Exercice E1 - XMaths

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Exercice E1
f(x) = 2x + 1
x
2
+ 3x .
Le trinôme x
2
+ 3x = x(x + 3) a pour racines -3 et 0.
f est une fonction rationnelle, définie et dérivable sur ]-∞ ; -3[∪]-3 ; 0[∪]0 ; +∞[.
L'allure de la représentation graphique de f obtenue avec un grapheur permet de penser que la courbe F n'a
pas de tangente parallèle à la droite d'équation y = x.
La dérivée de f est définie par :
f'(x) = 2(x
2
+ 3x) - (2x + 1)(2x + 3)
(x
2
+ 3x)
2
= 2x
2
+ 6x - 4x
2
- 6x - 2x - 3
(x
2
+ 3x)
2
= - 2x
2
- 2x - 3
(x
2
+ 3x)
2
On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x est f'(x).
La tangente est donc parallèle à la droite d'équation y = x à condition que f'(x) = 1.
On peut remarquer que le trinôme -2x
2
- 2x - 3 a pour discriminant ∆ = (-2)
2
- 4 (-2)(-3) = -20
Le discriminant étant négatif, on en déduit que le trinôme n'a pas de racines et qu'il est strictement négatif
pour tout x ∈ IR - {-3 ; 0}.
D'autre part (x
2
+ 3x)
2
> 0 pour tout x ∈ IR - {-3 ; 0} .
On a donc f'(x) < 0 pour tout x ∈ IR - {-3 ; 0} .
L'équation f'(x) = 1 n'a donc pas de solution.
La courbe F n'a donc pas de tangente parallèle à la droite d'équation y = x .

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g(x) = 2 + 3x
x
2
+ 1
Le trinôme x
2
+ 1 n'a pas de racines.
g est une fonction rationnelle, définie et dérivable sur IR.
L'allure de la représentation graphique de g obtenue avec un grapheur permet de penser que la courbe G a
deux tangentes parallèles à la droite d'équation y = x.
La dérivée de g est définie par :
g'(x) = 3(x
2
+ 1) - (2 + 3x)(2x)
(x
2
+ 1)
2
= 3x
2
+ 3 - 4x - 6x
2
(x
2
+ 1)
2
= -3x
2
- 4x + 3
(x
2
+ 1)
2
On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x est g'(x).
La tangente est donc parallèle à la droite d'équation y = x à condition que g'(x) = 1.
g'(x) = 1 ⇔ -3x
2
- 4x + 3
(x
2
+ 1)
2
= 1 ⇔ -3x
2
- 4x + 3 = (x
2
+ 1)
2
⇔ -3x
2
- 4x + 3 = x
4
+ 2x
2
+ 1
⇔ x
4
+ 5x
2
+ 4x - 2 = 0
Cette équation a pour solution évidente -1 puisque (-1)
4
+ 5(-1)
2
+ 4(-1) - 2 = 1 + 5 - 4 - 2 = 0
On peut éventuellement factoriser : x
4
+ 5x
2
+ 4x - 2 = (x + 1)(x
3
- x
2
+ 6x - 2)
Cette forme factorisée peut être obtenur en écrivant x
4
+ 5x
2
+ 4x - 2 = (x + 1)(ax
3
+ bx
2
+ cx + d)
puis en écrivant le système d'équations d'inconnues a, b, c et d qui s'en déduit.
On peut enfin justifier que l'équation x
3
- x
2
+ 6x - 2 = 0 a une solution unique α, en vérifiant que la
fonction t définie par t(x) = x
3
- x
2
+ 6x - 2 est strictement croissante sur IR et en utilisant son tableau
de variation.
On peut donner une valeur approchée de cette solution α en utilisant une calculatrice et en procédant par
encadrements successifs.
On obtient α ≈ 0,35
Un logiciel de calcul formel donne α =
3
546
9 + 1 27
-
3
546
9 - 1 27
+ 1
3
G a donc deux tangentes parallèles à la droite d'équation y = x, aux points d'abscisses -1 et α ≈ 0,35 .

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h(x) = x + 1
2x
2
+ 3
Le trinôme 2x
2
+ 3 n'a pas de racines.
h est une fonction rationnelle, définie et dérivable sur IR.
L'allure de la représentation graphique de h obtenue avec un grapheur permet de penser que la courbe H n'a
pas de tangente parallèle à la droite d'équation y = x.
La dérivée de h est définie par :
h'(x) = 1 (2x
2
+ 3) - (x + 1)(4x)
(2x
2
+ 3)
2
= 2x
2
+ 3 - 4x
2
- 4x
(2x
2
+ 3)
2
= -2x
2
- 4x + 3
(2x
2
+ 3)
2
On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x est h'(x).
La tangente est donc parallèle à la droite d'équation y = x à condition que h'(x) = 1.
h'(x) = 1 ⇔ -2x
2
- 4x + 3
(2x
2
+ 3)
2
= 1 ⇔ -2x
2
- 4x + 3 = (2x
2
+ 3)
2
⇔ -2x
2
- 4x + 3 = 4x
4
+ 12x
2
+ 9 ⇔ 4x
4
+ 14x
2
+ 4x + 6 = 0
Pour justifier que cette équation n'a pas de solution, on peut par exemple remarquer que pour tout réel x,
4x
4
³ 0 et 14x
2
+ 4x + 6 > 0 (signe d'un trinôme ayant un discriminant négatif)
On a donc 4x
4
+ 14x
2
+ 4x + 6 > 0 pour tout réel x .
Et par conséquent 4x
4
+ 14x
2
+ 4x + 6 ≠ 0 pour tout réel x .
On en déduit que l'équation h'(x) = 1 n'a pas de solution dans IR.
La courbe H n'a donc pas de tangente à la droite d'équation y = x .