Compte rendu TP C1

Toraille Nicolas TS3
1. Rappel des formules du pendule pesant (ou pendule
simple).
Période :
T  2
T  2
l
, si θmax est petit.
g
²
l
(1  max ) , si θmax est grand.
g
16
(θmax est exprimé en radians)
Equation horaire :
   max sin(
2t
  ) , si θmax est petit.
T
Energie cinétique :
EK 
1
d
ml ²( )²
2
dt
Energie potentielle :
E p  mgl(1  cos  ) avec EP = 0 pour θ = 0, c’est-à-dire à l’équilibre.
Energie mécanique :
EM  E K  E P
Page 2 sur 22
2. Influence de m, l, θmax sur la période T d’un pendule
simple : mise en évidence expérimentale.
Schéma :

Fil
longueur l
Support
Masselote
Masse m
Table
Schéma du montage utilisé
(de profil)
Schéma du montage utilisé
(de face)
Page 3 sur 22
2.1 Relation entre T et m.
On prend θmax<10° et l = constante (environ 60cm).
On fait varier la masse m, et on mesure à chaque fois 10 périodes de T. On complète le
tableau suivant :
m (g)
T (s)
20
12,96
40
12,98
60
13,02
80
13,03
100
13,06
On trace T = f(m) à l’aide du logiciel Regressi.
On peut en conclure que la masse m n’a aucune incidence sur la longueur de la période.
2.2 Relation entre T et l.
On prend m = 50g et θmax<10°. On fait varier l, et on mesure à chaque fois 10 périodes T. On
complète le tableau suivant :
l (cm)
T (s)
T² (s²)
20
0,82
0,6724
40
1,15
1,322
60
1,41
1,988
80
1,63
2,657
100
1,82
3,312
Page 4 sur 22
On trace T = f(l) à l’aide du logiciel Regressi :
On modélise à l’aide du modèle « puissance ».
On peut donc essayer de tracer la courbe T² = f(l) car la modélisation « puissance » est très
proche des valeurs mesurées :
On remarque que T² est proportionnelle à l.
Page 5 sur 22
On peut en déduire une méthode « dynamique » pour mesurer l’intensité de la pesanteur au
lieu considéré :
On a :
T² 
4 ²l
g
La pente p (ou coefficient directeur) de la courbe T² = f(l) a pour valeur :
p
4 ²
4 ²
, d’où g 
g
p
On peut donc retrouver la valeur de g à partir de celle de p :
g
4 ²
 10,08 m.s-2
3,916
2.3 Relation entre T etθmax.
On prend m constante (100 g) et l constante (65cm).
On fait varier l’amplitude angulaire θmax et l’on mesure à chaque fois 10 périodes T. On
complète le tableau suivant :
θmax (°)
θmax
(rad)
θ²max
(rad²)
T (s)
5
0,08727
10
0,1745
15
0,2618
20
0,3491
30
0,5236
40
0,6981
50
0,8727
60
1,047
0,007615 0,03046
0,06854
0,1218
0,2742
0,4874
0,7615
1,097
1,613
1,622
1,638
1,659
1,682
1,705
1,729
1,616
On trace T = f(θ) et on modélise la courbe sous la forme T = A + (B.θn) :
Page 6 sur 22
On tente donc de tracer T = f(θmax²) à l’aide du logiciel Regressi :
On vérifie bien que T = Q(1 + k.θmax²), avec :
Q = 1,62s
k = 0,06675
Pour une valeur de θ petite, on a T  Q. Pour de petites oscillations, on a donc avec une assez
bonne approximation T constante. On peut donc considérer les frottements comme
négligeables.
3. Etude des oscillations d’un pendule simple à l’aide d’un
logiciel d’acquisition.
On utilise le logiciel Synchronie 2003 couplé avec une interface d’acquisition directe :
Eurosmart, associé au dispositif Pendulor. On peut ainsi suivre directement la variable
associée au pendule pesant au cours du temps : θ.
Schéma :
3.1 Réalisation des enregistrements.
3.1.1 Mise en route du logiciel et réglage du zéro.
Après avoir ouvert le logiciel Synchronie 2003, on paramètre une acquisition de 2,5 secondes
pour un total de 1000 points.
On lance une acquisition en laissant le pendule à sa position d’équilibre. Pendant l’acquisition
on tourne le disque situé sur l’axe de rotation du pendule pour se placer à 0,00V.
Page 7 sur 22
Une fois ce réglage effectué, on lance une nouvelle acquisition en maintenant le pendule à 90°
de sa position d’équilibre.
On relève la valeur de la tension constante mesurée à l’aide de l’onglet réticule :
V1 = 6,19V
3.1.2 Mode opératoire pour enregistrer les oscillations.
On mesure la distance l de l’axe de rotation au centre de masse du cylindre pesant fixé en bout
de tige, ainsi que la masse m de ce cylindre :
l = 0,4m
m = 0,1434kg
On écarte le pendule de sa position d’équilibre, et on le lâche sans vitesse initiale, puis on
déclenche enfin l’enregistrement.
On enregistre ensuite l’enregistrement sous la forme d’un fichier Regressi.
3.2 Enregistrements.
On va réaliser 4 enregistrements différents, et exploiter les résultats pour chacun de ces
enregistrements.
3.2.1 Faible amplitude, frottements négligeables.
On réalise un enregistrement avec un angle αmax de faible amplitude. Les frottements que l’on
applique au pendule sont négligeables.
3.2.1.1 Equation horaire.
On représente la courbe α = f(t) :
Page 8 sur 22
On vérifie que l’on a, avec une bonne approximation :
α = αmax.sin(
2t
 )
T
On peut déterminer αmax, T et φ par modélisation de la courbe expérimentale :
αmax = 65,27V
T = 1,36s
φ = 1,28rad
3.2.1.2 Portraits de phase.
On calcule à l’aide de Regressi la vitesse angulaire α’ =
On crée la variable A’ =
d
dt
'
2
, avec  
, avec pour T la valeur trouvée expérimentalement.

T
On trace le graphe A’ = f(α) :
Les points restent à peu près sur un cercle de rayon constant, les frottements sont peu
importants sur une période de temps aussi courte.
Page 9 sur 22
3.2.1.3 Etude énergétique.
On crée les nouvelles variables :
Ek = 0,5.m.(l.α’)² , Epp = m.g.l.(l-cosα) et Em = Ek + Epp, avec g = 9,8m.s-2
On trace Ek, Epp et Em = f(t) sur un même graphe :
On remarque que la loi de l’énergie mécanique est respectée, on a bien Em = Ek + Ep.
L’énergie mécanique est à peu près conservée du début à la fin du mouvement, ce qui nous
montre que les frottements ont peu d’incidence sur un mouvement de faible amplitude.
On trace Ek, Epp et Em = f(α) sur un même graphe :
Page 10 sur 22
3.2.2 Grande amplitude, frottements négligeables.
On réalise un enregistrement avec α de grande amplitude, mais on peut toujours considérer les
frottements comme négligeables car la durée d’acquisition est faible (toujours 2,5s).
3.2.2.1 Equation horaire.
On trace la courbe α = f(t) :
On vérifie que, bien que la courbe reste périodique, on n’a pas :
α = αmax.sin(
2t
 )
T
On détermine expérimentalement αmax et T :
αmax = 14,68V
T = 1,5s
On peut retrouver T par le calcul :
T = 2
l
= 1,61s
g
Les deux valeurs de T trouvées ne sont pas très éloignées.
Page 11 sur 22
3.2.2.2 Portrait de phase.
On calcule à l’aide de Regressi la vitesse angulaire α’ =
On crée la variable A’ =
d
dt
'
2
, avec  
, avec pour T la valeur trouvée expérimentalement.

T
On trace le graphe A’ = f(α) :
Cette fois encore les points restent sur un cercle de rayon constant : les frottements sont
toujours peu importants.
3.2.3 Faible amplitude, avec frottements fluides.
On réalise un enregistrement avec α de grande amplitude, et d’une durée de 12s. On va
s’apercevoir que sur un temps aussi long, on ne peut négliger les frottements fluides de l’air
sur le pendule.
Page 12 sur 22
3.2.3.1 Equation horaire.
On trace la courbe α = f(t) :
On vérifie que l’on a bien :
   max .e  h.t . sin(
2t
 )
T
On peut déterminer, à partir de la modélisation de la courbe expérimentale, αmax, h, T et φ :
αmax = 22,1V
h = 0,070s-1
T = 1,45s
φ = 1,58rad
Page 13 sur 22
3.2.3.2 Portraits de phase.
On calcule à l’aide de Regressi la vitesse angulaire α’ =
On crée la variable A’ =
d
dt
'
2
, avec  
, avec pour T la valeur trouvée expérimentalement.

T
On trace le graphe A’ = f(α) :
Au fur et à mesure du mouvement, les points se rapprochent de l’origine, ce qui se comprend
car les frottements sont très importants.
Page 14 sur 22
3.2.3.3 Etude énergétique.
On crée les nouvelles variables :
Ek = 0,5.m.(l.α’)² , Epp = m.g.l.(l-cosα) et Em = Ek + Epp, avec g = 9,8m.s-2
On trace Ek, Epp et Em = f(t) sur un même graphe :
Em baisse au fur et à mesure, montrant l’influence des frottements sur l’énergie du mobile.
On trace Ek, Epp et Em = f(α) sur un même graphe :
Page 15 sur 22
3.2.4 Faible amplitude, avec frottements solides.
On réalise un enregistrement avec α de faible amplitude, et un frottement solide, consistant en
un ressort qui freine la progression du pendule simple.
3.2.4.1 Equation horaire.
On trace à l’aide du logiciel Regressi la courbe α = f(t) :
On vérifie que l’on a bien :
   max .( p  q.t ). sin(
2t
 )
T
On peut déterminer, grâce à la modélisation de la courbe expérimentale, αmax, p, q, T et φ :
αmax = 27,68V
p = 80
q = 7,61s-1
T = 1,38s
φ = 1,22rad
Page 16 sur 22
3.2.4.2 Portrait de phase.
On calcule à l’aide de Regressi la vitesse angulaire α’ =
On crée la variable A’ =
d
dt
'
2
, avec  
, avec pour T la valeur trouvée expérimentalement.

T
On trace le graphe A’ = f(α) :
A partir d’un moment, les frottements sont si forts que le mouvement du mobile est nul. Dans
ce cas le portrait de phase montre des points sur l’origine.
4. Etude des oscillations d’un pendule simple à l’aide
d’une webcam.
4.1 Film des oscillations.
On fixe une webcam sur un statif à l’aide d’une pince. On fixe une règle d’un mètre sur un
autre statif dans le champ de vision de la webcam : celle-ci servira d’échelle.
On place ensuite un pendule simple dans le champ de vision de la webcam, et tel que le
mouvement ait lieu à peu près dans le même plan que la règle.
Page 17 sur 22
Schéma :
Mobile aux
différents
instants du film
(t étant égal à
la durée de
persistance
d’une image sur
la caméra, on
avait t=0,04s)
0s
Ordinateur +
logiciel
d’aquisition et
de traitement
vidéo (IPI)
Règle graduée
(pour l’échelle)
5t
t
4t
2t
3t
Ecran
Plan de la caméra
Webcam
Schéma du dispositif expérimental
On choisit de filmer à 5 images par seconde pendant une durée de 4s.
On fixe une longueur du fil équivalente à celle étudiée précédemment, soit l = 65cm.
On fait l’acquisition en écartant faiblement la masse de sa position d’équilibre, et on la lache
juste après la fin du compte à rebours, sans vitesse initiale.
4.2 Montage du film et numérisation du mouvement oscillant.
On sélectionne dans la partie montage la séquence intéressante du film réalisé, c’est-à-dire les
oscillations du pendule. On n’enregistre que les images constituants cette séquence, en
vérifiant qu’il n’ y a aucune image perdue.
Pour numériser le mouvement oscillant, on charge la séquence que l’on vient de monter, on
saisit l’échelle grâce à la règle que l’on avait placée dans le champ de vision, et on pointe
ensuite sur chaque image le bord de la masse avec le plus grand soin possible. On finit en
cliquant sur le point O, point de rotation du pendule.
On exporte les résultats sous le logiciel Regressi pour permettre leur exploitation.
Page 18 sur 22
4.3 Exploitation des résultats.
4.3.1 Equation horaire.
On crée de nouvelles variables X et Y avec :
X = X1-X1éq
Y = Y1-Y1o
Avec X1éq abscisse du point d’équilibre, qui correspond au point le plus bas, et Y1o ordonnée
de O, l’axe des ordonnées étant orientée vers le bas.
On a, si θ petit, sin  
X
X
, d’où   . On crée la variable θ.
l
Y
On trace ensuite θ = f(t) et on modélise le mouvement par une fonction sinusoïdale :
On peut déterminer expérimentalement la valeur de T :
T = 1,851s
On compare cette valeur avec celle trouvée en 2.3 pour de petites oscillations :
T = 1,69
Ces deux valeurs sont proches l’une de l’autre.
Page 19 sur 22
4.3.2 Portrait de phase.
On crée la variable θ’ =
d
dt
On crée ensuite la variable B’ =
2
'
, avec  
, avec pour T la valeur trouvée
T

précédemment.
On trace le graphe B’ = f(θ) :
Les points sont sur un cercle de diamètre constant : les frottements sont négligeables.
Page 20 sur 22
4.3.3 Etude énergétique.
On crée les nouvelles variables :
Ek = 0,5.m.(l.θ’)² , Epp = m.g.l.(l-cosθ) et Em = Ek + Epp, avec g = 9,8m.s-2 , l = 65cm et m =
100g.
On trace Ek, Epp et Em = f(t) sur un même graphe :
La valeur de Em est à peu près constante, les frottements sont négligeables.
On trace Ek, Epp et Em = f(α) sur un même graphe :
Page 21 sur 22
Les barrières de potentiel sont les droites d’équation θ = 0,42 rad et θ = -0,42 rad.
La cuvette de potentiel est une parabole, car, l’oscillation étant très faible, elle n’est pas
amortie par les frottements.
5. Conclusion
Ce TP nous a donc permit d’étudier à l’aide de divers exemples concrets les lois associées au
mouvement du pendule simple ou pendule pesant et ce en suivant une démarche
expérimentale avec plus ou moins de matériel selon les études. Nous avons pu vérifier les
propriétés de ce pendule de manière plus concrète.
Page 22 sur 22