurer à chaque fois 10 périodes T .
l ( cm )
20
40
60
80
100
T(s)
9,5
12,5
15
18
20
T2 ( s2 )
90,25
156,3
225
324
400
E 9 : Tracer T = h( l ) et modéliser en utilisant le modèle « puissance » de REGRESSI.
Q 10 : En déduire l’intérêt de tracer la « courbe » T² = f( l) pour pouvoir faire une exploitation graphique
simple .
2
On obtient à peu près une courbe proche de T=h(l)=a* l0.5 avec a=2s; aussi, en traçant la courbe T² = f( l),
on peut récupérer une droite d’équation T² = a² * l, ce qui simplifiera l’exploitation graphique.
E 11 : Tracer T 2 = f (l ) par REGRESSI
La courbe obtenue est une droite. Le carré de la période est proportionnel à la longueur l du
pendule.
E 12 : Remarque : méthode "dynamique " pour mesurer l'intensité de la pesanteur au lieu considéré.
4 2 l
On a : T 
g
2
La pente p (ou coefficient directeur ) de la courbe T 2 = f ( l ) a pour valeur :
4 2
4 2
p
, d'où : g 
.
g
p
Retrouver la valeur de g à partir de celle de p.
Suite de Q 10 , en posant (p=a²) : Sur la courbe expérimentale, on a p = 3,99 s2.m -1
D’où : g = 9,89 m.s-2 cette valeur est proche de la valeur de référence g0= 9,81 m.s -2 .
Conclusion : la méthode expérimentale du pendule pesant, par la mesure des périodes au carré T²
par rapport à la longueur du pendule permet de retrouver l’intensité de la pesanteur en un point
de la surface terrestre, en l’occurrence le laboratoire.
2.3. Relation entre T et θmax .
E 13 : Prendre m = 100 g et l = constante (entre 50 et 80 cm) : l = 60cm
E 14 : Faire varier l’amplitude angulaire max, et mesurer à chaque fois 10 périodes T, et remplir le
tableau ci –après :
max (°)
max (rad)
max2 (rad2)
T (s)
3
5
10
15
π/60
π/36
π/18
π/12
20
30
40
50
60
π/9
π/6
9π/2
18π/5
(π/60)² (π/36)² (π/18)² (π/12)²
(π/9)²
(π/6)²
(2π/9)²
(5π/18)² (π/3)²
1.575
1.585
1.615
1.625
1.650
1.572
1 .594
1.588
3
π/3
1 .669
E 15 : En traçant T = f( θ) et en modélisant sous la forme T = A +(B* θn), on obtient une courbe de très
bonne approximation ( écart relatif : 0,64% ; a=1.54s ; b=0.114 s ; n=0.5)
E 16 : Aussi en traçant T= f (max2), on simplifie l’exploitation graphique car on a une droite affine .
E 17 : On peut modéliser la courbe par la relation : T = Q (1+ k. max2) (écart relatif seulement 0.44%).
E 18 : Déterminer Q et k . Conclure.
On détermine expérimentalement : Q=1,58s
k= 0.54
Or étant donné que pour θ en radian petit, par exemple θ≤π/12, max2 est d’autant plus petit (ordre de
grandeur de moins de 10-2) ; de plus 0≤k ≤1; donc la valeur de Q.k. max2 est dans ce cas très négligeable.
Conclusion : la longueur du fil du pendule étant constante, pour θ très petit, on peut approximer :
T ≈ Q.
Aussi, pour θ très petit, pour l donné, la valeur de la période du système oscillant peut être
considéré comme constante.
3. Etude des oscillations d'un pendule simple à l'aide d'un
logiciciel d'acquisition.
On utilise le logiciel Synchronie 2003 couplé avec une interface d'acquisition directe:
EUROSMART associée au dispositif Pendulor. On va ainsi pouvoir suivre directement la variable
4
associée au pendule pesant (l'angle α = θ) au cours du temps.
3.1. Réalisation des enregistrements
3.1.1. Mise en route du logiciel et réglage du zéro:
E.19 : Sur le bureau, ouvrir Synchronie 2003, la fenêtre d'acquisition par Synchronie 2003 apparaît.
E.20: Cliquer sur l'onglet paramètres. La fenêtre des paramètres d'acquisition s'affiche.
E 21 : Sélectionner l'onglet entrées et vérifier que l'entrée EAO est en configuration automatique et est
affichée dans la fenêtre 1.
E.22 : Cliquer sur l'onglet acquisition et fixer une durée de 2.5s pour un total de points de 1000
(pour les deux derniers enregistrements, il faudra fixer la durée à 12 s et le nombre de points à 5000).
E.23: En laissant le pendule à sa position d'équilibre, lancer une acquisition en appuyant sur F 10.
Pendant cette acquisition, tourner le disque situé sur l'axe de rotation du pendule pour se placer à 0,00 V.
E.24 : Une fois le réglage précédent effectué,lancer une nouvelle acquisition en appuyant sur F 10 en
maintenant le pendule à 90,0° de sa position d'équilibre ( on pourra utiliser une équerre et un fil à
plomb).
E 25 : Après cette acquisition, relever la valeur de la tension constante mesurée à l'aide de l'onglet
réticule. Noter cette valeur: V1=6 ,06V.
3.1.2. Mode opératoire pour enregistrer les oscillations.
E 26 : Mesurer la distance 1 de l'axe de rotation au centre de masse du cylindre pesant fixé en bout de
tige, ainsi que la masse m de ce cylindre.
l = 0,465 m
m = 0,142
kg
E.27 : Ecarter le pendule pesant de sa position d'équilibre. E 28 : Le lâcher sans vitesse initiale.
E 29 : Déclencher l'enregistrement en tapant sur F 10.
3.1.3. Mode opératoire pour sauvegarder les enregistrements :
E.30. Cliquer sur Fichier / enregistrer sous et sauvegarder sur disquette ou clé USB au format texte:
osci1.TXT (ou txt) après avoir indiqué les variables à enregistrer : T le temps et EA0 : la tension v1
E 31 : Sur le bureau, cliquer sur l'onglet Regressi. La fenêtre bien connue de Regressi s'affiche. Cliquer
alors sur fichier /ouvrir et aller chercher le fichier texte sauvegardé précédemment. Les données
acquises s'affichent alors regroupées dans un tableau donnant T et EAO.
E 32 : Modifier, le nom de T en t (pour ne pas faire de confusion avec la période du mouvement).
E 33 : Créer la variable α à partir de EAO. Pour cela, créer une nouvelle variable calculée α =
90*EA0/(V1) en remplaçant V1 par la valeur déterminée précédemment en E 25E.34. : Cliquer sur
Fichier / enregistrer sous. Choisir ensuite un nom de fichier : oscill.rw3 et la disquette ou la clé USB
comme destination.
3.2. Enregistrements.
3.2.1. Faible amplitude, frottement négligeable
E 35 : Noté oscfafn1 (2.5 s de durée)
3.2.2. Grande amplitude, frottement négligeable
E.36 : Noté oscgafn2 (2.5 s de durée)
3.2.3. Faible amplitude, avec frottement fluide
E 37 : Noté oscfaff3 (ne pas oublier de changer la durée à 12 s)
3.2.4. Faible amplitude, avec frottement solide
E.38 : Noté oscfafs4 (ne pas oublier de changer la durée à 12 s)
5
3.3. Exploitation des résultats
3.3.1. Etude des mouvements
3.3.1.1. Equations horaires
E 39:Représenter, pour chacun des enregistrements précédents, la courbe α = f (t). (voir étapes suivantes)
►Oscfafn1
E 40 : Pour Oscfafn1, on peut modéliser la courbe f(t)= α par une sinusoïdale pure d’équation
α = αmax*sin((2*π*t/T) +φ), avec une bonne approximation d’écart relatif : 9,3%
E 41 : Déterminer αmax, T et φ par modélisation de la courbe expérimentale. Ne pas oublier les unités !
Aussi on détermine :
αmax =4 ,27 V
T =1,36 s
φ=1,28 rad
6
►Oscgafn2
E 42 : Vérifier que pour le second enregistrement, on n'a pas :
α = αmax*sin((2*π*t/T) +φ) mais que la courbe reste périodique. (sinusoïdale pure )
Remarque : Malheureusement, la courbe du second enregistrement Oscgafn2 vérifie encore
l’équation de l’énoncé, avec une approximation d’écart relatif seulement : 1 ,4%, soit encore
meilleure que celle du Oscfafn1… La courbe reste donc parfaitement périodique.
On peut éventuellement supposer que le système du Pendulor admet une valeur d’amplitude minimale
pour une meilleure précision d’enregistrement de sinusoïdale. L’amplitude faible imposée pour
Oscfafn1 n’aurait donc pas atteint cette valeur minimale.
E 43, E 44: Une superposition de courbes s’avère donc inutile. On se contentera de la courbe
obtenue immédiatement pour déterminer expérimentalement αmax et T.
Les valeurs expérimentales ainsi déterminées :
αmax =69,20V
T =1,50 s
( φ=1,525 rad )
E 45 : Retrouver T par le calcul. Comparer et conclure.
T  2
l
g
Avec l=0,465m, g = 9,81 m.s-2
T=1,368s
Cette valeur calculée (donc théorique ) est plus proche de la valeur expérimentale obtenue par
l’enregistrement Oscfafn1 de faible amplitude et de frottements négligeables que de celle par
Oscgafn2 ; on en déduit donc qu’une faible amplitude permet une meilleure détermination de la
période, pour un système oscillant donné (en l’occurrence, le Pendulor).
7
►Oscfaff3
E 46 : Dans le cas de Oscfaff3, avec une bonne approximation (écart relatif: seulement 3,8%), on a bien :
α = αmax* e-h*t * sin((2*π*t/T) +φ)
(sinusoïdale avec amortissement)
[La courbe de l’enregistrement a en effet pour équation : α =αmax* e-t/ τ * sin((2*π*t/T) +φ)]
Déterminer αmax, h, T et φ par modélisation de la courbe expérimentale. Ne pas oublier les unités !
αmax=10,07 V
h=1/τ=1/13,3=0,075 s-1
T=1,49s
φ=1,46rad
8
►Oscfafs4
E 47: Dans le cas de Oscfafs4, avec une assez bonne approximation (écart relatif : 8,8%), on a bien :
α = αmax *(p-q*t) * sin((2*π*t/T) +φ)
(sinusoïdale avec amortissement)
Déterminer αmax, p, q, T et φ par modélisation de la courbe expérimentale. Ne pas oublier les unités !
αmax=8,40V
T=1,35s
φ=1,09rad
p= 80
q=7,61s-1
Je ne parviens pas à déterminer l’unité de p.
3.3.1.2. Portraits de phase
E 48 : Pour chaque mouvement calculer, à l’aide de Regressi la vitesse angulaire α’ = dα/ dt
E 49 : Créer la variable A’ = α’/ ω avec ω = 2*π / T, avec pour T la valeur expérimentalement trouvée
E 50 : Tracer les différents graphes A’= f ( α ). Que remarquez vous ? Comparer les et établir une
relation entre leur forme et le type d’oscillation.
(Avec des échelles aux proportions les plus équilibrées possibles) :
►On remarque que le portrait de phase de l’enregistrement Oscgafn2 a un portrait de phase
quasiment circulaire : il s’agit en effet d’une oscillation quasiment sans frottement.
►Cependant celui de l’enregistrement Oscfafn1 a une forme plus elliptique, bien que les
frottements devraient être encore moindres ici que chez Oscgafn2. Probablement, on doit attribuer
cette anomalie à une erreur de manipulation ou une imprécision du système Pendulor pour α trop petit.
►Le portrait de phase de Oscfaff3 est patatoïde: ce portrait de phase serait donc caractéristique
des oscillations avec frottements fluides.
►Le portrait de phase de Oscfafs4 est carrément en spirales, avec A’ décrivant un diamètre de
plus en plus grand au cours du temps : ce portrait de phase serait caractéristique des oscillations
avec frottements solides.
9
Portrait de phase de Oscfafn1
Portrait de phase de Oscgafn2
10
Portrait de phase de Oscfaff3
Portrait de phase de Oscfafs4
11
3.3.2. Etude énergétique.
E 51 : Pour les enregistrements 1 et 3, créer les nouvelles variables:
Ek= 0.5*m*(l* α.')² , Epp = m*g.*l*(l-cos(α)) et Em = Ek + Epp,
avec g = 9,8 m/s²
l = 0,465 m
m = 0,142 kg
Remarque: les courbes obtenues directement à partir des équations données ci-dessus sont
difficilement exploitables; en effet, les frottements jouent un rôle non négligeable même dans le cas
de Osfafn1, et a fortiori dans celui de Osfaff3. Pour donner un aperçu de cette difficulté:
Oscfafn1 énergies en fonction du temps puis de alpha :
Oscfaff3 énergies en fonction du temps puis de alpha :
AUSSI : on cherche à rendre les courbes exploitables en essayant de définir de façon plus adaptée
(notamment en tenant compte de l’impact des forces de frottements) les équations de Ek et Epp :
►Pour Oscfafn1 :
•On constate que la courbe « primaire »de Epp est celle qui présente la plus d’anomalies dues à la
négligence pour les frottements; on va donc remplacer son équation par Epp = 0.5*m*g.*l*α².
• La courbe primaire de Ek est quant à elle inexploitable à cause de la dispersion des points
dérivés de α. On essaie donc (puisque l’amplitude est faible, on peut utiliser une expression
rapprochée de α(t) dans son équation différentielle ) de remplacer son équation par :
Ek=0.5*m*[l* αmax*(2π/T)*cos(2π*t/T+φ)]²
►Pour Oscfaff3 :
D’une part en tenant compte des frottements fluides on définit Epp = 0.5*m*g.*l*α² d%.
•D’autre part, on remarque que dans le cas de Oscfafn1, l’équation est celle d’une sinusoïde pure ;
or on pressent qu’à cause des frottements, la sinusoïde de l’énergie cinétique doit être amortie tout
comme celle de l’énergie potentielle. On utilise alors les propriétés selon lesquelles Ek et Epp sont
en opposition de phase, et aussi que Ek(t) et Epp(t) sont majorées par une fonction exponentielle :
t → exp(-t/τ)
12
Pour ce, on va modéliser Epp par une sinusoïde amortie afin de déterminer par REGRESSI les
valeurs de τ et on trouve : τ=6.75s. On obtient donc une nouvelle équation de Ek :
Ek= exp(-t/τ)*0.5*m*[l* αmax*(2π/T)*cos(2π*t/T+φ)]²
Annexe : exemple de modélisation de Epp:
Epp(t)=a+b*sin(2*p*t/T+)*exp(-t/)
Epp(t):=a+b*exp(-t/)
Epp(t):=a-b*exp(-t/)
Ecart relatif Epp(t)= 36 %
Ecart quad. Epp=3.807 J
a=7.61 ±0.10 J
b=16.4 ±0.4 J
T=744.0 ±0.6 ms
=1.29 ±0.03 rad
=6.75 ±0.29 s
E 52 : Pour chacun des deux enregistrements, tracer Ek, Epp et Em = f (t) sur un même graphe. Conclure
quant aux transferts énergétiques dans le mouvement d'oscillation du pendule simple non amorti et
comparer à la situation avec amortissement fluide.
a)Oscfafn1 : pendule simple non amorti.
L’énergie mécanique Em est à peu près conservée du début à la fin des oscillations (on peut
modéliser sa courbe par une droite constante au avec un écart relatif de 11%) et on a en moyenne
au cours du temps : Em=5.95 J.
Remarque : Emmax est à t=0, car on a conféré au Pendulor une énergie pour qu’il démarre son
oscillation.
13
b) Oscfaff3 : pendule avec amortissement fluide.
Em décroît au cours du temps. Le système oscillant a donc perdu en énergie mécanique par les
frottements fluides. On détermine l’énergie perdue : ΔEm=30-4=26 J.
E 53 : Pour chacun des deux enregistrements, tracer Ek, Epp et Em = f(α) sur un même graphe. Conclure
quant aux transferts énergétiques dans le mouvement d'oscillation du pendule simple non amorti et
comparer à la situation avec amortissement fluide.
a) Oscfafn1
•Epp ne dépendant pas de la vitesse mais uniquement de la tension α, sa courbe en fonction de α
peut être modélisée par une UNIQUE branche parabolique.
14
•Cependant Ek est calculée en fonction de la vitesse tensorielle d’oscillation, qui n’est pas tout à
fait constante pour Oscfafn1 au cours du temps à cause des frottements: la vitesse diminue un peu
pour chaque nouvelle période d’oscillation. Aussi la courbe Ek(α) est constituée de plusieurs
branches paraboliques voisines représentant chacune la cuvette de potentiel pour chaque période,
qu’on assimilera à une parabole moyenne (écart relatif : 15%).
•Il en résulte que la courbe Em(α) est une superposition de quelques droites constantes voisines
par leur cote: on retrouve la valeur moyenne de Em : Emmoy≈6J.
b)Oscfaff3
• Pour Oscfaff3, de même que pour le cas précédent, Epp ne dépendant pas de la vitesse tensorielle
d’oscillation, sa parabole est UNIQUE.
•Cependant les frottements fluides ont un impact important sur la vitesse tensorielle : elle diminue
de façon considérable à chaque nouvelle période à cause de l’amortissement fluide. Par
conséquent, Ek décroît aussi au cours du temps. Ek(α) décrit donc des paraboles les unes
inférieures aux autres au fur et à mesure des périodes.
• Em(α) décrit par conséquent des droites constantes les unes inférieures aux autres : cette
descente progressive de la cote des droites traduit en effet la perte d’énergie mécanique du système
au cours de son oscillation.
E 54 : Des graphes précédents expliciter les expressions : barrière de potentiel, cuvette de potentiel.
a) Oscfafn1 : à l’aide de la réticule de REGRESSI, on définit les barrières de potentiel qui sont les
droites: α=αmax=3V et α=-αmax= -3V.
Puisque l’amplitude tensorielle est faible, on peut considérer qu’il y a une unique cuvette de
potentiel parabolique pure de Epp; l’oscillation est donc harmonique.
b) Oscfaff3 : à l’aide de la réticule de REGRESSI, on définit les barrières de potentiel pour la
pseudo période (la première) qui sont les droites: α=αmax=6.5V et α=-αmax= -6.5V.
Puisque l’amplitude tensorielle est faible, on peut considérer qu’il y a une unique cuvette de
potentiel parabolique pure de Epp; l’oscillation est donc harmonique.
15
4. Etude des oscillations d'un pendule simple à l'aide d'une
webcam
4.1. Enregistrement en utilisant la webcam
4.1.1. Mise en route du logiciel
E 55 : Vérifier que la webcam est bien connectée. Lancer le logiciel en cliquant sur l'icône IPI.
E 56 : Valider la version et cliquer sur OK pour la licence.
4.1.2. Réglages de la webcam :
E 57 : Choisir: Filmer un événement.
E 58 : Choisir: Ouvre vidéo.
E 59 : Cliquer sur l'onglet: Source.
E 60 : Sélectionner: 5 images par seconde.
E 61 : Choisir: Source de capture.
E 62 : Choisir: Philips ToUcam Pro camera puis cliquer sur Appliquer
E 63 : Choisir: Commande camera.
E 64 : Sélectionner: Durée d'une prise de vue: 1/250 (en s).
E 65 : Sélectionner: Gain maximal, cliquer sur Appliquer puis fermer.
4.1.3. Film des oscillations
E 66: Fixer la camera sur un statif à l'aide d'une pince. Fixer également la règle de 50 centimètres sur
l'autre statif. Placer la règle à une distance de la camera telle qu'elle soit totalement dans le champ (le
pendule doit lui aussi être totalement dans le champ). Il est souhaitable que le mouvement ait lieu à peu
près dans le même plan que celui de la règle. Pour une meilleure précision des résultats, il est également
souhaitable que la camera soit placé bien en face de l'expérience.
S 67 : Faire le schéma de cette expérience.
16
E 68 : Choisir: 5 images/s.
E 69 : Choisir un nom pour le film : oscf1 (8 caractères au maximum).
E 70 : Temps accordé: choisir 4 s. Enregistrement automatique: Oui.
E 71 : Fixer une longueur du fil déjà étudiée au E 13. Soit : l = 0.6 m.
E 72 : Pendant qu'un des membres du binôme clique sur : Début capture, l'autre écarte la masse de sa
position d'équilibre d'un angle faible (θmax < 10°) et la lâche sans vitesse initiale juste après « 0 s » du
compte à rebours mais pas avant!
4.1.4. Montage du film
E 73 : Cliquer sur l'onglet: Montage et compression des AVI.
E 74: Choisir: Montage AVI, puis charger un AVI principal.
E 75: Charger le film réalisé: oscf1.avi et le faire défiler pour sélectionner la séquence intéressante (les
oscillations) : n° de l'image de début et n° de l'image de fin, soit :
n° de l'image de début: 16
n° de l'image de fin : 48
E 76 : Vérifier qu'il n'y a pas d'image(s) perdue(s) dans cette séquence en se déplaçant image par image
et s'il y en a: refaire un film (s'il y en a beaucoup, relancer l'ordinateur).
E 77 : Sélectionner la séquence et l'isoler dans la fenêtre AVI par glissé-déposé.
E 78 : Choisir: faire un AVI.
E 79 : Nommer cet AVI : oscm1.avi puis cliquer sur OK.
4.1.5. Numérisation du mouvement oscillant
E 80 : Cliquer sur l'onglet: pointer image par image
E 81 : Choisir: pointer des images
E 82 : Choisir: charger un fichier AVI et sélectionner le fichier oscm1.avi puis OK.
E 83 : Cliquer sur : saisir l'échelle et sélectionner deux points: en bas et en haut de la règle.
E 84 : Donner la distance: ici celle de la règle utilisée (en mètre) puis OK.
E 85 : Pointer sur le centre (ou le bord) de la masse, avec le plus grand soin possible. image par image et
finir par cliquer sur le point O, point de rotation du pendule
E 86 : Exporter les résultats vers Regressi avec l'icône exporter vers Regressi. Confirmer l'intervalle de
temps de 200 ms en cliquant sur : oui. Regressi apparaît avec les variables Xl, Y1 et t.
E 87 : Enregistrer sur disquette ou clé USB: oscm1.rw3.
4.2. Exploitation des résultats
4.2.1. Equation horaire
E 88 : Créer les nouvelles variables X et Y avec :
X = Xl - X 1é et Y = Y1- Y1o avec X1é abscisse du point d’équilibre qui correspond au point le plus bas
et Y1o, ordonnée de O, l’axe des ordonnées étant orienté vers le bas.
On a Y1é= 0 ,35 donc en correspondance X1é =2,35
Y1o= 0,38 à t=0
E 89 : On a X/Y = tan θ ≈ θ si θ petit (pour de petites oscillations) ; d'où θ = X/Y (en rad). Créer la
variable θ.
.
E 90 : Tracer θ = f (t) et modéliser le mouvement par une fonction sinusoïdale. Que constate-t-on ?
Tenter de trouver une explication.
17
Remarque : Meilleure exactitude de la sinusoïdale si on considère la valeur « thêta » obtenue avec
thêta = sin(X/l ) ≈X/l (écart relatif de 1,4% au lieu de 2,4%)
Les sinusoïdes ainsi tracés peuvent être modélisées par des fonctions sinusoïdales pures : en effet,
on peut déduire que lorsque l’amplitude imposée à l’oscillation est telle que θ≤15°, les frottements
sont également négligeables.
E 91 : Comparer la valeur de T ainsi déterminée et celle mesurée manuellement en E 14 pour de petites
oscillations. Conclure.
Graphiquement par le logiciel REGRESSI, avec la relation θ = a+b*sin(2πt/T+φ), on détermine :
18
T=1,58 s
En E14, on déterminé manuellement la période pour l =60 cm, et: Tmoy≈1.58s
Les deux valeurs expérimentales se coïncident: la période est constante donc pour une longueur
donnée, lorsque θ est petit (θ≤15°).
4.2.2. Portrait de phase
E 92 : Créer la variable θ' = dθ/dt
E 93 : Créer la variable B’ = θ'/ ω avec ω = 2*π / T, avec pour T la valeur trouvée précédemment.
E 94 : Tracer le graphe B’= f ( θ ). Que remarquez vous ? Conclure sur le type d’oscillation.
A une échelle adaptée, on visualise une courbe quasiment circulaire : sur la courbe, ON=OM.
L’oscillation enregistrée peut être considérée comme non amortie et de frottements négligeables.
On peut déterminer de plus la valeur de max graphiquement : la réticule indique :
max =0,618 rad.
4.3. Etude énergétique.
E 95 : A partir de l’enregistrement précédent, créer les nouvelles variables:
Ek= 0.5*m*(l* θ.')² , Epp = m*g.*l*(l-cos(θ)) et Em = Ek + Epp, avec g = 9,8 m/s² , les valeurs de l et
m étant données en E 13
l=0.6 m et m=0.1g
E 96 :Tracer Ek, Epp et Em = f (t) sur un même graphe. Conclure quant aux transferts énergétiques dans
le mouvement d'oscillation du pendule simple considéré comme non amorti.
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On constate que Em est globalement constante au cours du temps : on peut donc considérer que
l’énergie mécanique a été conservée au cours des oscillations, car il n’y a pas eu de grosse perte
d’énergie due aux frottements. On détermine graphiquement : Em≈0.123 J
Remarque : Emmax est à t=0, car on a conféré au pendule une énergie initiale pour démarrer le mouvement.
E 97 : Tracer Ek, Epp et Em = f (θ) sur un même graphe. Conclure quant aux transferts énergétiques
dans le mouvement d'oscillation du pendule simple considéré non amorti.
E 98 : Quelles sont les barrières de potentiel ?
Les barrières de potentiel déterminées graphiquement sont les droites :
θ=θ=0.42 rad et θ= -θ= -0.42 rad.
E 99 : Quelle est la forme de la cuvette de potentiel ?
La cuvette de potentiel, c'est-à-dire la courbe de Epp(θ) est de forme parabolique, étant donné que
l’amplitude est très faible (l’oscillation n’est donc pas amortie).
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