Exercice E1 - XMaths

Exercice E1
f(x) = 2x + 1 .
x2 + 3x
Le trinôme x2 + 3x = x(x + 3) a pour racines -3 et 0.
f est une fonction rationnelle, définie et dérivable sur ]-∞ ; -3[∪]-3 ; 0[∪]0 ; +∞[.
L'allure de la représentation graphique de f obtenue avec un grapheur permet de penser que la courbe F n'a
pas de tangente parallèle à la droite d'équation y = x.
La dérivée de f est définie par :
2
2
2
2
f'(x) = 2(x + 3x) - (2x + 1)(2x + 3) = 2x + 6x - 4x - 6x - 2x - 3 = - 2x - 2x - 3
(x2 + 3x)2
(x2 + 3x)2
(x2 + 3x)2
On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x est f'(x).
La tangente est donc parallèle à la droite d'équation y = x à condition que f'(x) = 1.
On peut remarquer que le trinôme -2x2 - 2x - 3 a pour discriminant ∆ = (-2)2 - 4 (-2)(-3) = -20
Le discriminant étant négatif, on en déduit que le trinôme n'a pas de racines et qu'il est strictement négatif
pour tout x ∈ IR - {-3 ; 0}.
D'autre part (x2 + 3x)2 > 0 pour tout x ∈ IR - {-3 ; 0} .
On a donc f'(x) < 0 pour tout x ∈ IR - {-3 ; 0} .
L'équation f'(x) = 1 n'a donc pas de solution.
La courbe F n'a donc pas de tangente parallèle à la droite d'équation y = x .
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g(x) = 2 + 3x
x2 + 1
Le trinôme x2 + 1 n'a pas de racines.
g est une fonction rationnelle, définie et dérivable sur IR.
L'allure de la représentation graphique de g obtenue avec un grapheur permet de penser que la courbe G a
deux tangentes parallèles à la droite d'équation y = x.
La dérivée de g est définie par :
2
2
2
2
g'(x) = 3(x + 1) - (2 + 3x)(2x) = 3x + 3 - 4x - 6x = -3x - 4x + 3
2
2
2
2
(x + 1)
(x2 + 1)2
(x + 1)
On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x est g'(x).
La tangente est donc parallèle à la droite d'équation y = x à condition que g'(x) = 1.
2
g'(x) = 1 ⇔ -3x - 4x + 3 = 1 ⇔ -3x2 - 4x + 3 = (x2 + 1)2 ⇔ -3x2 - 4x + 3 = x4 + 2x2 + 1
(x2 + 1)2
⇔ x4 + 5x2 + 4x - 2 = 0
Cette équation a pour solution évidente -1 puisque (-1)4 + 5(-1)2 + 4(-1) - 2 = 1 + 5 - 4 - 2 = 0
On peut éventuellement factoriser : x4 + 5x2 + 4x - 2 = (x + 1)(x3 - x2 + 6x - 2)
Cette forme factorisée peut être obtenur en écrivant x4 + 5x2 + 4x - 2 = (x + 1)(ax3 + bx2 + cx + d)
puis en écrivant le système d'équations d'inconnues a, b, c et d qui s'en déduit.
On peut enfin justifier que l'équation x3 - x2 + 6x - 2 = 0 a une solution unique α, en vérifiant que la
fonction t définie par t(x) = x3 - x2 + 6x - 2 est strictement croissante sur IR et en utilisant son tableau
de variation.
On peut donner une valeur approchée de cette solution α en utilisant une calculatrice et en procédant par
encadrements successifs.
On obtient α ≈ 0,35
Un logiciel de calcul formel donne α =
3
546 + 1 - 3
9
27
546 - 1 + 1
9
27 3
G a donc deux tangentes parallèles à la droite d'équation y = x, aux points d'abscisses -1 et α ≈ 0,35 .
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h(x) = x + 1
2x2 + 3
Le trinôme 2x2 + 3 n'a pas de racines.
h est une fonction rationnelle, définie et dérivable sur IR.
L'allure de la représentation graphique de h obtenue avec un grapheur permet de penser que la courbe H n'a
pas de tangente parallèle à la droite d'équation y = x.
La dérivée de h est définie par :
2
2
2
2
h'(x) = 1 (2x + 3) - (x + 1)(4x) = 2x + 3 - 4x - 4x = -2x - 4x + 3
(2x2 + 3)2
(2x2 + 3)2
(2x2 + 3)2
On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x est h'(x).
La tangente est donc parallèle à la droite d'équation y = x à condition que h'(x) = 1.
2
h'(x) = 1 ⇔ -2x - 4x + 3 = 1 ⇔ -2x2 - 4x + 3 = (2x2 + 3)2
(2x2 + 3)2
⇔ -2x2 - 4x + 3 = 4x4 + 12x2 + 9 ⇔ 4x4 + 14x2 + 4x + 6 = 0
Pour justifier que cette équation n'a pas de solution, on peut par exemple remarquer que pour tout réel x,
4x4 ³ 0 et 14x2 + 4x + 6 > 0 (signe d'un trinôme ayant un discriminant négatif)
On a donc 4x4 + 14x2 + 4x + 6 > 0 pour tout réel x .
Et par conséquent 4x4 + 14x2 + 4x + 6 ≠ 0 pour tout réel x .
On en déduit que l'équation h'(x) = 1 n'a pas de solution dans IR.
La courbe H n'a donc pas de tangente à la droite d'équation y = x .
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