Modèle mathématique.

Nombres Complexes
I] Forme algébrique d’un nombre complexe :
1) Définitions :
On appelle nombre complexe tout « élément de la forme a  ib , a  IR , b  IR et i est tel que
i ²  1 .
L’ensemble des nombres complexes est noté I;C.
Soit z  z  a  ib , avec a et b des réels, est l’écriture algébrique de z.
a est la partie réelle de z on note a = Re(z).
b est la partie imaginaire de z on note b=Im(z).
7 3
 i
4 2
7
Re( z) 
4
3
Im( z)  
2
z
z  4  i  (5  2i)
z n’est pas écrit sous sa forme algébrique.
2) Propriétés :
Soit z un complexe.
z  IR  Im( z)  0
z est imaginaire pur  Re( z)  0
Remarque : IR 
Soit z  a  ib et z'  a'ib ' , a,a’,b et b’ sont quatre réels.
a  ib  0  a  0 et b  0
a  ib  a'ib '  a  a' et b  b'
est muni d’une addition et d’une multiplication. Les règles de calculs dans sont les mêmes que
dans IR.
3) Exemples :
Ecrire sous forme algébrique :
z1  (1  2i)  (2  5i)
z1  3  3i
z 2  (1  5i)  (3  2i)
z 2  2  7i
z 3  (1  i)  (1  2i)
z 3  1  2i  i  2  i ²
z 3  1  3i
z 4  (2  3i)²
z 4  4  2  3i  2  (3i)²
z 4  4  12i  9
z 4  5  12i
z 5  (3  2i)(3  2i)
z 5  9  4i ²
z 5  13
z 6  (a  ib )(a  ib )
z 6  a ²  (bi)²
z 6  a ²  b²
Soit z un complexe, z est donné. z  a  ib a et b des réels.
On cherche un complexe z’ tel que z  z'  1 . On cherche x  IR , y  IR .
z  ( x  iy )  1
(a  ib )( x  iy )  1
ax  by  1
(ax  by)  i(ay  bx )  1  
ay  bx  0
a ² x  aby  a

b² x  aby  0
 (a ²  b²)x  a
a
b
et donc y 
a ²  b²
a ²  b²
Tous complexes z  a  ib (z  0), (a, b)  (0,0) à un inverse z’ étant un complexe.
a
b
z' 

i
a ²  b² a ²  b²
si a  0 et b  0 alors x 
4) Conjugué d’un nombre complexe :
Définition :
Soit z  a  ib un complexe, le complexe a  ib est le complexe conjugué de z. On note
z  a  ib
Propriétés :
Soit z  a  ib , z est un complexe.
z   z
z z  a ²  b²
z  z  2a  2 Re( z)
z  z  2ib  2i  Im( z)
z  IR  z  z
z est imaginaire pur  z  z .
Avec les opérations :
Soit z et z’ des complexes.
z  z'  z  z'
z  z'  z  z'
1 1
Si z  0   
z z
 z'  z'
Si z  0    .
z z
Exercices :
Ecrire sous forme algébrique z1 
Re( z1 ) 
1
1  (1  2i)
1  2i 1  2i
.



1  2i (1  2i)(1  2i) 1  4
5
1
2
Im( z1 )  .
5
5
Résoudre dans I;C x I;C :
3z1  z 2  1  7i

iz 1  2z 2  11i
On multiplie la ligne un par -2.
 6z1  2z 2  2  14i

iz 1  2z 2  11i
On en déduit que  6z1  iz 1  2  25i ajout de la ligne 1 et de la ligne 2.
(6  i)z1  2  25i
.
z1  1  4i
z  1  7i  3(1  4i)
On en déduit 2
.
z 2  2  5i
Résoudre dans I;C
2z  i z  1  i (1)
On pose z  x  iy x  IR , y  IR .
2( x  iy )  i( x  iy )  1  i
(2x  y)  i( x  iy )  1  i
2 x  y  1

x  2 y  1
x  1

 y  1
L’équation (1) a une solution et une seule : z  1  i
5) Résolution dans I;C de : az2+bz+c=0
Soit f définie sur I;C par :
f(z)=az2+bz+c
2

b 
 
a  z    2  avec   b 2  4ac
2a 
4a 


b
 
b
 
 z 

f (z)  a  z 


2a 2a 
2a 2a 

Si   0

 b   
b  
 z 

f (z)  a  z 


2
a
2
a



L’équation f (z)  0 a deux solutions réelles.
bz c 

 =
f(z)=a  z 2 
a a

z1 
b 
b 
et z 2 
.
2a
2a
2
b
b 

Si   0 L’équation f (z)  a  z   , l’équation f (z)  0 a une solution réelle
2a
2a 

Si   0 l’équation n’a pas de solution dans I; R.
 2
2
Quand   0   i    .
 4  (2i) 2  5  i 5
2
2

i   
b


 
f (z)  a  z    

2a   2a  



b i   
b i   
 z 



On en déduit f (z)  a  z 
2a
2a 
2a
2a 


 b  i   
 b  i   
 z 

f (z)  a  z 


2
a
2
a



L’équation f (z)  0 a donc deux solutions complexes conjugués :
bi 
2a
.
bi 
z2 
2a
Résoudre dans I;C :
z2  z 1  0
  1  4  3 L’équation a deux solutions complexes conjuguées.
 1  i  (3)
z1 
2
1 i 3
z2 
2
z1 
II] Représentation géométrique d’un nombre complexe :
 
Le plan est muni d’un repère orthonormal O, u, v .
1) Image d’un affixe :
Soit z  a  ib un nombre complexe a  IR et b  IR .
Le point M(a ; b) est le point image de z. z  a  ib est l’affixe de M.
Le vecteur W(a, b) est le vecteur image de z. z  a  ib est l’affixe de W .
Exemples :
5
7
i
Construisons A, B, C, D, E d’affixes respectives 2  3i ,  1  2i , 2  i ,  3 ;
2
2
Propriétés :
z est un complexe , z  I; R  M(z) est un point de l’axe de l’abscisses.
z est un complexe, z est imaginaire pure  M(z) est un point de l’axe des ordonnées.
Exercice :
z  x  iy un complexe donné x  I; R et y  I; R.
M le point d’affixe z
Soit Z  x 2  y 2  2ixy
1) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que Z soit réel.
2) Déterminer l’ensemble F des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur.
 Im( Z)  0
1) Z  I; R
 2xy  0
 x  0 ou y  0
 z est imaginaire pur ou z  I; R.
 M(z)  (Oy) ou M(z)  (Ox).
E  (Ox)  (Oy)


2) Z est imaginaire pur  Re(Z)=0
 x 2  y2  0
 ( x  y)( x  y)  0
 x  y  0 ou x  y  0
 x  y ou y   x
 La droite d’équation y  x .
 ’ La droite d’équation y   x
Z imaginaire pur  M(z)   ou M(z)   ’.
F=   ' .
2) Propriétés :
Addition :
Soit M(z) avec z  a  ib
M’(z’) avec z'  a'ib '
Soit S le point tel que OS  OM  OM'
L’affixe de OS  (a  a' )  i(b  b' )  z  z' .

Soit w ( z) et w '(z' ) w  w ' a pour affixe z  z' .
Produit par un réel :
Soit M ( z ) z  a  ib
OM  w
Soit w (z), k w a pour affixe kz.
Affixe d’un vecteur :
M ( z ) et M ' ( z ' ) on cherche l’affixe du vecteur MM'
MM'  MO  OM' , MM’ a pour affixe z ' z .
Exercice :
1
A ( 2  3i) B  C(1  4i) D(4  2i) .
2
1) Construire A, B, C et D.
2) Déterminer les affixes de Error!, Error! et Error!.
3) Quel est l’affixe de E pour que ABCE soit un parallélogramme.
 1 15 
4) H  i  , Montrer que A, C et H sont alignés.
2 2 
2) L’affixe de :
1)
1
3
 (2  3i) 
 3i .
2
2
1 1
 Error! est 1  4i    4i
2 2
 Error! est 2  3i  (4  2i)  2  5i
3) Soit E(z). ABCE est un parallélogramme
 AB  EC

Error! est
3
   3i  1  4i  z
2
3
 z  1  4i   3i
2
5
 z  i
2
4) Affixe de Error! est 1  4i  (2  3i)  1  7i . Et l’affixe de Error! est
1 15
3 21
3
3
 i  (2  3i)    i  (1  7i) et donc AH  AC . Error! et Error!
2 2
2 2
2
2
sont donc colinéaire et donc A, H et C sont alignés.
Affixe du milieu :
A(zA) et B(zB).
I milieu de [AB]  IA  IB  0  (z A  z I )  (z B  z I )  0  z I 
ZA  z B
.
2
Affixe du centre de gravité d’un triangle :
A(zA) et B(zB) et C(zC).
G(zG) est le centre de gravité du triangle ABC.
2
G centre de gravité de ABC  AG  AA '
3
Ou  GA  GB  GC  0  (z A  z G )  (z B  z G )  (z C  z G )  0  z G 
zA  zB  zC
3
Autres propriétés :
M ( z ) et M ' ( z ' )
M et M’ sont symétrique par rapport à O  z'  z .
M et M’ sont symétrique par rapport à (Ox)  z'  z .
M et M’ sont symétrique par rapport à (Oy)  z'   z .
III] Forme trigonométrique d’un complexe :
1) Repérage polaire :
O est un point du plan et Error! un vecteur unitaire. Soit M un plan du plan (M  0) .
OM  r

(u, OM)  2
r IR *
  IR .
La donnée ( r; ) définit un point M unique tel que OM  r et (u, OM)  2 .
Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes :
M est donnée par ses coordonnées polaires ( r; ) , déterminons ses coordonnées cartésiennes
dans le repère (O, u, v) orthonormal direct.
M’ est le point d’intersection du cercle trigonométrique avec [OM) .
 cos  
 de plus OM  r OM'
M ' 
 sin  
 r  cos  
 r  cos  
 et M
 .
donc OM
 r  sin  
 r  sin  
x  r  cos 
En notant (x ;y) les coordonnées cartésiennes de M : 
.
y  r  sin 
Remarque :
Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :
x

cos  


r .
r  x 2  y 2 et 
y
sin  

r
Exemples :

M 3,3 3

 2 
r  32  3 3
3 1

cos   


6 2

et   2 .

3
sin   3 3  3

6
2

9  9  3  36  6
2) Module et arguments d’un complexe non réel :
Soit z  a  ib aI; R et bI; R (a ; b)  0 .
Notons M le point d’affixe z.
M a pour coordonnées (a,b) dans les repère (O, u, v) . Notons ( r; ) un couple de coordonnées
polaires du point M.
r  OM est le module de z noté |z|.
  (u, OM) est un argument de z et est noté Arg(z).
Exemples :
 z  1 i  2

z  1 i 

Arg (z)  2
4

3) Ecriture trigonométrique d’un complexe normal :
Soit z  a  ib aI; R et bI; R (a ; b)  0 .
 R est le module de z ( r  z ), r  OM où M est le point d’affixe z.


  est un argument de z,   Arg (z)2  u, OM 2.
a  r  cos 
donc z  a  ib  r (cos   i sin ) c’est l’écriture trigonométrique de z.
b  r  sin 
Détermination de l’écriture trigonométrique à partir de z  a  ib :
a

cos  


r.
r  z  a 2  b 2 et 
sin   b

r
Exemple :

3
cos  
2 donc    2 .
z  3  i z  r  3  1  2 et soit   arg( z)2 
6
sin   1

2
 
  
Donc z  2 cos   i sin    .
 6 
 6
Remarque :
 
z peut être noté z  2;  .
 6
*
Soit zI;C
z  IR *  arg( z)  2
z  IR *  arg( z)  0
z est imaginaire pur  arg( z) 

 k2 k  Error!.
2
Propriété :
Soit zI;C* et z’I;C*
z  z'  z  z' et arg( z)  arg( z' )2
4) Module d’un complexe, propriétés :
Soit zI;C et z’I;C*
z  IR 
*
z 0z0
2
z  zz
z  z  z
Avec les opérations :
z  z'  z  z'
z'  0
1
1

z' z'
z'  0
z
z

z' z'
z  z'  z  z' inégalité triangulaire.
En géométrie :
M(z) et M(z’) zI;C et z’I;C.
Affixe de MM'  z'z .
z'z  MM'  MM'
Exercices :
1)
Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z  1  2i  3 :
M(z)E  z  1  2i  3  z  (1  2i)  3  AM  3 avec A(1  2i) .
E est le cercle de centre A et de rayon 3.
2)
Déterminer l’ensemble F des points M(z) tels que z  1  z  2  i :
M(z)F  z  1  z  2  i  z  (1)  z  (2  i)  AM  BM avec A (1) et B(2  i) .
L’ensemble F est la droite perpendiculaire à [AB] passant par le milieu de [AB] (la médiatrice
de [AB]).
5) Arguments d’un complexe non nul, propriétés :
zI;C
arg z   arg( z)2

arg( z)  arg( z)  2
zI;C et z’I;C.
z  r (cos   i sin )
z'  r ' (cos 'i sin ' )
rI; R*;+ et   IR ainsi que r’I; R*;+ et
' IR .
Déterminons l’écriture trigonométrique
de z  z ' .
z  z'  rr ' (cos   i sin )(cos 'i sin ' )
z  z'  rr ' cos   cos ' sin   sin '  i sin   cos ' cos 'i sin '
z  z'  rr ' cos  '  isin   '
arg( zz ' )  arg( z)  arg( z' )[ 2]
Conséquences :
zI;C
1
Déterminons arg(  
z
1
z 1
z
 1
arg z    arg(1)2
 z
1
arg z  arg  02
z
1
Donc pour zI;C arg    arg z .
z
z
Et pour zI;C et z’I;C arg    arg z  arg z' .
 z' 
En géométrie :
M(z) et M’(z’)
arg( z'z)  (u, MM')2
Exemple :
Ensemble E des points M(z) tels que :

arg( z  1  i)  2
3

arg z  1  i   2
3

u; AM  2
3
Avec A(1  i)

M E  (u; AM )  2
3



2 .
3
E est le demi droite ouverte d’origine A et dirigée par Error!.
Soit Error! un vecteur non nul tel que (u, w ) 
IV] Notation Exponentielle :
Posons f ()  cos   i sin    IR . f est une fonction de I; R dans I;C.   IR et ' IR .
On sait que f ()  f (' )  f (  ' ) .
Dérivons f avec les règles habituelles.
f ' ()   sin   i cos   i(cos   i sin )  if () .
On admettra que l’on peut noter : pour  I; R e i  cos   i sin  . Le complexe de module r,
r dans I; R, et d’argument  sera note r  e i .
Propriétés :
 
 et  ’ sont deux réels e i  1 et arg ei  2
ei  ei'    ' 2
e i  e i'  e i(')
1
 e i'
i'
e
e i
 e i (')
i '
e
ei  e i
V] Nombres complexes et géométrie :
1) Module et arguments de (b-a) :
(O, u, v) est un repère orthonormal direct du plan. A(a) et B(b).
b-a est laffixe de Error!
b  a  AB


arg( b  a )  u, AB 2
ca 

2) Module et arguments de : 
ba

A(a), B(b) et C(c). avec b  a .
c  a AC
ca


ba
b  a AB
BAC
ca 
arg
  arg( c  a )  arg( b  a )2
ba
ca 
arg
  (u, AC)  (u, AB)2
ba
ca 
arg
  (AB, u )  (u, AC)2
ba


ca 
arg
  AB, AC 2
ba
3) Translation :
t : translation de vecteur Error!.
M est un point du plan M'  t (M)  MM'  w .
Avec les complexes :
Notons a l’affixe de Error!. Soit M(z).
 MM '  w
M’ l’image de M par t  z'z  a
 z'  z  a
4) Homothétie :

Soit
un point du plan et kI; R*.
L’homothétie h de centre  et de rapport k transforme M en M’ tel que M'  k M .
h(M)  M'  M'  kM
Soit  l’affixe de  . Notons z l’affixe de M et z’ l’affixe de M’.
h homothétie de centre  et de rapport kI; R*.
h(M)  M'  M'  kM  z'  k(z  ) .
Exemples :
f est la transformation plane qui au point M(z) associe M’(z’) tel que z'i  2z  2i .
z'i  2z  2i
z'i  2(z  i)
f est l’homothétie de centre (i) et de rapport -2.
g est la transformation plane qui au point M(z) associe M’(z’) avec : z'  2z  i
Déterminons les points invariants par g.
g(M)  M  z  2z  i  z  i .
g a donc un point invariant le point  d’affixe –i.
h (M)  M'  z'  k (z  )
z'(i)  2z  i  (i)
z'(i)  2z  2i
Par ailleurs
z'(i)  2(z  i)
z'(i)  2(z  (i))
g est donc l’homothétie de centre (i) et de rapport 2.
5) Rotations :
Soit  un point du plan et   I; R.
R : rotation de centre  et d’angle  .
 R ()    est invariant par R
 Si M   notons R (M)  M'
M  M'
 R (M)  M'  
 M, M'  2
Soit  l’affixe de  .
Notons z l’affixe de M et z’ l’affixe de M’.
R : rotation de centre  d’angle  .
Soit M   .
M  M'
R (M)  M'  
 M; M'  2
 z'  z  

   z' 
arg z     2

 


 z'
 z    1

arg z'   2
  z   


R (M)  M' 
z'
 e i  (z')  e i (z  )
z
Exemple :
g est la transformation du plan qui au points M(z) associe M’(z’) avec z'  iz  1 .
Points invariants par g.
g(M)  M'  z  iz  1
 z  iz  1
 z(1  i)  1
1
1 i
z

1 i
2
1 i 
g a un point invariant le point 
.
 2 
1 i
1 i
z'
 iz  1 
2
2
1 i
1 i
z'
 iz 
2
2
1 i 
1 i 
z'
 i z 

2
2i 

1 i 
(1  i)( 2i) 
g(M)  M'  z'
 i z 

2
4


1 i 
 2i  2 
 i z 

2
4 

1 i  1 i 
z'
 i z 

2
2 

z'

i 
1 i
1 i 
z'
 e 2 z 

2
2 


1 i 
g est la rotation de centre 
 et d’angle .
2
 2 