Première partie : oscillations d`un pendule

NOM : 16 février 2010
CORRECTION - COMPOSITION n°2
Première S4
Durée : 3h00 calculatrice autorisée
PHYSIQUE – 20 points
Dans tout le problème, on prendra g = 9,81 N.kg-1
… Les trois parties sont indépendantes…
Première partie : oscillations idéales d’un pendule (9,5 pts)
Un pendule de masse m = 10,0 g est suspendu à un fil inextensible de sorte que la longueur
du pendule soit l = 1,00 m. Il est relié à un ressort de masse négligeable et de raideur k = 10
N.m-1 afin que le pendule soit initialement immobile dans le référentiel terrestre considéré
comme galiléen (voir figure ci-dessous). L’angle que fait le pendule avec la verticale vaut alors
0 = 50,0°.
1. Situation initiale.
1.1. Faire le bilan des forces appliquées au pendule dans sa situation d’équilibre. (0,5 pt)
Le pendule est soumis à trois forces : - son poids : P
- la tension du fil : T
- la force de rappel du ressort : F
1.2. Que peut-on dire de la somme des forces dans cette situation ? (0,5 pt)
Dans le référentiel terrestre, le pendule est immobile. Le principe d’inertie permet d’affirmer que la
somme vectorielle des forces extérieures qui agissent sur le système pendule est égale au vecteur
nul. On a : P + T + F = 0
1.3. En projetant les forces sur des axes bien choisis, exprimer la valeur de la force de rappel
du ressort en fonction de m, g et
0
. (1 pt)
Sur l’axe horizontal Ox : - T.sin(0) + F = 0
Sur l’axe vertical Oy : T.cos(0) - P = 0
F = m.g.tan(0) A.N : F = 0,117 N
1.4. Montrer que le ressort est alors allongé de 1,2 cm. (1 pt)
F = k.l donc l = F / k A.N : l = 0,012 m
2. Oscillation du pendule.
Le pendule est maintenant libéré de l’action du ressort et il part sans vitesse initiale du point
A (voir figure ci-dessous). On néglige les frottements de l’air dans cette partie et l’énergie
mécanique du pendule se conserve par conséquent au cours de son mouvement.
On prendra la référence des énergies potentielles de pesanteur lorsque le pendule passe par la
verticale (point B), c’est-à-dire à la position la plus basse atteinte par le pendule.

2.1. Enoncer le théorème de l’énergie cinétique. (0,5 pt)
La variation d’énergie cinétique d’un système entre deux positions A et B quelconques de sa
trajectoire est égale à la somme des travaux des forces extérieures entre ces deux points :
Ec A-B = 1/2.m.vB2 – 1/2.m.vA2 =  W A-B (Fext)
2.2. Montrer que le travail du poids de la position initiale A à la position verticale B du pendule
s’écrit : W(P) A-B = m.g.l.(1 – cos (0)) (1 pt)
W(P) A-B = m.g.(zA – zB) = m.g.( l – l. cos (0)) = m.g.l.(1 – cos (0))
2.3. Déterminer la vitesse maximale du pendule, c’est-à-dire lorsqu’il passe par la position
verticale (au point B). (1 pt)
Soit A la position initiale du pendule, soit B sa position lorsqu’il passe à la verticale.
On applique le théorème de l’énergie cinétique entre la position initiale M0 et la position verticale M15.
Ec A-B = 1/2.m.vB2 – 1/2.m.vA2 =  W A-B (P)
en effet, la tension du fil est perpendiculaire au déplacement à chaque instant. Cette force ne travaille
donc pas. De plus, vA est nulle.
1/2.m.vB2 = m.g.l.(1 – cos (0))
vB = 2.g.l.(1 – cos (0))1/2
A.N : vB = 2.9,81.1,00.(1 – cos (50,0))1/2 = 2,65 m.s-1
2.4. Le pendule effectue une oscillation, c’est-à-dire un aller-retour. A quelle hauteur remonte-t-
il ? Pourquoi ? (1 pt)
Le pendule, après une oscillation, va remonter à la même hauteur. Nous sommes ici dans le cadre
d’oscillations idéales. Cela signifie que le poids est la seule force qui travaille. Les frottements sont
négligés. Le système ne perd donc pas d’énergie mécanique. Il se contente de convertir son énergie
potentielle de pesanteur Epp en énergie cinétique Ec (entre sa position initiale et sa position verticale)
puis son énergie cinétique en énergie potentielle de pesanteur…etc
Le pendule remonte donc à la hauteur hA = l.(1 - cos (0)) = 3,57.10-1 m.
2.5. Donner en fonction de m, , g, et l , l’expression de l’énergie mécanique du pendule pour
une position M au cours d’une oscillation repérée par un angle quelconque. (1 pt)
Em (M)= Ec (M)+ Epp (M) = 1/2.m.VM2 + m.g.l.(1 – cos ())
2.6. Exprimer pour une position bien choisie l’énergie mécanique du pendule en fonction de m,
g, l et
0
. (1 pt)
On fixe l’origine de l’énergie potentielle en B (position verticale du pendule). A cet endroit, on a :
Em (B) = Ec(B) = m.g.l.(1 – cos (0))
Cette énergie mécanique étant constante, on a : Em (M) = m.g.l.(1 – cos (0))

2.7. En déduire l’expression de la vitesse du pendule à un instant quelconque en fonction de g,
l , et
0
. (1 pt)
Ec(M) = Em(M) – Epp(M) = m.g.l.(1 – cos (0)) – m.g.l.(1 – cos ()) = m.g.l.( cos () - cos (0))
D’où : 1/2.m.VM2 = m.g.l.( cos () - cos (0)) VM = 2.g.l.(cos () - cos (0))1/2
Deuxième partie : Le pendule de Newton (4,5 pts)
Un pendule de Newton est constitué d’une série de 6 pendules alignés et en contact les uns
avec les autres. On considère un pendule de Newton constitué de cinq pendules identiques de
masse m = 10,0 g et de longueur l = 1,00 m (représentés en blanc) et d’un pendule plus massif
de masse m’ = 20,0 g et de longueur l = 1,00 m (représenté en noir).
Les frottements de l’air sont négligés dans cette partie.
On lâche le premier pendule (pendule de droite) écarté d’un angle initial de
0
50,0°
correspondant à une hauteur h sur les 5 autres pendules.
On admet que l’énergie mécanique de l’ensemble des six pendules est entièrement conservée
lors du choc.
Le dernier pendule (pendule « noir ») remonte alors d’une hauteur h’ inférieure à h alors que
les autres restent immobiles.
On prendra la référence des énergies potentielles de pesanteur au niveau du centre de
gravité des pendules immobiles.
1. Calculer l’énergie potentielle de pesanteur du premier pendule dans sa position initiale A. (1
pt)
Epp (A) = m.g.h = m.g.l.(1 – cos (0))
A.N : Epp (A) = 10,0.10-3.9,81.1,00.(1 – cos (50,0°)) = 3,50.10-2 J
2. En déduire l’énergie cinétique du premier pendule lorsqu’il arrive à la verticale, au point B
(1 pt)
On néglige les frottements. L’énergie potentielle du pendule dans sa position A va être intégralement
convertie en énergie cinétique lorsque le pendule va se retrouver en B, à la verticale.
Ec(B) = Epp(A) = 3,50.10-2 J
3. Avec quelle énergie cinétique le pendule noir part-il du point C ? (0,5 pt)
L’énoncé précise que l’énergie mécanique de l’ensemble des 6 pendules est entièrement conservée
lors du choc. Le pendule noir va donc partir avec une énergie cinétique Ec(C) = 3,50.10-2J.
4. En déduire la hauteur h’ atteinte par ce pendule. (1 pt)
Puisqu’on néglige les frottements, on sait que toute l’énergie cinétique du pendule « noir » va être
convertie en énergie potentielle de pesanteur. Cette énergie s’exprime par :

Epp (D) = m’.g.h’ puisqu’on prend comme origine des énergies potentielles la position initiale du
pendule.
On a donc : h’ = Epp(D) / m’.g = Ec(C) / m’.g = 3,50.10-2 / 20,0.10-3.9,81 = 1,78.10-1 m
On place une tige horizontale au milieu du fil sur le trajet du pendule « noir » comme indiqué
sur le schéma ci-dessous :
5. Calculer la valeur de l’angle 2 que fait le fil avec la verticale, lorsque le pendule « noir » a
atteint le sommet E de sa trajectoire. (1 pt)
Il y a conservation de l’énergie mécanique du système : Epp( E ) = Em( E ) = Ec(C) = Ec(B) = Epp( A )
Calculons l’énergie potentielle du pendule « noir » lorsqu’il atteint le point E.
Epp( E ) = (l/2).m’.g.(1 – cos(2))
De plus : Epp( A ) = l.m.g.(1 – cos(0))
(l/2).m’.g.(1 – cos(2)) = l.m.g.(1 – cos(0))
1 – cos(2)) = 1 – cos(0))
Conclusion : 2 = 0 = 50,0°
Troisième partie : Etude d’un numéro de cirque (6 pts)
Dans toute cette partie, on assimilera un trapéziste et son trapèze à un pendule simple.
La masse du trapèze est négligée par rapport à la masse M = 70,0 kg du trapéziste. On réduit le
système étudié au centre de gravité G du trapéziste, situé au niveau de sa ceinture.
On suppose aussi que l’énergie mécanique du trapéziste se conserve. En fait les gestes qu’il
effectue (traction des bras et fléchissement au niveau des genoux) permettent à chaque
oscillation de compenser les pertes liées aux frottements de l’air…
On donne : - longueur des jambes du trapéziste : h = 1,10 m
- longueur des cuisses du trapéziste : h’ = 0,55 m
- longueur du trapèze : L = 6,0 m
Lorsque le trapéziste A s’élance sans vitesse initiale, la corde de son trapèze forme un angle
0
= 30,0° avec la verticale (voir annexe-figure 1).
1 . Calculer la vitesse maximale Vmax atteinte par le trapéziste au cours d’une oscillation. (1 pt)
Le trapéziste atteint sa vitesse maximale lorsque le trapèze est vertical. On a :
1/2.M.Vmax2 = M.g.(L - h).(1 – cos(0))
Soit : Vmax =  2.g.(L - h).(1 – cos(0)) 1/2
A.N : Vmax =  2.9,81.(4,9).(1 – cos(30,0°)) 1/2 = 3,58 m.s-1

Lorsqu’il atteint le sommet d’une oscillation, le trapéziste A change « instantanément » de
position. Il coince son trapèze au niveau des genoux et se met à osciller la tête en bas (voir
annexe-figure 2).
2 . Calculer la vitesse maximale V’max atteinte par le trapéziste dans cette nouvelle position. (1
pt)
1/2.M.V’max2 = M.g.(L + h’).(1 – cos(0))
Soit : V’max =  2.g.(L + h’).(1 – cos(0)) 1/2
A.N : V’max =  2.9,81.(6,6).(1 – cos(30,0°)) 1/2 = 4,17 m.s-1
Un trapéziste B (en tout point identique à A !) s’élance dans le vide puis s’accroche à A
lorsque ce dernier parvient au sommet de sa trajectoire. Sa trajectoire est représentée par une
mire sur la figure 2. Lorsqu’il fait la jonction avec A, l’altitude du centre de gravité de B a
diminué de h1 = 2,50 m.
On situe le centre de gravité du système A + B au niveau des mains des deux trapézistes. On
donne : h2 = 1,60 m (voir annexe-figure 3).
3 . Calculer la vitesse maximale V’’max atteinte par le système A + B. (2 pts)
La valeur maximale de l’énergie cinétique du système constitué des deux trapézistes est égale à
l’énergie potentielle maximale du système A + B plus l’énergie cinétique de B lorsque celui-ci
s’accroche à A. Cette énergie cinétique est égale en valeur absolue à la variation d’énergie potentielle
de B lorsque celui-ci a chuté d’une altitude h1 avant de s’accrocher à A.
Ec max = Epp A+B max +  Epp A
1/2.(M + M).V’’max2 = (M + M).g.(L + h2).(1 – cos(0)) + M.g.h1
V’’max =  2. g.(L + h2).(1 – cos(0)) + g.h1 1/2
A.N : V’’max =  2. 9,81.(7,6).(1 – cos(30,0°)) + 9,81.2,50 1/2 = 20 + 24,5 1/2 = 6,7 m.s-1
Au bout de quelques oscillations, lorsque la corde du trapèze est verticale, le trapéziste B
lâche le trapéziste A et chute dans le filet situé à H = 10 mètres plus bas. (voir annexe-figure 4).
4 . Calculer la vitesse de B lorsqu’il entre en contact avec le filet. En déduire la composante
verticale de cette vitesse. (2 pts)
1/2.M.Vfilet2 – 1/2.M.V’’max2 = M.g.H
Vfilet =  2.g.H + V’’max2 1/2
A.N : Vfilet =  2.9,81.10 + 6,7 2 1/2 = (196 + 45)1/2 = 15,5 m.s-1
Composante verticale de la vitesse Vfilet : Vfilet2 = V’’max2 + V2verticale
Vverticale = Vfilet2 - V’’max21/2 = ( 15,52 – 6,72 )1/2 = (240 – 45)1/2 = 14,0 m.s-1
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