Concours Centrale

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Concours Centrale-Supelec 2003
Filière PC
Epreuve : MATHEMATIQUES I
Corrigé par Sylvie Bonnet, math PC*-Besançon
Préliminaires
1) g étant intégrable sur
a b,
, l’est également sur tout intervalle
x b,
, pour tout
x a b,
.
1.a) f et g étant strictement positives,
f o g
est équivalent à
tgtfbtbatba  0 ,, que tel,,0
.
Soit
x a b,
. g étant intégrable sur
x b,
, f l’est également par théorème de comparaison
des intégrales.
D’autre part, par croissance de l’intégrale,
x a b x b f g
x
b
x
b
, , 0
.
f o g
x
b
x
b
1.b) g étant strictement positive,
f g
quand x tend vers b est équivalent à
tgtgtfbtbatba  0 ,, que tel,,0
.
Soit
x a b,
. g étant intégrable sur
x b,
, f –g l’est également par théorème de
comparaison des intégrales et f est intégrable sur
x b,
, car f=(f-g)+g, somme de deux
fonctions intégrables sur
x b,
.
D’autre part, par linéarité et croissance de l’intégrale,
x a b x b f g f g g
x
b
x
b
x
b
x
b
, , 0
.
f g x b
x
b
x
b
 quand tend vers
2) f et g étant continues par morceaux sur
a b,
sont intégrables sur tout segment
a x,
avec
x a b,
. Mais g étant strictement positive et non intégrable sur
a b,
,
g
a
x
x b
. En
particulier,
g
a
x
est strictement positive au voisinage de b.
2.a) On reprend la définition du 1a)
tgtfbtbatba  0 ,, que tel,,0
.
Soit
x b ,
. Par additivité de l’intégrale,
f f f
a
x
a
x
et , par croissance de
l’intégrale :
0      
f
g
f
g
f
g
f
g
g
g
f
g
a
x
a
xa
a
x
x
a
xa
a
x
x
a
xa
a
x

2
Comme
g
a
x
tend vers quand x tend vers b, pour fixé,
f
g
a
a
x
tend vers 0 quand x tend
vers b et peut donc être rendu inférieur à pour x assez proche de b.
Finalement :
20 ,, que tel,,0  
x
a
x
a
g
f
btbatba
.
f o g
a
x
a
x
exemples
i)
a b, ,1
,
f t t 1
2
,
g t t 1
. f est négligeable devant g quand x tend vers .
f est intégrable sur
1,
et g ne l’est pas. (fonctions de Riemann)
ii)
a b, ,1
,
f t t 1
,
g t t 1
. f est négligeable devant g quand x tend vers .
f et g ne sont pas intégrables sur
1,
. (fonctions de Riemann)
2.b) f et g étant équivalentes quand x tend vers b, et g étant non intégrable sur
a b,
, f n’est
pas intégrable sur
a b,
par théorème de comparaison des intégrales.
f g
quand x tend vers b est équivalent à
f g o g 
. D’après le 2a),
f g o g
a
x
a
x
et
f g x b
a
x
a
x
 quand tend vers
.
Remarque : on a des résultats analogues pour des fonctions définies sur
a b,
.
Partie I
I.A
I.A.1)
Il s’agit d’appliquer le résultat de la question 2b) des préliminaires sur l’intervalle
01,
aux fonctions f et g définies par
f t e
Arc t
t
sin
et
g t t 1
. Ces fonctions sont continues
sur
01,
et g n’est pas intégrable sur
01,
. Donc
e
Arc t dt dt tx x
t
x x
sin ln
1 1 0
= quand tend vers

3
I.A.2)
e
Arc t dt e Arc t dt e Arc t dt
t
x
xt
x
t
x
sin sin sin
3
2
3 2
1 1
. Or, d’après la question précédente,
e
Arc t dt x o x x
t
xsin ln ln
10
= quand tend vers
. Donc,
e
Arc t dt x o x x o x x
t
x
x
sin ln ln ln ln
3
23 3 2 2 0
= quand tend vers
e
Arc t dt x o x x o x x
t
x
x
sin ln ln ln ln
3
23 3 2 2 0
= quand tend vers
e
Arc t dt x x
t
x
x
sin ln
3
20
quand tend vers
I.B.1)
Les fonctions
g t t :ln 1
et
t t
sont de classe
C1
sur
2,
. Une intégration par
parties donne :
dttxxdt
t
x x
ln ln ln ln
22 2
22
.
On pose
f t t :ln 12
et on applique au couple
f g,
le résultat de la question 2a) des
préliminaires.
f o g
au voisinage de , et g n’est pas intégrable sur
2,
car continue sur
2,
et
prépondérante sur
tt 1
qui n’est pas intégrable sur
2,
. Donc
dt
todtt
x x
ln ln
2
2 2
au
voisinage de . Si on ajoute à cela que
xxln
tend vers quand x tend vers , on peut
en déduire que
dttxx
x
ln ln
2
quand x tend vers .
I.B.2)
On montre par récurrence sur
n0
:
HRn
dttk xxkndt
t
x
k
k
n
k
k
n
n
x
ln !
ln ! ln !ln
21
01 02
2
221
HR0
a été démontré dans la question précédente.
Supposons
HRn
pour
n0
. Une intégration par parties donne
(*)
dt
t
x
xndt t
n
x
n n n
x
ln ln ln ln
2
22 2 3 2
2
22
et
HRn1
est vraie.
La relation (*) et le résultat de la question 2a) des préliminaires appliqué au couple
f g,
maintenant défini par
f t tn :ln
13
et
g t tn :ln
12
permettent de conclure en utilisant

4
les mêmes arguments que dans la question précédente (
f o g
au voisinage de , et g
n’est pas intégrable sur
2,
car continue sur
2,
et prépondérante sur
tt 1
qui n’est
pas intégrable sur
2,
) que :
dt
t
x
x
n
x
n
ln ln
2
22
quand x tend vers .
Donc
dt
tox x
n
x
n
ln ln
2
21
quand x tend vers .
En remarquant que tous les termes de la somme
k xx
k
k
n!
ln 
1
0
tendent vers quand x tend
vers , on peut négliger la somme
k
k
k
n!
ln 22
1
0
et conclure que
dttk xxoxx
x
k
k
n
n
ln !
ln ln
21
01
I.C.1)
1x
,
xt xt xtdt
tt e
dt
t
e
dt
te
122 12 1211
et en intégrant successivement deux fois par parties la première de ces deux intégrales :
1x
,
xt xtxx xtdt
tt e
dt
t
e
e
x
e
x
e
dt
te
122 1432 121
632
1
1x
,
xtxx xtdt
tt t
e
e
x
e
x
e
dt
te
12
2
432
121
65
32
1
Le résultat de la question 2b) des préliminaires appliqué au couple
f g,
défini sur
,1
par
4
5
:te tf t
et
1
65
:2
2
4tt
t
e
tg t
permet de conclure en remarquant que
gf 
au voisinage
de et que g n’est pas intégrable sur
,1
car continue sur
,1
et prépondérante sur
tt 1
qui n’est pas intégrable sur
,1
que
xtdt
te
14
5
xtdt
tt t
e
12
2
41
65
quand x tend vers .
Pour trouver un équivalent de
xtdt
te
14
5
, on intègre encore un fois par parties :
  xtx
xtdt
t
e
e
x
e
dt
te
154 142055
5

5
Le résultat de la question 2a) des préliminaires appliqué au couple
f g,
maintenant défini
par
5
:t
e
tf t
et
4
:t
e
tg t
permettent de conclure en utilisant les mêmes arguments que dans
la question précédente (
f o g
au voisinage de , et g n’est pas intégrable sur
,1
car
continue sur
,1
et prépondérante sur
tt 1
qui n’est pas intégrable sur
,1
) que :
4
1455 x
e
tex
xt
quand x tend vers .
On obtient ainsi :
4
12
2
45
1
65 x e
dt
tt t
ex
xt
quand x tend vers et par là-même :
3
12
2
41
65 x e
odt
tt t
ex
xt
.
D’autre part, la constante
e3
est négligeable devant
3
x
ex
qui tend vers quand x tend vers
.
Finalement :
332
122
1x
e
o
x
e
x
e
dt
texxx
xt
.
I.C.2)
Langage Maple :
n :=10
series(exp(-x)*int(exp(t)/(t*t+1),t=1..x),x=infinity,n+1) ;
Partie II
II.A
1er cas :
0
On pose
)1,max(' aa 
Le résultat de la question 2b) des préliminaires appliqué au couple
g,
défini sur
,'a
par
tf tf
t' :
et
t
tg :
permet de conclure en remarquant que
g
au
voisinage de et que g n’est pas intégrable sur
,1
que
x
adt
tf tf
'
'
x
adt
t
'
quand x tend vers , c’est-à-dire :
'lnln'lnln axafxf 
quand x tend vers , ou encore
xxf lnln
quand x tend vers , car les constantes sont négligeables devant
xln
.
2ème cas :
0
On pose
)1,max(' aa 