L`opérateur Nabla - Site du projet Mécaflotte

Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
SOMMAIRE
1
1. .
L
L’ ’o op pé ér ra at te eu ur r N Na ab bl la a . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 1
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1. .1 1. .
L
Le e l la ap pl la ac ci ie en n . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 1
1
1. .2 2. .
L
Le e g gr ra ad di ie en nt t . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 1
1
1. .3 3. .
L
La a d di iv ve er rg ge en nc ce e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 1
1
1. .4 4. .
L
Le e r ro ot ta at ti io on nn ne el l . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 1
2
2. .
N
No ot ta at ti io on n . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 1
3
3. .
L
Le e l la ap pl la ac ci ie en n . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2 2
3
3. .1 1. .
D
Dé éf fi in ni it ti io on n . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2 2
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3. .2 2. .
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Co oo or rd do on nn né ée e c ca ar rt té és si ie en nn ne e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2 2
3
3. .3 3. .
C
Co oo or rd do on nn né ée e c cy yl li in nd dr ri iq qu ue e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3 3
3
3. .4 4. .
C
Co oo or rd do on nn né ée e s sp ph hé ér ri iq qu ue e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 4 4
3
3. .5 5. .
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In nt te er rp pr ré ét ta at ti io on n d du u l la ap pl la ac ci ie en n . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 4 4
3
3. .6 6. .
R
Re el la at ti io on ns s e en nt tr re e o op pé ér ra at te eu ur rs s . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 6
3
3. .7 7. .
A
Au ut tr re es s s si it te es s à à v vi is si it te er r . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 6
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Le e g gr ra ad di ie en nt t . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7 7
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4. .2 2. .
C
Co oo or rd do on nn né ée e c ca ar rt té és si ie en nn ne e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7 7
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4. .3 3. .
C
Co oo or rd do on nn né ée e c cy yl li in nd dr ri iq qu ue e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7 7
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4. .4 4. .
C
Co oo or rd do on nn né ée e s sp ph hé ér ri iq qu ue e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8 8
4
4. .5 5. .
E
Ex xe em mp pl le e d de e c ca al lc cu ul l . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8 8
4
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In nt te er rp pr ré ét ta at ti io on n d du u g gr ra ad di ie en nt t . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 9
5
5. .
L
La a d di iv ve er rg ge en nc ce e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 10 0
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5. .2 2. .
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5. .3 3. .
C
Co oo or rd do on nn né ée e c cy yl li in nd dr ri iq qu ue e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 10 0
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5. .4 4. .
C
Co oo or rd do on nn né ée e s sp ph hé ér ri iq qu ue e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 10 0
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5. .5 5. .
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6. .1 1. .
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6. .3 3. .
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6. .4 4. .
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Co oo or rd do on nn né ée e s sp ph hé ér ri iq qu ue e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 14 4
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6. .5 5. .
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7. .
R
Re el la at ti io on n e en nt tr re e l le es s o op pé ér ra at te eu ur rs s . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 17 7

Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
1
1
1. . L L’ ’o op pé ér ra at te eu ur r N Na ab bl la a
Le nabla tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle
pointant vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel de défini en coordonnées cartésiennes
par :
z
y
x
On écrit aussi pour souligner que formellement, l'opérateur nabla est un vecteur. La
notation nabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en
coordonnées cartésiennes (uniquement en coordonnée cartésienne).
1
1. .1 1. . L Le e l la ap pl la ac ci ie en n
Cette écriture est valable pour le laplacien scalaire et vectoriel
VVV ²)( 
et
AAA ²)( 
1
1. .2 2. . L Le e g gr ra ad di ie en nt t
VVgrad .)( 
1
1. .3 3. . L La a d di iv ve er rg ge en nc ce e
AAdiv 
.)( 
1
1. .4 4. . L Le e r ro ot ta at ti io on nn ne el l
AArot 
)(
2
2. . N No ot ta at ti io on n
On considérera le champs scalaire V(x,y,z)
On considérera également le champ vectoriel :
z
y
x
z
y
x
e
e
e
zyxA
zyxA
zyxA
A
),,(
),,(
),,(

Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
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3
3. . L Le e l la ap pl la ac ci ie en n
3
3. .1 1. . D Dé éf fi in ni it ti io on n
Le laplacien, du nom de Pierre-Simon de Laplace, est le plus utilisé des opérateurs
d'ordre deux.
L'opérateur laplacien mesure les irrégularités dans les valeurs d'une fonction : une
fonction "assez régulière" est de laplacien nul. L'importance de l'équation de Laplace
(annulation du laplacien) a été remarquée dès le départ par Laplace dans l'étude de problèmes
de gravitation. Il a également utilisé le laplacien pour des problèmes de diffusion de la chaleur
et de propagation des ondes. Il intervient aujourd'hui en imagerie. Il permet également de
définir la courbure d'une surface et d'étudier les surfaces minimales.
Le laplacien d'un champ s'obtient en appliquant deux fois l'opérateur nabla, et il est noté.
AAA ²)( 
3
3. .2 2. . C Co oo or rd do on nn né ée e c ca ar rt té és si ie en nn ne e
Le laplacien d'un champ est égal à la somme des dérivées
secondes de ce champ par rapport à chacune des variables. Cette
définition a un sens aussi bien pour un champ de scalaires que
pour un champ de vecteurs. On parle respectivement de laplacien
scalaire et de laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire d'un champ
de scalaires est un champ de scalaires, alors que le laplacien
vectoriel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs.
Laplacien scalaire :
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V
Laplacien vectoriel :
Le Laplacien vectoriel est tout simplement pour chaque composante le Laplacien
scalaire appliquée à chacune des composantes (Ax(x,y,z), Ay(x,y,z), et Az(x,y,z)) du champ
vectoriel A
zzyyxx eAeAeAA 
M
O
x
z
y
ex
ez
ey
dz
dy
dx

Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
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Soit en développant, on obtient :
z
y
x
zzz
z
yyy
y
xxx
x
e
e
e
z
A
y
A
x
A
A
z
A
y
A
x
A
A
z
A
y
A
x
A
A
AA
²
²
²
²
²
²²
²
²
²
²
²²
²
²
²
²
²
²
3
3. .3 3. . C Co oo or rd do on nn né ée e c cy yl li in nd dr ri iq qu ue e
Laplacien scalaire :
²
²
²
²
²
11 z VV
rr
V
r
rr
V
Laplacien vectoriel :
Le laplacien vectoriel a une expression complexe dans ces coordonnées.
z
r
z
r
rr
e
e
e
A
A
A
r
A
A
A
r
A
A  2
²
1
2
²
1
M
O
x
z
y
er
ez
e
M'
r
OM' = r
dz
dr
rd

Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
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3
3. .4 4. . C Co oo or rd do on nn né ée e s sp ph hé ér ri iq qu ue e
Le laplacien scalaire:
)(sin
²sin² 1 ²
²
²sin² 1
)(
²
1
 V
r
V
r
rV
rr
V
Le laplacien vectoriel :
e
e
e
A
A
A
r
A
A
A
A
r
A
A
AA
r
A
Ar
r
r
rr
cos²sin
2²sin² 2
cos²sin
2²sin² 2
sinsin
²sin² 2
3
3. .5 5. . I In nt te er rp pr ré ét ta at ti io on n d du u l la ap pl la ac ci ie en n
Le Laplacien ou comment détourer une image.
Sur une photographie noir et blanc, chaque point est d'un gris plus ou moins foncé. C'est
sur les contours, là où la lumière varie brusquement que l'œil repère les formes : un choucas
sur un tas de charbon est aussi difficile à repérer qu'un ours blanc sur la neige, mais l'inverse
attire l'œil, car l'animal se découpe sur le fond.
L'opérateur de Laplace (ou laplacien) associe à tout point d'une image la "quantité de
variation de lumière" autour de ce point. Il n'y a pas de variation sur le choucas, ni sur la
neige, mais une grande variation aux points frontières, là où le choucas rencontre la neige.
A l'aide de l'ordinateur, on peut calculer pour chaque point cette variation (c'est une affaire
de dérivées, ou de différences finies), et la représenter sur une nouvelle image qui fait
apparaître ainsi uniquement les contours, et non les zones uniformes, qu'elles soient claires ou
foncées. C'est un principe utilisé aujourd'hui par les logiciels de retouche d'image ainsi que
ceux de reconnaissance en robotique.
M
O
x
z
y
e
er
e
r
e
u