Fiche d`exercices n°3

Cours régime sinusoïdal
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REGIME PERMANENT SINUSOIDAL
1. Généralités
1.1. Définition
On appelle grandeur alternative sinusoïdale une grandeur périodique dont la valeur instantanée est
une fonction sinusoïdale du temps.
1.2. Expressions
)sin(
ˆ
)sin(
ˆ
)( uu UtUtu
;
)sin(
ˆ
)sin(
ˆ
)( ii ItIti
.
 u(t), i(t) : valeurs instantanées ;
U
ˆ
,
I
ˆ
: amplitude ou valeur maximale de u(t) et i(t) ;
: pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;
 t : variable temps en secondes (s) ;
u
,
i
: phase à l’origine des temps en radians (rad) ;
)(t
u
,
)(t
i
: phases instantanées en radians (rad).
1.3. Exemple
)
3
100sin(4)(
1
 ttu
;
)
4
100sin(3)(
2
 ttu
;
Signal
u1(t)
u2(t)
Amplitude
U
ˆ
(V)
4
3
Pulsation
(rad.s-1)
100
100
Phase à l’origine
u
(rad)
3
4
1.4. Propriétés
1.4.1. Périodes
a. Période temporelle T
Calculer
)10.5( 3
1
tu
,
)10.25'( 3
1
tu
et
)10.45''( 3
1
tu
.
Nous constatons que
)"()'()( 111 tututu 
.
Or, t’ = t+T avec T = 20 ms et t’’ = t + 2T.
Donc :
)(...)2()()( 1111 kTtuTtuTtutu 
avec k entier.
b. Période angulaire
Exemple :
Calculer
)
3
sin(
,
)2
3
sin(
et
)4
3
sin(
.
Nous constatons que :
)
3
sin(
=
)2
3
sin(
=
)22
3
sin( x
=…=
)2
3
sin( kx
Donc :
)2.sin()sin( k
Nous avons donc :
)2sin(
ˆ
))(sin(
ˆ
)sin(
ˆ
 uuu tUTtUtU
2)(  uu tTt
2 uu tTt

Cours régime sinusoïdal
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2 T
De plus nous avons la relation :
T
f1
.
D’où :
f
T
2
2
; en rad.s-1;
T
en secondes (s) et
f
en hertz (Hz).
1.4.2. Valeur moyenne
Vu 0
car c’est une fonction alternative (A1 + A2 = 0).
1.4.3. Valeur efficace
)(sin
ˆ
)( tUtu
 Elever au carré u(t)
)(sin
ˆ
)( 222 tUtu
Or :
22cos1
sinsin21)2cos( 22
On obtient :
22cos
ˆ
2
ˆ
)
22cos1
(
ˆ
)( 22
22
UU
Utu 
 Prendre la valeur moyenne de u2(t)
 22cos
ˆ
2
ˆ
22cos
ˆ
2
ˆ
)( 2222
22
UUUU
tuU
car la valeur moyenne d’une
somme est la somme des valeurs moyennes.
De plus :
2cos
2
ˆ
22cos
ˆ22 UU
.
Or,
2cos
est une grandeur sinusoïdale, donc alternative. Donc : <
2cos
> = 0.
D’où :
2
22
22
ˆ
2
ˆ
)( U
UU
tu 
.
 Prendre la racine carrée de
 )(
2tu
2
ˆ
2
ˆ
)( 2
2UU
tuU 
2
ˆ
U
U
Remarque : Cette expression est valable uniquement pour les grandeurs sinusoïdales.
Application numérique :
)
3
100sin(4)(
1
 ttu
2
ˆ1
1U
U
11 ˆ
83,222
2
4UVU 
)
4
100sin(3)(
2
 ttu
2
ˆ2
2U
U
22 ˆ
12,2
2
3UVU 
1.5. Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Soient u1(t) et u2(t) deux tensions sinusoïdales de même pulsation :
)
3
100sin(4)(
1
 ttu
et
)
4
100sin(3)(
2
 ttu
Soit u3(t) la somme de u1(t) + u2(t). Comment construire u3(t) ?

Cours régime sinusoïdal
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213 ˆˆˆ UUU 
;
213 uuu
et
)
12
100sin(7)(
3
 ttu
(voir exercice préparation).
Construction point par point de u3(t) : calcul long et fastidieux !
Nous constatons que u3(t) est une fonction sinusoïdale de même fréquence (et période) que u1(t) et u2(t).
Le calcul direct donne (assez long !) :
)315,0100sin(33,4)(
3 ttu
.
Démonstration :
)100sin()
3
100sin(4)( 11  tattu
;
)100cos()
24
100cos(3)
4
100sin(3)( 22  tbtttu
;
)sin()()()( 3
22
213
 tdctututu
;
21 cossin
bac 
;
21 sincos
bad 
;
A.N. :
2
2
3
32 c
;
2
2
3
2d
;
2 conditions à satisfaire pour
3
:
d
c
arctan
3
et
22
3arcsin dc
c
.
A.N. :
33,4
22  dc
et
rad315,0
3
Conclusion : Necessité d’introduire un outil de calcul plus pratique !
1.6. Représentation de Fresnel
1.6.1. Vecteur tournant
A toute fonction sinusoïdale du temps on peut associer un vecteur tournant autour de son origine à
la vitesse angulaire , dans le sens trigonométrique.
 tt)(
; est l’angle
);( OMOx
à l’instant t = 0.
sinOMOA 
; OM : module de
OM
La projection su l’axe Oy du vecteur tournant
OM
est une fonction sinusoïdale. En développant sur
un système d’axes y = f(t), on obtient une représentation de cette fonction (voir document ci-
dessous)
O
A
x
B
y
(t)
M

Cours régime sinusoïdal
4/7
T
T/12
0
12
11
10
9
8
7
6
6
5
4
0
11
10
9
8
7
6
4
3
0-12
1
1
2
2
5
3
O
u
x
t
u = f(t)
1.6.2. Vecteur de Fresnel
A toute fonction sinusoïdale du temps, on peut donc associer un vecteur. Les grandeurs qui
caractérisent une tension ou un courant alternatif sinusoïdal sont sa valeur efficace et sa phase à
l’origine.
Ces deux grandeurs nous servent à définir le vecteur associé
U
(ou
I
) qui est par convention
représenté dans la position qu’occupe le vecteur tournant à l’instant t = 0.
Définition
A la grandeur sinusoïdale u(t) (ou i(t)), on associe un vecteur de Fresnel
U
(ou
I
) dont le module
est la valeur efficace U (ou I), faisant l’angle u (ou i) avec un axe Ox de référence des phases.
Exemple :
)
3
100sin(4)(
1
 ttu
et
)
4
100sin(3)(
2
 ttu
)60
3
;83,2( 1
11  radVUU u
et
)45
4
;12,2( 2
22  radVUU u
.
Echelle : 2 cm / V
O
x
u
U
U
+
Axe de référence des phases

Cours régime sinusoïdal
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1.6.3. Règle de Fresnel
Règle : Si nous associons aux fonctions sinusoïdales de même fréquence u1(t) et u2 (t) les
vecteurs de Fresnel
1
U
et
2
U
, la somme vectorielle
213 UUU 
nous fournit directement la
valeur efficace de
3
U
, somme de
1
U
et
2
U
, et sa phase à l’origine
3
u
.
Exemple : Construction de
213 UUU 
. Détermination de u3(t).
On mesure :
VU 05,3
21,6
3
. Or :
VU 06,3
2
33,4
3
(Calcul)
radrad
u315,0(314,018
3
par le calcul)
Donc :
)314,0100sin(205,3)(
3 ttu
Remarque : Nous admettons que ce résultat est valable quelque soit le nombre de fonctions : la
somme de plusieurs fonctions sinusoïdales de même période est également une fonction sinusoïdale
de même période.
2. Les lois fondamentales de l’électricité en régime sinusoïdal permanent
La loi des nœuds
Rappel : La somme algébrique des intensités des courants qui arrivent à un noeud est égale à la
somme algébrique des intensités des courants qui en partent.
Règle : La loi des nœuds, valable pour les valeurs instantanées des courants, est applicable aux
vecteurs de Fresnel associés aux courants sinusoïdaux.
Exemple : En valeurs instantanées :
)()()( 321 tititi 
En vecteurs de Fresnel :
321 III 
La loi des mailles
Rappel : La somme algébrique des tensions rencontrées dans une maille est nulle. Pour écrire cette loi
on place une flèche arbitraire à côté de chacun des éléments de la maille, puis on choisit un sens
O
x
u2 = 45°
U2
2
U
+
Axe de référence des phases
1
U
u1 = -60°
U1
U1
1
U
3
U
U3
u3 = -18°
i1(t)
i2(t)
i3(t)