Modèle mathématique.

I] Forme algébrique d’un nombre complexe :
1) Définitions :
On appelle nombre complexe tout « élément de la forme
iba
,
IRb,IRa
et i est tel que
1²i 
.
L’ensemble des nombres complexes est noté I;C.
Soit
z
ibaz 
, avec a et b des réels, est l’écriture algébrique de z.
a est la partie réelle de z on note a = Re(z).
b est la partie imaginaire de z on note b=Im(z).
i
2
3
4
7
z
2
3
)zIm(
4
7
)zRe(
)i25(i4z 
z n’est pas écrit sous sa forme algébrique.
2) Propriétés :
Soit z un complexe.
0)zIm(IRz
z est imaginaire pur
0)zRe( 
Remarque :
IR
Soit
ibaz 
et
'ib'a'z 
, a,a’,b et b’ sont quatre réels.
0a0iba
et
0b 
'aa'ib'aiba
et
'bb 
est muni d’une addition et d’une multiplication. Les règles de calculs dans sont les mêmes que
dans IR.
3) Exemples :
Ecrire sous forme algébrique :
i31z
²i2ii21z
)i21()i1(z
i72z
)i23()i51(z
i33z
)i52()i21(z
3
3
3
2
2
1
1
Nombres Complexes

²b²az
)²bi(²az
)iba)(iba(z
13z
²i49z
)i23)(i23(z
i125z
9i124z
)²i3(2i324z
)²i32(z
6
6
6
5
5
5
4
4
4
4
Soit z un complexe, z est donné.
ibaz 
a et b des réels.
On cherche un complexe z’ tel que
1'zz 
. On cherche
IRy,IRx
.
ax²)b²a(
0abyx²b
aabyx²a
0bxay
1byax
1)bxay(i)byax(
1)iyx)(iba(
1)iyx(z
si
0a 
et
0b 
alors
²b²a a
x
et donc
²b²a b
y
Tous complexes
ibaz 
)0,0()b,a(),0z( 
à un inverse z’ étant un complexe.
i
²b²a b ²b²a a
'z 
4) Conjugué d’un nombre complexe :
Définition :
Soit
ibaz 
un complexe, le complexe
iba
est le complexe conjugué de z. On note
ibaz 
Propriétés :
Soit
ibaz 
, z est un complexe.
zzIRz
)zIm(i2ib2zz
)zRe(2a2zz
²b²azz
zz
z est imaginaire pur
zz 
.

Avec les opérations :
Soit z et z’ des complexes.
'zz'zz
'zz'zz
Si
0z 
z
1
z
1
Si
0z 
z
'z
z'z 
.
Exercices :
Ecrire sous forme algébrique
5i21 41 i21 )i21)(i21( )i21(1 i21 1
z1
.
5
1
)zRe( 1
5
2
)zIm( 1
.
Résoudre dans I;C x I;C :
i11z2iz
i142z2z6
i11z2iz
i71zz3
21
21
21
21
On multiplie la ligne un par -2.
On en déduit que
i252izz6 11 
ajout de la ligne 1 et de la ligne 2.
i41z
i252z)i6(
1
1
.
On en déduit
i52z
)i41(3i71z
2
2
.
Résoudre dans I;C
i1ziz2 
(1)
On pose
iyxz 
IRy,IRx
.
1y
1x
1y2x
1yx2
i1)iyx(i)yx2(
i1)iyx(i)iyx(2
L’équation (1) a une solution et une seule :
i1z 
5) Résolution dans I;C de : az2+bz+c=0
Soit f définie sur I;C par :
f(z)=az2+bz+c

f(z)=a
 a
c
a
bz
z2
=
2
2
a4
a2
b
za
avec
ac4b2
Si
0
a2
b
z
a2
b
za)z(f
a2a2
b
z
a2a2
b
za)z(f
L’équation
0)z(f 
a deux solutions réelles.
a2
b
z1
et
a2
b
z2
.
Si
0
L’équation
2
a2
b
za)z(f 
, l’équation
0)z(f 
a une solution réelle
a2b
Si
0
l’équation n’a pas de solution dans I; R.
2
)i2(4 
2
5i5 
Quand
0
2
i
.
On en déduit
a2ib
z
a2ib
za)z(f
a2
i
a2
b
z
a2
i
a2
b
za)z(f
a2
i
a2
b
za)z(f
2
2
L’équation
0)z(f 
a donc deux solutions complexes conjugués :
a2ib
z
a2ib
z
2
1
.
Résoudre dans I;C :
01zz2
341 
L’équation a deux solutions complexes conjuguées.
23i1
z
2
)3(i1
z
2
1

II] Représentation géométrique d’un nombre complexe :
Le plan est muni d’un repère orthonormal
v,u,O 
.
1) Image d’un affixe :
Soit
ibaz 
un nombre complexe
IRa
et
IRb
.
Le point M(a ; b) est le point image de z.
ibaz 
est l’affixe de M.
Le vecteur
)b,a(W
est le vecteur image de z.
ibaz 
est l’affixe de
W
.
Exemples :
Construisons A, B, C, D, E d’affixes respectives
i32
,
i21
,
i
2
5
2
,
3
;
i
27
Propriétés :
z est un complexe , z I; R M(z) est un point de l’axe de l’abscisses.
z est un complexe, z est imaginaire pure M(z) est un point de l’axe des ordonnées.
Exercice :
iyxz 
un complexe donné x I; R et y I; R.
M le point d’affixe z
Soit
ixy2yxZ 22 
1) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que Z soit réel.
2) Déterminer l’ensemble F des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur.
1) Z I; R
0xy2
0)ZIm(
0x 
ou
0y 
z est imaginaire pur ou z I; R.
M(z) (Oy) ou M(z) (Ox).
)Oy()Ox(E 
2) Z est imaginaire pur
Re(Z)=0
0yx 22 
0)yx)(yx( 