Fiche d`exercices n°3

Cours régime sinusoïdal
REGIME PERMANENT SINUSOIDAL
1.
Généralités
1.1. Définition
On appelle grandeur alternative sinusoïdale une grandeur périodique dont la valeur instantanée est
une fonction sinusoïdale du temps.
1.2. Expressions
u(t )  Uˆ sin( t  u )  Uˆ sin( u ) ;
i(t )  Iˆ sin( t   )  Iˆ sin(  ) .
i






1.3. Exemple
i
u(t), i(t) : valeurs instantanées ;
Û , Iˆ : amplitude ou valeur maximale de u(t) et i(t) ;
 : pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;
t : variable temps en secondes (s) ;
 u ,  i : phase à l’origine des temps en radians (rad) ;
 u (t ) ,  i (t ) : phases instantanées en radians (rad).


u1 (t )  4 sin( 100t  ) ;
3

u2 (t )  3 sin( 100t 

) ;
4
Signal
Amplitude Û (V)
Pulsation  (rad.s-1)
Phase à l’origine  u (rad)
u1(t)
4
100


3
u2(t)
3
100

4
1.4. Propriétés
1.4.1. Périodes
a. Période temporelle T
Calculer u1 (t  5.103 ) , u1 (t '  25.103 ) et u1 (t ' '  45.103 ) .
Nous constatons que u1 (t )  u1 (t ' )  u1 (t") .
Or, t’ = t+T avec T = 20 ms et t’’ = t + 2T.
Donc : u1 (t )  u1 (t  T )  u1 (t  2T )  ...  u1 (t  kT) avec k entier.
b. Période angulaire
Exemple :



Calculer sin( ) , sin(  2 ) et sin(  4 ) .
3
3
3




Nous constatons que : sin( ) = sin(  2 ) = sin(  2 x 2 ) =…= sin(  kx2 )
3
3
3
3
Donc : sin(  )  sin(   k .2 )
Nous avons donc :
Uˆ sin( t  u )  Uˆ sin( (t  T )  u )  Uˆ sin( t  u  2 )
  (t  T )  u  t  u  2
 t  T  u  t  u  2
1/7
Cours régime sinusoïdal
 T  2
De plus nous avons la relation : f 
1
.
T
D’où :
2

 2f ;  en rad.s-1; T en secondes (s) et f en hertz (Hz).
T
1.4.2. Valeur moyenne
 u  0V car c’est une fonction alternative (A1 + A2 = 0).
1.4.3. Valeur efficace
u (t )  Uˆ sin  (t )
 Elever au carré u(t)
u 2 (t )  Uˆ 2 sin 2  (t )
1  cos 2
Or : cos(2 )  1  2 sin 2   sin 2  
2
2
ˆ
1  cos 2
U
Uˆ 2 cos 2
)

On obtient : u 2 (t )  Uˆ 2 (
2
2
2
2
 Prendre la valeur moyenne de u (t)
Uˆ 2 Uˆ 2 cos 2
Uˆ 2
Uˆ 2 cos 2
U 2  u 2 (t ) 



 car la valeur moyenne d’une
2
2
2
2
somme est la somme des valeurs moyennes.
Uˆ 2 cos 2
Uˆ 2

 cos 2  .
De plus : 
2
2
Or, cos 2 est une grandeur sinusoïdale, donc alternative. Donc : < cos 2 > = 0.
Uˆ 2
Uˆ 2

U2.
D’où :  u 2 (t ) 
2
2
 Prendre la racine carrée de  u 2 (t ) 
Û
Uˆ 2
Uˆ
U

2
2
2
Remarque : Cette expression est valable uniquement pour les grandeurs sinusoïdales.
Application numérique :
U   u 2 (t )  

u1 (t )  4 sin( 100t  )
3
Uˆ
4
U1 
 2 2  2,83V  Uˆ1
U1  1
2
2


u2 (t )  3 sin( 100t 
U2 
Uˆ 2
2

)
4
3
U2 
 2,12V  Uˆ 2
2
1.5. Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Soient u1(t) et u2(t) deux tensions sinusoïdales de même pulsation  :


u1 (t )  4 sin( 100t  ) et u2 (t )  3 sin( 100t  )
4
3
Soit u3(t) la somme de u1(t) + u2(t). Comment construire u3(t) ?
2/7
Cours régime sinusoïdal

Uˆ 3  Uˆ1  Uˆ 2 ; u3  u1  u2 et u3 (t )  7 sin( 100t  ) (voir exercice préparation).
12
Construction point par point de u3(t) : calcul long et fastidieux !
Nous constatons que u3(t) est une fonction sinusoïdale de même fréquence (et période) que u1(t) et u2(t).
Le calcul direct donne (assez long !) : u3 (t )  4,33sin( 100t  0,315) .
Démonstration :

u1 (t )  4 sin( 100t  )  a sin( 100t  1 ) ;
3

 
u2 (t )  3 sin( 100t  )  3 cos(100t   )  b cos(100t   2 ) ;
4
4 2
u3 (t )  u1 (t )  u2 (t )  c 2  d 2 sin( t   3 ) ;
c  a sin 1  b cos2 ; d  a cos1  b sin 2 ;
A.N. : c  2 3 
3
3
2 ; d  2
2 ;
2
2
2 conditions à satisfaire pour 3 :  3  arctan
A.N. :
c
et  3  arcsin
d
c
c  d2
2
.
c 2  d 2  4,33 et 3  0,315rad
Conclusion : Necessité d’introduire un outil de calcul plus pratique !
1.6. Représentation de Fresnel
1.6.1. Vecteur tournant
A toute fonction sinusoïdale du temps on peut associer un vecteur tournant autour de son origine à
la vitesse angulaire  , dans le sens trigonométrique.
 (t)  t   ;  est l’angle (Ox; OM ) à l’instant t = 0.
OA  OM sin  ; OM : module de OM
y

M
A
(t)
x
O
B
La projection su l’axe Oy du vecteur tournant OM est une fonction sinusoïdale. En développant sur
un système d’axes y = f(t), on obtient une représentation de cette fonction (voir document cidessous)
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Cours régime sinusoïdal

u
u = f(t)
1
1
11
3

4
11
3
0
t
10
4
10
x
12
2
0
0-12
2
T
T/12
O
5
5
9
6
9
66
8
8
7
7
1.6.2. Vecteur de Fresnel
A toute fonction sinusoïdale du temps, on peut donc associer un vecteur. Les grandeurs qui
caractérisent une tension ou un courant alternatif sinusoïdal sont sa valeur efficace et sa phase à
l’origine.


Ces deux grandeurs nous servent à définir le vecteur associé U (ou I ) qui est par convention
représenté dans la position qu’occupe le vecteur tournant à l’instant t = 0.
+

U
U
u
x
O
Axe de référence des phases
Définition


A la grandeur sinusoïdale u(t) (ou i(t)), on associe un vecteur de Fresnel U (ou I ) dont le module
est la valeur efficace U (ou I), faisant l’angle u (ou i) avec un axe Ox de référence des phases.


Exemple : u1 (t )  4 sin( 100t  ) et u2 (t )  3 sin( 100t  )
4
3




U1  (U1  2,83V ;u1   rad  60) et U 2  (U 2  2,12V ;u2  rad  45) .
3
4
Echelle : 2 cm / V
4/7
Cours régime sinusoïdal

U2
+
U2
u2 = 45°
U1
x
O

U1
Axe de référence des phases
u3 = -18°
U3
U1

U1
u1 = -60°

U3
1.6.3. Règle de Fresnel
Règle : Si nous associons aux fonctions sinusoïdales de même fréquence u1(t) et u2 (t) les
  


vecteurs de Fresnel U 1 et U 2 , la somme vectorielle U 3U 1U 2 nous fournit directement la



valeur efficace de U 3 , somme de U 1 et U 2 , et sa phase à l’origine  u3 .
  
Exemple : Construction de U 3U 1U 2 . Détermination de u3(t).
On mesure :
6,1
4,33
 3,05V . Or : U 3 
 U3 
 3,06V (Calcul)
2
2
 u3  18  0,314rad ( 0,315rad par le calcul)
Donc : u3 (t )  3,05 2 sin( 100t  0,314)
Remarque : Nous admettons que ce résultat est valable quelque soit le nombre de fonctions : la
somme de plusieurs fonctions sinusoïdales de même période est également une fonction sinusoïdale
de même période.
2. Les lois fondamentales de l’électricité en régime sinusoïdal permanent
La loi des nœuds
Rappel : La somme algébrique des intensités des courants qui arrivent à un noeud est égale à la
somme algébrique des intensités des courants qui en partent.
Règle : La loi des nœuds, valable pour les valeurs instantanées des courants, est applicable aux
vecteurs de Fresnel associés aux courants sinusoïdaux.
Exemple :
En valeurs instantanées : i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )
i2(t)
  
En vecteurs de Fresnel : I1  I 2  I 3
i1(t)
i3(t)
La loi des mailles
Rappel : La somme algébrique des tensions rencontrées dans une maille est nulle. Pour écrire cette loi
on place une flèche arbitraire à côté de chacun des éléments de la maille, puis on choisit un sens
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Cours régime sinusoïdal
arbitraire de parcours. On décrit alors la maille dans le sens choisit et on écrit que la somme
algébrique des tensions est nulle en respectant la convention suivante :
 si la flèche tension est rencontrée par la pointe, la tension est affectée du signe -;
 si la flèche tension est rencontrée par le talon, la tension est affectée du signe +.
Règle : La loi des mailles, valable pour les valeurs instantanées des tensions, est applicable aux
vecteurs de Fresnel associés aux tensions sinusoïdales.
Exemple :
D1
D2
u1
u2
D3
u3
u
En valeurs instantanées : u1 (t )  u2 (t )  u3 (t )  u(t )




En vecteurs de Fresnel : U1  U 2  U3  U
3. Déphasage entre eux grandeurs sinusoïdales de même fréquence
3.1. Présentation
Voir exercice de préparation.
u1(t) et u2(t) sont décalées dans le temps. A ce décalage horaire correspond une différence de phase
appelée déphasage entre ces deux tensions.
3.2. Définition
Soient deux tensions de même fréquence d’équations :
u1 (t )  Uˆ1 sin( t  u1 ) et u2 (t )  Uˆ 2 sin( t  u2 )
Par définition, nous appellerons déphasage de u1(t) par rapport à u2(t) la différence de phase à
l’origine   u2  u1 .
Ce déphasage est donc l’angle que font entre eux les deux vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs
u1(t) et u2(t).


u1 (t )  4 sin( 100t  ) et u2 (t )  3 sin( 100t  )
Exemple :
4
3

U2
+
u2 = 45°
x
O
u1 = -60°
  u  u 
2

1
4

7
 ( ) 
rad  105
3
12


U1
3.3. Avance et retard de phase
6/7
Cours régime sinusoïdal

Si   u2  u1 > 0, alors u2(t) est en avance sur u1(t) (cas de l’exemple ci-dessus).

Si   u2  u1 < 0, alors u2(t) est en retard sur u1(t).
3.4. Valeurs particulières du déphasage
Voir document polycopié.
 Tensions (ou courants) en phase.
 Tensions (ou courants) en opposition de phase.
 Tensions (ou courants) en quadrature de phase.
3.5. Simplification
Pour simplifier les écritures, on choisit la phase à l’origine de l’une des grandeurs égale à 0.
 Si on choisit u1(t) comme grandeur origine des phases, alors u1  0 et
       . Nous pouvons donc écrire : u (t )  Uˆ sin t et u (t )  Uˆ sin( t   ) .
u2
u1
u2
1
1
2
2
Si on choisit u2(t) comme grandeur origine des phases, alors u2  0 et
  u2  u1  u1 . Nous pouvons donc écrire : u1 (t )  Uˆ1 sin( t   ) et u2 (t )  Uˆ 2 sin t .

3.6. Décalage horaire
A la différence de phase  (en radians), nous associons le décalage horaire  (en secondes).
Comme à la période T correspond un angle 2, nous écrirons :

2  


 2  T    2 . en radians ou   360. en degrés.
T

T
T

2
D’où :  
avec  

T
Exemple :
   7 rad
12
7 1
7
.

 5,83ms
12 100 1200
 Comparer T à 
2
2
2
T 

 20ms
  100 et  
T
100 100
Donc  < T.

 (°)
 (rad)
 (s)
0
0
0
90
T

4
2
180

T
2

7/7